Elinizde yalnızca dört tane 4 olduğunu düşünün. Bu dört rakamı çeşitli matematiksel işlemlerle birleştirerek 1’den 100’e kadar bütün doğal sayıları elde etmeniz mümkün mü?
“Dört Dörtler” adıyla bilinen bu eski matematik bulmacası, W. W. Rouse Ball’un Mathematical Recreations and Essays adlı kitabının sonraki baskılarında da yer aldı. Bulmacanın 19. yüzyılın sonlarından itibaren matematik meraklıları arasında yaygınlaştığı tahmin edilmektedir. Aradan geçen zamana rağmen ilgi görmeyi sürdürmesinin nedeni, son derece basit görünen bir sorunun giderek zorlaşan çözümler üretmesidir.
Bulmacanın temel koşulu açık: Her eşitlikte tam olarak dört tane 4 kullanmalısınız. İlk aşamada toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerinden, ayrıca parantezlerden yararlanabilirsiniz. Örneğin:
İlk birkaç sayı kolayca ortaya çıkar. Fakat ilerledikçe dört temel işlem yeterli gelmemeye başlar. Bu nedenle bulmacanın yaygın biçiminde 44 gibi rakamları yan yana getirmeye; 4!, ve 0,4 gibi gösterimleri kullanmaya da izin verilir.
Dört Dörtler bulmacasının herkesçe kabul edilmiş tek bir kural listesi yoktur. İzin verdiğiniz işlemler değiştikçe çözümler de değişir. Biz bu yazıda dört işlemin yanı sıra parantez, karekök, faktöriyel, ondalık gösterim ve rakamları yan yana yazma yöntemlerini kullanacağız.
Bulmacanın başında belirli kalıplar hızla dikkatinizi çeker. Örneğin ifadesini kullanarak bir sayıyı bir artırabilir ya da azaltabilirsiniz. 4+4=8, 4×4=16 ve 4!=24 gibi sonuçlar da daha büyük sayıları oluştururken kullanışlı yapı taşlarına dönüşür.
Yine de her sayı aynı kolaylıkla ortaya çıkmaz. Bazılarına birkaç saniyede ulaşırken bazıları için farklı işlemleri defalarca denemeniz gerekir. Üstelik aynı sayının birden fazla çözümü de vardır. Ancak amaç, yalnızca doğru bir eşitlik kurmak değil, daha kısa ve zarif bir çözüm bulmaktır.
Aslında, yaklaşık 20’ye kadar olan sayıları sadece temel aritmetik işlemleri kullanarak yazmanız mümkündür. Bu nedenle bu bulmacanın ilk 20 sayıya kadar olan kısmı öğrencileri için keyifli bir alıştırma olacaktır.
Dört Tane 4 ile Her Doğal Sayıyı Yazmak Mümkün mü?
Bulmacayı 1’den 100’e kadar sürdürmek mümkündür. Peki dört tane 4 kullanarak yalnızca bu sayıları değil, istediğimiz herhangi bir doğal sayıyı da yazabilir miyiz? Paul Dirac’a atfedilen bir yöntem, logaritmaya ve art arda karekök almaya izin verdiğimizde bunun mümkün olduğunu gösterir.
Bu düzenin nasıl çalıştığını birkaç örnek üzerinden görebiliriz. İlk satırda bir kez karekök aldığımız için sonuç 1, ikinci satırda iki kez karekök aldığımız için sonuç 2, üçüncü satırda ise üç kez karekök aldığımız için sonuç 3 olur.
Aynı yapıyı sürdürdüğümüzde, iç içe yazdığımız kareköklerin sayısı bize ulaşmak istediğimiz doğal sayıyı verir. Böylece dört tane 4 kullanarak yalnızca 1’den 100’e kadar olan sayıları değil, istediğimiz herhangi bir doğal sayıyı da yazabiliriz. Aslına bakarsanız bu nedenle bulmacanın çözümünde logaritmanın kullanılmasına izin verilmez.
Okuma Önerisi: Hesap Makinesi Olmadan Karekök Almak İçin İki Basit Yöntem
Kaynaklar ve ileri okumalar:
- The Four Fours Puzzle; Kaynak site: Wikipedia. Bağlantı: The Four Fours Puzzle;
- What Is The Four Fours Puzzle?. Yayınlanma tarihi: 19 Ekim 2023. Kaynak site: Science ABC. Bağlantı: What Is The Four Fours Puzzle?
Size Bir Mesajımız Var!
Matematiksel, matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.
Matematiksel
