Bazı matematik soruları ilk okuduğunuz zaman anlamlı gelmez. Ancak üzerinde bir miktar düşündükten sonra doğru cevaba ulaşabilirsiniz. Öncelikle baştan söyleyelim. Kapak görselinde gördüğünüz soru bir yarışmada sorulmadı. Görseli biz düzenledik. Ancak bu soru aslında uzun zamandır internette dolaşıyor. Henüz denk gelmediyseniz üzerinde düşünmenizi öneririz. Sizce soruya rastgele bir cevap seçerseniz, aşağıdakiler arasından doğru şıkkı seçme olasılığınız nedir? Kafanız karışmış olmalı. Ancak bunun zor bir çoktan seçmeli soru olduğunu söylemiştik.
A) % 25 B) % 50 C) % 0 D) % 25
Sorunun Olası Çözümü Nedir?
Siz düşünürken hatırlatalım. Bu sorunun internette farklı seçeneklerle yayınlanmış olanlarına da rastlamış olmanız olasıdır. Ancak küçük bir kopya verelim. O farklı seçenek aslında herhangi bir etki yapmayacaktır. Bu nedenle canınızın istediği herhangi bir sayı ile değiştirebilirsiniz.
Normal koşullar altında her çoktan seçmeli test sınavına giren öğrencinin bildiği gibi verilen dört şık arasında doğru şıkkı seçme olasılığınız % 25 olacaktır. Ancak soruya daha dikkatli bakarsanız % 25 şıkkının 2 defa yazıldığını göreceksiniz. Bu durumda dört şıktan ikisi doğru oldu. Bu durumda da doğru şıkkın olasılığı % 50’ye çıktı. Bu nedenle anlıyoruz ki % 25 doğru cevap olamaz.
Bu durumda % 50 doğru cevap olabilir mi? Eğer öyleyse, eşit olasılıkla 4 seçenekten 1’ini seçersiniz. Ancak bu durumda da bir sıkıntı var. Çünkü bu durumda cevabı rastgele seçme şansınız %25 olur. Sonucunda şıklarda sadece bir tane %50 var. Ancak az önce %25’in doğru seçim olamayacağını gösterdik.
Bu mantıkla hareket ederek cevabın % 0 olduğunu düşünebilirsiniz. Ancak bu doğruysa, yine eşit olasılıklı 4 seçenekten 1’ini seçersiniz, yani bir kere daha %25 doğru olma olasılığınız olur. Ancak bunun mümkün olmadığını biliyoruz.
Yani soru kendine gönderme yapıyor ve sonucunda ortaya bir paradoks çıkıyor. Bu durumda cevap seçeneklerinden hiçbirini doğru olasılıkla rastgele seçemezsiniz. Bizim ve daha evvel bu soruya cevap verenlerin ulaştığı çözüm bu. Sonucunda bu zor çoktan seçmeli sorunun bir cevabı yoktur. Bu soru aslında kendine gönderme yapan paradokslara güzel bir örnektir.
Kendine Gönderme Yapan Paradoks Nedir?
Antik Yunanda felsefi bir problem olarak ortaya çıkan paradoks, doğru gibi görülen bir önermenin esasında yanlış da olabileceği fikri olarak karşımıza çıkar. Başka bir ifadeyle yıllarca yanlış zannettiğimiz olayların, fikirlerin doğru olduğunu görmek veya doğru zannettiğimizi yanlış olarak görmek insanı hayrete düşürür. İşte düşünme dediğimiz etkinlikte bu hayretle başlar. Dolayısıyla paradokslar bir çelişki olarak görülse de düşünce serüveninin oluşmasına kaynaklık eder.
Yukarıdaki soruda da gördüğünüz gibi bir cümlenin kendisine gönderme yapması bazı durumlarda paradoksa neden olur. Ancak her durumda değil. Örneğin “bu cümle doğrudur” cümlesi her ne kadar kendisine gönderme yapsa da paradoks değildir. Cümle gerçekten doğruysa doğrudur, gerçekten yanlışsa yanlıştır. Paradoksal durumlar, çoğunlukla, olumsuzluk ile kendine gönderimin bir arada kullanılmasıyla ortaya çıkar.
“Sonraki cümle doğrudur. Önceki cümle yanlıştır.” örneğine bakalım. Bu cümleler birbirlerine gönderme yaptığı için devirsel bir durum ortaya çıkar. Bu durum bizim sorumuza oldukça benzemektedir. Kendine göndermeli paradoksların en ünlüsü de yalancı paradoksu diğer adıyla da Giritli paradoksu olarak bilinmektedir.
Bu paradoks şu şekildedir: Kendisi de Giritli olan Epimenides “Bütün Giritliler yalancıdır” der. Giritli Epimenides yalan söylüyorsa bu söylediği ifade doğru olamaz. O halde o, doğru söylüyor demektir. Eğer doğru söylüyorsa, söylediği bu ifade doğrudur. O halde o, yalan söylüyor demektir. Epimenides doğru mu söylemekte, yoksa yalan mı söylemektedir?
Epimenides’in “Bütün Giritliler yalancıdırlar” sözü aslında tarih boyunca yoğun bir şekilde tartışılmıştır. 20. yüzyıla geldiğimizde ise mantığın temelleri üzerine yapılan incelemelerde yalancı paradoksunun önemli
olduğu yeniden fark edilmiş; özellikle Bertrand Russell’ın mantık ve matematik üzerine yaptığı incelemeler sonucunda Yalancı paradoksu yeniden keşfedilmiştir.
Sonuç Olarak;
Cevabı ne diyeceksiniz. Ne yazık ki her paradoks için mutlak bir çözüm yoktur. Önemli olan sorunun tespit edilmesi ve bir değerlendirme ya da açıklamada bulunurken dikkate alınmasıdır. Bu nedenle bizim zor çoktan seçmeli sorumuzun da bir cevabı yoktur. Gördüğünüz gibi yazıya olasılık ile başladık. Felsefe ile bitirdik. Nereden nereye. Bu arada bu yazımıza da göz atmanızı öneririz: Kurt Gödel ve Eksiklik Teoremi: Cevabı Olmayan Sorular Her Zaman Vardır
Kaynaklar ve ileri okumalar
- The Hardest Multiple Choice Question Ever – Sunday Puzzle. yayınlanma tarihi: 22 Mart 2015; Bağlantı: https://mindyourdecisions.com
- DURHAN, G., “Bir Mantık Problemi Olarak Paradoks”. Mantık Araştırmaları Dergisi 2 (2019 ): 21-37; https://dergipark.org.tr/
Size Bir Mesajımız Var!
Matematiksel, 2015 yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak veya Patreon üzerinden ufak bir bağış yaparak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.
Matematiksel
