Napier’in Kemiklerinden Logaritmaya Bir Yolculuk

Lise yıllarında öğrendiğimiz logaritma bir çoğumuz için ezberlenecek bir dizi formülden öteye geçmez, oysa ki döneminin en önemli matematiksel buluşlarından biri olan bu yaklaşım biçimi matematiğin gelişim sürecine önemli bir yön vermiştir.logaritma

Logaritma başlangıçta çarpma işlemini toplama işlemine dönüştürdüğü için pratikti. Sonuçta hesap makinesi ve bilgisayarların olmadığı dönemlerden bahsettiğimizi hatırlatalım elbette.

Logaritmanın tarihi denildiğinde akla gelmesi gereken ilk isim elbette John Neper (Napier)
(1550-1617)’dir.  Napier birçok alanda başarılı bir bilgindi ve hayatı boyunca kullanışlı hesaplama yöntemlerine ilgi duymuş, bu yöntemleri geliştirmek için çeşitli çalışmalar yapmıştı. Napier buluşunu 1614 yılında Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio (Logaritmanın Olağanüstü Yasasının Tanımı) adıyla yayımlanmıştır.

Logaritma, büyük sayılarla çarpma ve bölme yaparken, ortak tabanlı üsleri kullanarak, bu işlemleri toplama ya da çıkarma işlemine dönüştürme yöntemidir. Logaritma” sözcüğünü, “orantıların sayısı” ya da “algoritmik hesap” anlamına “logos” ve “arithmos” sözcüklerinden oluşturmuştur.

Farz edelim ki gerçekten büyük iki sayıyı çarpmanız gerekiyor bunun için önce bu iki sayının logaritmasını bulup toplamanız, ardından da bulduğunuz toplamın logaritmasının tersini bularak sonucu bulmanız mümkündür. Bunu bir matematiksel bir formül ile ifade etmemiz gerekirse:

log (x.y)= log x + log y  gösterimini size hatırlatabiliriz.

Bu işlemin yapılabilmesi için elbette öncelikle logaritma tabloları hazırlanmalıydı ve hazırlandı. Zamanla bu tablolar matematikçilerin elinden düşmez hale geldi. 17. – 20. yüzyıl arasında tüm bilimsel hesaplamalarda, özellikle çok büyük sayıların hesaplanmasının söz konusu olduğu gökbilimle ilgili olanlarda logaritma tabloları kullanılmıştır.

Napier’nin logaritma cetvelleri “e” (= 2,71828…) tabanlı (doğal logaritma) olup, logaritmaları 0°’den 90°’ye kadar her açı derecesi için 7 ilâ 8 haneli değerlerle vermekte ve yoru­cu astronomi hesaplamalarım, çok daha basit hale getirmektey­di. Bu bağlamda Kepler, yaşadığı dönemde logaritma keşfedilmiş olduğu için çok şanslıydı. Kepler logaritmaya karşı büyük bir hayranlık duymuş, bu konuda yazı yazmış ve 1620 tarihli bir yayınında logaritmanın kaşifi Napier’e kendi çalışmalarından birini ithaf ederek teşekkür etmiştir.

1960’lardan itibaren hesap makinesi ve bilgisayarın hayatımıza girmesiyle bu tablolara ihtiyaç azalsa da birçok fiziksel ve biyolojik sürecin davranışı logaritmik olduğu için logaritma halen matematiğin içinde önemini korumaktadır.

Verili bir sayının logaritması, “taban” deni­len sabitlenmiş bir sayının, verili bir sayıya ulaşmak için yükseltilmesi gereken kuvvetidir. Buna göre, 100’ün 10 tabanlı logaritması logıo100= 2’dir; çünkü 102 = 100 olur. Aynı şekilde 1000 sayısının 10 tabanına göre logaritması log10 1000=3’tür; çünkü 103 = 1000 dir. Logaritmaların ne kadar yavaş büyüdükleri görebilirsiniz. 100’den 1000’e kadar sayıların log10 değerleri yalnızca bir tamsayı kadar artmakta, yani 2 ile 3 arasında uzanmaktadır.

Logaritmasını tanıtmasından üç yıl sonra 1617 ’de John Napier mekanik bir hesap aracı olarak kendi adıyla anılan hesap çubukçuklarını tasar­ladı. Napier’in ‘kemikleri’ veya ‘çubukları’, bu parlak matematikçinin aritmetiği hızlandırmak için icat ettiği yöntemlerden sadece birisidir. Bunlar çarpma işlemini doğru ve çabuk yapmak için kullanılan, işaretli bir çubuk seti idi. Napier’in kemikleri üzerinde sayıların yazılı olduğu ve her birinin üzerinde sayının 2 katından 9 katına kadar bir çarpım tablosunun bulunduğu bir dizi çubuktan oluşan kullanışlı bir araçtı o devirde.

Bu arada yazıyı not düşmeden geçmeyelim Napier aynı zamanda ondalık işaretini kullanan ilk kişilerdendir. O sırada Avrupa’da Hint – Arap sayı sistemi yaygın bir biçimde kullanılmasına karşın kesirli sayıların yazılışı henüz bir resmiyet kazanmamıştı. Logaritma ile yaptığı çalışmada bunlara ihtiyaç duyan Napier, günümüzde kullandığımız Hint – Arap ondalık kesir biçimini çalışmalarında kullandı.

Peki Napier’in logaritmanın bulunmasına kadar erişen yolculuğu nasıl başladı derseniz kısaca ondan da bahsedelim. Aslında logaritma kavramına kadar Napier daha teorik bir yöntem üzerine çalışmalar yapıyordu. Yazdığı metinler bu yöntemin kusursuz hale gelmesinin onun 20 yılını aldığını gösteriyor bizlere. İşe geometrik dizilerle başlamıştı mesela 1-2-4-8-16-32… veya 1-10-100-1000… gibi çarpma yardımı ile artan dizilerle. Bu tarihte üstleri toplamanın katları çarpmakla aynı şey olduğu biliniyordu elbette. Bu işlem tam katlar için elbette kolayca yapılabiliyordu ama ya tam olmayanlar…

Napier bu iş ile uğraşırken Napier’in bir keşiften haberi oldu: Prosthaphaeresis, anlamı çarpım sonucu toplam sonucuna dönüştürülen işlemler. Pratikte kullanılan yöntem ise Viete’nin keşfettiği bir formüle dayanmaktaydı. sin\frac { x+y }{ 2 } cos\frac { x-y }{ 2 } =\frac { sinx+siny }{ 2 }

Sinüs ve kosinüs tabloları elinizin altındaysa çarpım sonucunu toplam sonucuna dönüştürmek için bu yöntem işe yarar. Napier bu fikri değerlendirmeye başladı. Ortak oranı 1′ çok yakın olan bir geometrik seri üzerinde çalışmaktaydı o sıralarda. Yani 2 veya 10 sayısı gibi katlar yerine örneğin 1,00000000001 sayısının katları gibi düşünebilirsiniz bunu. Böyle bir sayının katları arasında çok büyük boşluklar kalmamaktaydı. Napier bir defada yine bire yakın olan 0,9999999 sayısını ortak kat olarak seçti, bu sefer sayılar giderek küçülen bir durum göstermekteydi elbette. Napier 10.000.000 sayısı ile başlayıp bu sayıyı 0,9999999 oranının ardaşık katları ile çarpınca ilginç bir şeye ulaştı.

x’in Napier logaritması için Naplogx yazarsak:

Naplog 10.000.000=0

Naplog 9.999.999=1 biçiminde devam eder bu sonuç yani aşağıdaki denklem sağlanır.

Naplogx(107xy) =  Naplogx + Naplogy

Ne olursa olsun çarpma yapmak için Viete’nin formülünden daha kolay.

Birgün Napier’i ziyarete Oxford Üniversitesinden Henry Briggs geldi. Bu çalışmayı inceledikten sonra Napier’e 10 tabanlı logaritmayı kullanmayı önerdi ve logaritmanın kolaylaşması bu sayede oldu.

Bu fikirler yayılamadan Napier öldü. Ölümünden 2 sene sonra logaritma hesabı için bulduğu yöntemi anlattığı kitabı yayınlandı. Logaritma tablosunu hazırlama görevi de Briggs’e kaldı. Briggs 1 den 1000 e kadar tamsayıların logaritmalarını virgülden sonra 14 basamağa kadar hesapladı ve tabloyu 1617 yılında yayınladı. 1624 yılına gelindiğinde hesaplamayı 20.000 e kadar yapmıştı ve ölene kadarda tabloyu geliştirmeye devam etti. Bu arada bir ek not Briggs, logaritma işleminde kullanılan ve logaritmayı gösteren sayıda virgülün solundaki kısmı niteleyen “karakteristik” sözcüğünü de matematik terminolojisine kazandırmıştır. Virgülün sağını niteleyen “mantis” terimi ise 1693’te İngiliz matematikçi John Wallis tarafından önerilmiştir.

Logaritma bilim ile uğraşanların çarpma işlemini hızlı ve doğru yapmasını mümkün kıldı. Bir matematikçinin 20 yılını harcayarak ortaya çıkardığı kitap, daha sonra binlerce yıllık insan emeğini kurtardı. Dünyamız değişmiş ve cep hesap makineleri kullanıma girmiştir. 30 yıl öncesine kadar hesap işlemlerini gerçekleştirmede logaritma cetvelleri, sürgülü hesap cetvelleri bir hesap makinesi gibi kullanılıyordu. Logaritma günümüzde, önemli bir matematiksel fonksiyon olarak kalmışsa da
hesaplamada artık kullanılmamaktadır. Ancak yine de bilime katkısı tartışılmaz.

Kaynaklar:

Ian Stewart – Matematiğin Kısa Tarihi, syf 87 – 93

Chris Waring – Sıfırdan Sonsuza Matematiğin Öyküsü, syf 106-108

Zeki Tez – Matematiğin Kültürel Tarihi, syf 153,155

Matematiksel

Paylaşmak İsterseniz

Yazıyı Hazırlayan: Sibel Çağlar

Kadıköy Anadolu Lisesi, Marmara Üniversitesi, ardından uzun süre özel sektörde matematik öğretmenliği, eğitim koordinatörlüğü diye uzar gider özgeçmişim… Önemli olan katedilen değil, biriktirdiklerimiz ve aktarabildiklerimizdir bizden sonra gelenlere... Eğitim sisteminin içinde bulunduğu çıkmazı yıllarca iliklerimde hissettikten sonra, peki ama ne yapabilirim düşüncesiyle bu web sitesini kurmaya karar verdim. Amacım bilime ilgiyi arttırmak, bilimin özellikle matematiğin zihin açıcı yönünü açığa koymaktı. Yolumuz daha uzun ve zorlu ancak en azından deniyoruz.

Bunlara da Göz Atın

Ellisli Hippias’ın Kuadratriksi

M.Ö. beşinci yüzyılın sonlarına doğru Atina’da adlarına Sofistler dediğimiz halka açık özel dersler vererek maddi …

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.

ga('send', 'pageview');