İlginç Sorular ve Bulmacalar

Olası Satranç Oyunlarının Sayısı: Shannon Sayısı

Asırların oyunu olan satranç, temel mekaniklerinin öğrenmesi kolay ama ustalaşması yıllar alan bir oyundur. Oyuncular tüm hamlelerini rakip şahı kıskaç altına almak ve aynı zamanda kendi şahlarını korumak üzerine yaparlar. Görünüşte mütevazi olan bu oyun, matematiksel açıdan bakılmaya başlandığında her hamleyle birlikte daha da korkunçlaşmaya başlar. Oyunun başında rakibinizin ilk hareketini tahmin edebilmek basittir. Çünkü oyuncu başlangıç diziliminden dolayı sadece piyonlarını ve atlarını hareket ettirebilir. Her bir piyon ve at sadece 2 konuma hareket ettirebileceğinden (piyonlar 1 kare ya da 2 kare giderler atlar ise ya sağa doğru ya da sol tarafa doğru “L” çizerler ) toplam 20 olasılık vardır. Beyazlar oynadıktan sonra siyah tarafta 20 olası hareketinden birini yapar ve gerçek kaos bu kısımda başlar çünkü her hamle ile olasılıklar katlanırlar.

İlk 5 Turdaki Olası Durumlar

Öncelikle buradaki tur kavramına açıklık getirmek gerekirse , 1 tur hem beyaz ve hem de siyahın hamle yapmasıyla sonlanır. Yani ilk 5 turda toplam 10 hamle yapılır. Bahsettiğimiz gibi ilk tur için olasılıkları hesaplamak zor değildir. Her oyuncu 20 hareket yapabilir ve ilk tur sonunda sadece olası 400 oyun oynanabilir. İlk turun sonunda yapılan her hamleye göre ikinci tur şekillenir. Örneğin beyaz ilk turda vezirin önündeki piyonu hareket ettirdiyse, ikinci turda vezirini hareket ettirebilir. Her hamlenin bir sonraki turları belki de oyunun sonunu belirlediği bir oyunda olasılıklar katlanarak büyümeye devam eder.

İkinci tura gelirsek bu turda oyuncular hareketlerini sonlandırdıklarında oynanabilecek yaklaşık 197 bin olasılıktan sadece biri gerçekleşir. Sayı bir anda 400’den 197 bine çıktı. Oyunda eğer biraz daha ileri gidip 5. turdaki toplam olası oyunların sayısına bakarsak, bu turun sonuna kadar oynanabilecek 69.352.859.712.417 olası oyun vardır. İlk 5 tur için olası oyun sayısı bu yönde ama oyunun tümüne bakarsak karşımıza kesin cevaplar yerine yaklaşık sayılar çıkıyor. Bu sayılardan biri de “Shannon Sayısı”.

Shannon Sayısı

Claude Elwood Shannon satrancın sunduğu bu olasılık denizinden etkilenen matematikçilerden birisiydi. Kendisi şu soruyu sordu: ” Olası satranç oyunlarının sayısı kaçtır?”. Shannon bu soruya cevap verebilmek için satranç tahtasındaki oluşabilecek olası durumları incelemeye başladı. Bu incelemeleri sonucu oyunun farkı evrelerinde sıradaki oyuncunun yaklaşık 30 farklı hamle yapabilme ihtimali olduğunu varsaydı. Bir diğer varsayımını da oyunun ortalama her tarafın yaptığı toplam 80 hareket sonrasında bitmesi üzerine yaptı. Bu sayıları kullanarak 30 80 yani yaklaşık 10 120 olası satranç oyunu olduğunu tahmin etti.

Shannon gibi bir diğer matematikçi Godfrey Hardy de bu soru için ortaya cevap bir cevap atmıştır. Ona göre bu olasılık 10 üzeri 10 üzeri 50 sayısına denk gelmektedir. Bu iki tahmin birbirinden oldukça uzak tahminlerdir. Shennon’ın sayısı bu sayı yanında oldukça küçük kalmaktadır. Bu devasa farkın nedeni ise Shannon’ın varsayımlarını gerçekçi durumlar üzerine yapmış olduğundandır.

Diğer bir deyişle Shannon bir oyunun gerçekçi şekilde oynanırsa 40 tur sonunda biteceği üzerine hesaplamasını yaptı. Örneğin bir oyuncu diğerini şah mat edebilecekken bunu yapacağını varsaydı ama oyuncu yapmamayı seçebilir ve bu da yeni olasılıklar doğurur. Ancak Hardy’nin tahmini üzerine çalışması olmadığından, onun sayısının gerçeğe ne kadar uygun olduğunu bilemiyoruz. Bu yüzden Shannon’ın sayısına bu hususta daha çok güvenebiliriz. Peki madem bu kadar fazla olasılık var. Bir satranç oyunu sonsuza kadar sürdürülebilir mi?

Sonsuz Santranç Oyunu Mümkün Mü?

Olası hamlelerin sayısının devasa olmasına rağmen, satranç oyunundaki bazı kurallar oyunun sonsuza kadar gitmesini engeller. “50 hamle ” ve “3 kat tekrar” olarak adlandırılan bu kurallar, oyunun berabere olarak bitmesini sağlarlar. “50 hamle” kuralına göre bir piyonun hareket etmediği ve hiçbir taşın alınmadığı art arda geçen 50 hamle olursa oyun beraberlikle sonuçlanır. “3 kat tekrar” ise oyundaki taşların 3 kez aynı konuma gelmesi yani hareketlerin tekrar etmesi durumunda uygulanır. Sonuçta oyun yine beraberlikle sonuçlanır. Bu tür kurallar uygulanmazsa ve beraberlik durumu göz ardı edilirse sonsuza kadar sürecek bir oyun oynanabilir. Örneğin sadece iki şahın kaldığı bir oyun, hiçbir taraf kazanamayacağından sonsuza kadar sürdürülebilir.

Her hamlenin binlerce belki de milyonlarca yeni olasılıklara yol açtığı bir oyunda tüm oynanacak olası hamleleri tahmin etmek bizi içinden çıkamayacağımız bir karmaşanın içine atabilir. Çünkü Shannon sayısı olan 10120 ‘yi doğru kabul edersek, olası tüm satranç oyunlarının sayısının bilinen evrendeki atom sayısından yani 10 81‘den bile daha fazla olduğunu görürüz. Bu durumda yapabileceğimiz, en iyi yöntem biraz daha basit düşünüp oyunun sonu yerine birkaç hamle sonrasına odaklanmak ve olasılıkların bizi götüreceği yeri beklemektir.

Kaynakça: How Many Chess Games Are Possible? This Will Blow Your Mind!; https://herculeschess.com

Matematiksel