Dünyanın Çevresine Bir İp Dolayalım mı?

Birazdan okuyacağınız ilk bulmaca 1702 tarihli. İngiliz matematikçi ve doğa filozofu William Whiston (1667-1752) tarafından yazılan bir ders kitabında yer alıyor. Bu bulmaca matematik tarihinde bir dönüm noktası falan sayılmaz. Ancak yine de sezgilerimiz konusunda bize güzel bir ders verdiği için yıllardır popülerliğini koruyor. Dünyayı çevreleyen ip bulmacası ise ilk olarak Henry Ernest Dudeney tarafından kaleme alındığı düşünülüyor.

Her iki bulmacada da işlerimizi kolaylaştırmak adına dünyanın mükemmel bir küre olduğunu ve düzeyinin düz olduğunu kabul ediyoruz. Aslında bu iki bulmaca, birbirinden farklı gibi gözükse de aynı temel prensipte hazırlanmış durumda. Hazırsanız başlayalım.

1- Dünyanın Çevresinde Yürüyen Adam

Dünyanın çevresinde yürüyen bir adam hayal edin. Bu durumda kafanızla ayaklarınızın katedeceği yol birbirine eşit olmamalıdır. Peki bu fark ne kadar olabilir?

Garip bir soru olduğunu kabul ediyoruz. Ancak dediğimiz gibi bu bir düşünce deneyi bu nedenle yok öyle olmaz demeyelim ve hesap yapmaya başlayalım. Öncelikle bazı bilgilerimizi gözden geçirelim. Çemberin çevresi için formül 2πr biçimindedir. Yukarıdaki diyagramda, r Dünya’nın yarıçapı ve H insanın boyudur. Formülü kullanarak, Dünya’nın çevresi (adamın ayaklarının kat ettiği mesafe) 2πr kadardır. Noktalı dairenin çevresi ise (kafasının kat ettiği mesafe) 2π (r + H) olur. Dolayısıyla, iki çevre arasındaki fark şu şekildedir.

2π (r + H) – 2π r = 2π r + 2π H – 2π r = 2π H.

Fark ettiğiniz gibi 2πr terimleri birbirini götürür. Bunun sonucunda cevap 2πH, yani 2 × 3.14 × adamın boyu kadardır. Yani, eğer adamın boyu 1,8 m ise, başının ayaklarından daha fazla kat ettiği mesafe yaklaşık 11 metredir. Dünya’nın çevresi yaklaşık 40.000 km’dir. Dünyanın etrafında binlerce kilometre yürüdükten sonra, bir kişinin kafasının ayağından yalnızca 11 metre yol aldığını görmek şaşırtıcıdır. Şimdi ikinci sorumuza geçelim aslında bu ikinci sorumuz da ilki ile benzer bir düşünce ve çözüm sürecine sahiptir.

2- Dünyayı Çevreleyen İp

Elimizde çok uzun bir ip olduğunu ve bu ipi sıkı bir biçimde dünyanın çevresine sardığımızı düşünelim. Sonra da bu ipi 1 metre daha uzatalım ve tekrar dünyanın çevresine saralım. İp daha uzun olacağı için doğal olarak biraz daha gevşek bir biçimde sarılacaktır. Şimdi bu ipi her yerde eşit olacak biçimde biraz havaya kaldıralım. Sizce bu ipi altından hangi büyüklükte bir hayvan geçebilir? Aşağıdaki resim, bu sorunun aslında öncekiyle aynı olduğunu göstermektedir. Her ikisi de, küçük olanı Dünya’nın çevresi olan iki eş merkezli çemberin çevresinin karşılaştırılmasını içerir.

Dünyanın çevresi c kadar olsun. Bu durumda daha uzun olan ipin uzunluğu c + 1’dir. Çevre formülünü kullanarak iki denklemimiz var: 2πr = c ve 2π (r + h) = c + 1. Bu ikinci denklemde parantezi açınca c’ler birbirini götüreceği için elimizde 2πh = 1 kalacaktır. Sonrasında da küçük bir düzenlemeyle de h=1/2π sonucuna ulaşmamız mümkün olacaktır.

Bu sayının yaklaşık değeri de 16 cm kadardır. Bu sonucu bir saniye düşünün. 40.000km uzunluğunda bir ipimiz var ve onu 40.000.001km uzunluğuna getiriyoruz. Görünüşte önemsiz olan bu artış, ipin dünyanın her yerinde yerden 16 cm yukarıda durması için yeterli bir gevşeklik yaratıyor. Hangi hayvan geçebilecek derseniz muhtemel bir kedi veya küçük bir köpek geçebilir :)

İşin ilginç yanı bu iki problemin yanıtının kürenin boyutundan bağımsız olmasıdır. Yani soruları ister Dünya, ister Ay isterseniz de bir portakal için sorun alacağınız cevaplar hep aynıdır. Sonuç sadece bizim ipi ne kadar uzattığımıza bağlıdır.


Göz Atmak İsterseniz


Kaynaklar ve ileri okumalar:


Dip Not

Matematiksel, 2015 yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konularda ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.

Sibel Çağlar

Merhabalar. Matematik öğretmeni olarak başladığım hayatıma 2016 yılında kurduğum matematiksel.org web sitesinde içerikler üreterek devam ediyorum. Matematiğin aydınlık yüzünü paylaşıyorum. Amacım matematiğin hayattan kopuk olmadığını kanıtlamaktı. Devamında ekip arkadaşlarımın da dahil olması ile kocaman bir aile olduk. Amacımıza da kısmen ulaştık. Yolumuz daha uzun ama kesinlikle çok keyifli.
Başa dön tuşu