Bazı matematik oyunları ilk bakışta bir sihir numarası gibi görünür. Sonucu önceden biliyormuşsunuz izlenimi verir; oysa arkasında çoğu zaman basit bir sayı özelliği vardır. Bu yazıda kullanacağımız oyunların temelinde de 9 sayısı yer alıyor.
Önce 9’un katlarına bakalım: 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99, 108, 117, 126…Bu sayıların rakamları toplamı her zaman 9 değildir; fakat mutlaka 9’un bir katıdır.
Örneğin 1+8=9, 2+7=9, 5+4=9 ve 1+2+6=9 olur. 99 sayısında ise toplam 9+9=18’dir. Bu toplamın rakamlarını yeniden topladığımızda 1+8=9 sonucuna ulaşırız.
Bu özellik, 9 ile bölünebilme kuralının temelini oluşturur. Bir sayının rakamları toplamı 9’a tam bölünüyorsa, sayının kendisi de 9’a tam bölünür. Örneğin 126’nın rakamları toplamı 9 olduğu için 126 da 9’un katıdır. Benzer biçimde 999’un rakamları toplamı 27’dir ve 27 de 9’a tam bölünür.
9 sayısının pek çok matematik oyununda karşımıza çıkmasının nedeni budur. Sayı ile rakamları toplamı arasındaki bu ilişkiyi kullanarak ilk bakışta şaşırtıcı görünen sonuçlar elde edebiliriz.
9 Rakamıyla Sihir Yapmak Mümkün mü?
Sayılarla rakamları toplamı arasındaki bu ilişkiyi küçük bir matematik oyununa dönüştürebiliriz. Önce iki ya da üç basamaklı herhangi bir sayı seçin. Sayının rakamlarını toplayın ve bulduğunuz toplamı seçtiğiniz sayıdan çıkarın. Ardından yeni sayının rakamlarını yeniden toplayın. Elde ettiğiniz toplam tekse 10’la, çiftse 5’le çarpın. Son olarak sonuçtan 15 çıkarın. Hangi sayıyla başladığınızdan bağımsız olarak 75’e ulaşacaksınız.
Örneğin 47 sayısını seçelim. Rakamların toplamı 4+7=11 olduğuna göre 47−11=36 elde ederiz. Yeni sayının rakamları toplamı 3+6=9’dur. 9 tek olduğu için 10’la çarparız: 9×10=90. Son olarak 90−15=75 sonucuna ulaşırız.
Aynı oyunu 831 sayısıyla da deneyebiliriz. Önce 8+3+1=12, ardından 831−12=819 işlemlerini yaparız. 819’un rakamları toplamı 8+1+9=18’dir. Bu kez toplam çift olduğu için 5’le çarparız: 18×5=90. Son adımda yine 90−15=75 sonucunu buluruz.
Peki sonuç neden her seferinde aynı çıkıyor? Seçtiğimiz sayıdan rakamları toplamını çıkardığımızda mutlaka 9’un bir katını elde ederiz. İki veya üç basamaklı bir başlangıç sayısı için bu yeni sayının rakamları toplamı 9 ya da 18 olur. Toplam 9 ise 9×10=90, 18 ise 18×5=90 sonucunu verir. Son aşamada 15 çıkardığımız için oyun her zaman 75’te biter.
Buradaki 15’in özel bir matematiksel görevi yoktur; yalnızca sonucu daha az tahmin edilir hâle getirir. Oyunun asıl sırrı, bir sayı ile rakamları toplamının 9’a bölündüğünde aynı kalanı vermesidir.
9 Sayısıyla Yapabileceğiniz İkinci Bir Oyun
9’un bölünebilme özelliğini kullanarak bir arkadaşınızın sildiği rakamı bulabilirsiniz. Arkadaşınıza bir hesap makinesi verin ve şu dört sayıdan birini size söylemeden seçmesini isteyin: 3141, 2718, 2358 veya 9999
Bu sayılar sırasıyla π ve e sayılarının ilk dört rakamını, art arda gelen Fibonacci sayılarını ve dört basamaklı en büyük sayıyı temsil eder. Daha önemlisi, hepsinin rakamları toplamı 9’un bir katıdır. Dolayısıyla bu sayıların her biri 9’a tam bölünür.
Arkadaşınız seçtiği sayıyı 3 ile çarpsın. Ardından sonuçtaki sıfır dışındaki rakamlardan birini silsin ve kalan rakamların yerlerini istediği gibi değiştirsin. Size yalnızca elinde kalan rakamları göstermesi yeterlidir. Siz de hangi rakamı sildiğini bulabilirsiniz.
Bunun için görünen rakamları toplamanız ve sonucu bir sonraki 9 katına tamamlamanız gerekir. Eksik kalan sayı, silinen rakamdır. Örneğin arkadaşınız 3141 sayısını seçmiş olsun. 3141×3=9423 yapar.
Sonuçtaki 4 rakamını silip size 2, 9 ve 3 rakamlarını gösterirse bunların toplamı 2+9+3=14 olur. 14’ü bir sonraki 9 katı olan 18’e tamamlamak için 4 gerekir. Böylece silinen rakamın 4 olduğunu bulursunuz.
Başka bir örnekte arkadaşınız 9999 sayısını seçsin: 9999×3=29997. Bu sayıdan bir 9’u sildiğinde geriye kalan rakamların toplamı 2+9+9+7=27 olur. Toplam zaten 9’un katıysa silinen rakam 0 ya da 9 olabilir. Ancak oyunun başında sıfırın silinemeyeceğini söylediğimiz için cevap 9’dur.
Oyunun çalışmasının nedeni basittir: Başlangıçta seçilen sayı 9’un katıdır. Bu sayıyı 3 ile çarptığımızda sonuç yine 9’un katı olur. Dolayısıyla sonuçtaki bütün rakamların toplamı da 9’un bir katıdır. Bir rakam silindiğinde eksilen değeri, kalan rakamların toplamını yeniden 9’un katına tamamlayarak bulabiliriz.
Bonus: 142857 Sayısı
9 sayısı, bölünebilme kurallarının yanı sıra bazı dikkat çekici sayı örüntülerinde de karşımıza çıkar. Bunun en bilinen örneklerinden biri 142857 sayısıdır.
1/ 7 kesrini ondalık gösterimle yazdığınızda, 1/7 = 0,142857142857142857…. sonucunu elde edersiniz. Bu sonucunda ilginç bir özelliği bulunur. 142857’nin asıl şaşırtıcı özelliği, 1’den 6’ya kadar olan sayılarla çarpıldığında ortaya çıkar:
- 142857×1=142857
- 142857×2=285714
- 142857×3=428571
- 142857×4=571428
- 142857×5=714285
- 142857×6=857142
Sonuçlara dikkat ederseniz her çarpımda aynı altı rakamı görürsünüz. Yalnızca rakamların sırası değişir. Bu nedenle 142857’ye döngüsel sayı denir. Yediyle çarptığımızda ise farklı ama yine düzenli bir sonuç elde ederiz: 142857×7=999999. Böylece 9 rakamı bir kez daha karşımıza çıkar.
9 rakamının matematikteki eğlenceli sayılardan biri olduğunu başta söylemiştik! Yazının devamında ayrıca göz atmak isterseniz: 4 Tane 4 Rakamı Kullanarak Kaç Sayı Yazabilirsiniz?
Kaynaklar ve ileri okumalar:
- The Magic of Number 9 (Part 1). Yayınlanma tarihi: 6 Temmuz 2014. Bağlantı: The Magic of Number 9
- Arthur T. Benjamin;; The Magic of Math: Solving for X and Figuring Out Why; Basic Books 2016; ISBN-10 : 0465096212
Matematiksel
Bir magic’da benden. Tersi kendisi olmayacak herhangi bir sayıyı tersi ile toplayın. Sonra çıkan sayıyı kendi arasında toplayın. 9 ve katları çıkacaktır.
Örnek: 384-483=-99 sonra 9+9=18