Cebir

Çarpmayı Toplamaya Çevirmenin Bir Yolu: Logaritma

Binlerce yıl boyunca matematikçiler çoğu hesaplamayı sadece sayma tahtaları veya abaküs gibi cihazlar kullanılarak elle yaptılar. Bu işlemler esnasında özellikle çarpma ve bölme işlemi daha uzun zaman alıyordu. 16. ve 17. yüzyılların bilimsel devriminde, güvenilir bir hesaplama aracının olmaması ilerlemenin önüne bir engel olarak dikilmişti. Çarpma ve bölme işlemini daha kolay hale getirmek amacıyla logaritma İskoç John Napier (1550-1617) tarafından icat edildi. Napier zamanının çoğunu hesaplamaları kolaylaştırmanın yollarını bulmak için harcadı. 1614’te, logaritmaların ilk tanımını ve tablosunu yayınladı. Yunanca logos, ratio ve aritmos kelimelerinden türetilen logaritma, bilim tarihinde devrim yarattı. 1960’lardan itibaren hesap makinesi ve bilgisayarın hayatımıza girmesiyle bu tip hesaplama yöntemlerine ihtiyaç azalsa da birçok fiziksel ve biyolojik sürecin davranışı logaritmik olduğu için logaritma halen matematiğin içinde önemini korumaktadır.

John Napier
John Napier

Logaritma Nedir?

Günümüzde bize sadece derslerde ezberlenmesi gereken bir dizi sıkıcı kurallar gibi gelse de logaritma insanlığın teknoloji ile tanışmadığı dönemlerde hesaplama yapabilmenin tek yoluydu. Logaritma temelinde bir fonksiyon yani daha basit biçimde bir kural gibi düşünülebilir. Bu kural çarpmayı toplamaya çevirir, çok büyük ve çok küçük sayıları karşılaştırmamıza yardımcı olur. Bunu bir matematiksel bir formül ile ifade etmemiz gerekirse: log (x.y)= log x + log y kullanırız. Peki bunu nasıl yapar derseniz öncelikle Napier’in logaritmayı düşünce biçimini anlamanız gerekir.

Napier, logaritmalarını oluşturmak için iki paralel çizgi boyunca hareket eden iki parçacığı hayal etti. İlk satır sonsuz uzunluktayken ikincisi ise sabit uzunluktaydı. Her parçacık aynı başlangıç ​​pozisyonunu aynı anda ve aynı hızda yola çıktı. Sonsuz uzunluktaki çizgi üzerindeki parçacık tekdüze bir hareket yapmak zorundaydı. Yani eşit zamanlarda eşit mesafeler kat etti. İkinci parçacığın hızı, çizginin sonuna kadar kalan mesafe ile orantılıydı. Hattın başlangıç ​​noktası ile sonu arasında yarı yolda, ikinci parçacık başladığı hızın yarısına düşmek zorundaydı. Yolun 3/4 üne vardığında hızı başlangıç hızının çeyreği kadardı. Bu iki parçacıkta asla bitiş noktasına varamayacaktı. Ancak herhangi bir anda, iki parçacığın pozisyonları arasında benzersiz bir uyum vardı.

Üstteki satır 2 sayısının üslerini ifade eder ve aritmetik biçimde artar. Alttaki satırda ikinin katlarıdır ve geometrik olarak artmaktadır.

Logaritma Nasıl Çalışır?

Aslında logaritmada önemli olan tabandır. Yani artışın hangi sayıya göre düzenlendiğidir. Temelde iki tip logaritma vardır. Bunlardan bir tanesi ve en yaygın kullanılanı 10 tabanındaki logaritmadır. Yaygın gösterimlerinden dolayı da bu 10 sayısı genelde yazılmaz. Herhangi bir hesap makinesindeki “log” ifadesi bu logaritmayı ifade eder. Diğer logaritma türü ise doğal logaritmadır ve ln olarak yazılır, bu “log e” ile aynı anlama gelmektedir.

Napier’in hesaplamalarını tamamlaması ve ilk logaritma tablolarını yayınlaması 20 yılını aldı. Oxford Üniversitesi’nde matematik profesörü olan Henry Briggs, Napier’in tablolarının önemini fark etti. Ancak bunların hantal olduğunu düşündü. Tartışmalarının ardından ikili 10 tabanında logaritmada anlaştılar. Bu anlaşma sayesinde de logaritmanın kullanımını çok daha kolay hale geldi. Briggs, bu sisteme dayalı yeniden tablolar hazırladı ve 1624 yılında yayınlandı. Briggs tarafından hazırlanan 10 tabanlı logaritma tabloları, günümüzde kullandığımız logaritmanın temelidir.

Logaritma tablosu örneği

Bir Logaritma Örneği

Herhangi bir hesap makinesinde log 1000 yazdığınızda 3 cevabını elde edersiniz. Bunun anlamı tabanımız 10 olduğu için 3 tane 10 sayısının çarpımının 1000 yapmasıdır. O zaman log 6’nın anlamı nedir diye düşünebilirsiniz. 10 sayısını kendisiyle belli bir sayıda çarpıp 6 elde edildiğini söylemek kulağa saçma gelir. Bu kavram elbette gerçek dünyada karşılığını bul­maz. Ama matematiğin gücü ve güzelliği buradan gelir. 6’nın logaritması, 0.778 sayısıdır. Başka bir deyişle, 10 sayısını kendisiyle 0.778 kere çarptığımızda 6’yı elde ederiz.

Şimdi gelin logaritma ile bir işlem yapalım. Örneğin 89 ile 62’yi çarpalım. Öncelikle logaritmalarını bulmamız gerekir ki günümüzde elimizin altındaki hesap makinaları yardımı ile bu oldukça kolay bir şeydir. Ancak 20. yüzyılın sonlarına kadar bunu yapabilmenin tek yolu logaritma tablolarından faydalanmaktı. 89’un logaritması 1.949’dur. 62’nin logaritması ise 1.792’dir. O halde logaritmalar toplamı 1.949 + 1.792 = 3.741 yapar. Logaritması 3.741 olan sayı ise 5518’dir, bu da aynı şekilde logaritma tablolarından faydalanarak bulunur. O halde, 89 x 62 = 5518 ‘dir.

Logaritmaya Halen İhtiyacımız Var mı?

Kısa cevap evet var. Günümüzde logaritma tabloları artık kullanılmasa da kendileri bilgisayarlarımızda var olmaya devam ediyor. Bilgisayarda sayıları çarpmak istediğimiz zamanlarda arka planda bir program çalışır. Bu programın sonuç verme süresi karmaşıklık ve hesaplama miktarı ile artar. Saniyede milyonlarca sayının çarpılması gereken ve hızın kritik olduğu bir uygulamada bu bir sorun haline gelebilir. Bu nedenle bilgisayar belleğine bir program çalıştırmak yerine yalnızca değerleri araması gereken ve performansı artıran logaritma tabloları eklenir. (Bakınız: log lookup table).

Bir başka örnek de müzikten gelsin. Desibel (dB), ses seviyesinin bir ölçüsü olarak kullanılır. Stereolar, televizyonlar ve diğer ses ekipmanları için ortak işaretlerdir ve log10 ölçeğini temel alırlar. Son bir örnek de biyolojiden verelim.

Atmosfer, uzaydan gelen radyasyonla sürekli etkileşim halindedir. Üst atmosferde, uzaydan gelen radyasyon, nitrojen atomlarını karbona dönüştürür. Bu şekilde dönüşen karbon, karbon 14 olarak adlandırılır ve çevremizde gördüğümüz karbondan farklıdır. Atmosferdeki karbon 14 üretim oranı sabittir. Yeryüzündeki tüm yaşam karbondan yapılmıştır ve bir organizma yaşamı boyunca küçük miktarlarda karbon 14 emer. Ancak organizma öldüğünde bu durum ortadan kalkar. Organizmada ki karbon 14’ün karbon 12’ye oranını ölçerek ve logaritma temelli formüller kullanarak bilim insanları, organizmanın yaşını hesaplayabilirler.

Kaynak: K. Lee Lerner and Brenda Wilmoth Lerner; Real Life math; Gale 2005

Matematiksel

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak.