MATEMATİK HER YERDE

Oyun Kuramı Minimaks Teoremi ve Nash Dengesi

Hepimiz her gün bir sürü karar alıyoruz. Bu kararların bir kısmının sonucu sadece bizi ilgilendirse de bir kısmı da başka insanların hayatlarını etkileme potansiyelinde sahip olabiliyor. Oyun kuramının görevi sonuçların bir kişi veya kişilerin verdiği kararlara bağlı olduğu durumları, olası her bir seçim için ayrı ayrı çözümleyip incelemektir.

Yazıyı daha iyi anlayabilmeniz için oyun yerine karar verilecek durumları, oyuncu deyince de kişi olarak düşünmeniz gerekiyor.

Sıfır Toplamlı Oyunlar

İki kişilik sıfır toplamlı oyun, iki kişi, iki şirket veya iki takım arasında oynanan ve bir tarafın kazanması durumunda diğer tarafın kaybedeceği oyun demektir. 2 kişilik sıfır toplamlı oyun kuramını net hatlarıyla ortaya koyan 1940’larda John von Neumann olmuştur.

Örneğin A ile B kişisi 10 lirasına bir iddiaya tutuşsunlar. Bu durumda mesela A kişisi 10 lirayı kazanırsa, B kişisi de 10 lirayı kaybedecektir. Sonuçta, bu oyun sıfır toplamlı bir oyundur. A’nın B ile işbirliğine gitmesinin bir anlamı yoktur.

Minimaks Teoremi

John Von Neuman tarafından dile getirilen teorem şu şekildedir: ”Her iki kişilik 0 toplamlı oyunda her oyuncu için öyle bir strateji vardır ki her taraf için de beklenen ceza değeri aynıdır. Hatta bu değer iki taraf için de alınabilecek en iyi değerdir. Bu nedenle bu stratejiler tarafların uygulayabileceği en üst düzeyde stratejilerdir”.

Bu teoremin söylemek istediği şudur: bu tarz oyunlarda her iki kişinin de memnun olacağı bir ortak nokta bulunur ve bu nokta oyunun en üst düzeyde stratejisidir.

Minimaks teoremi sadece 2 kişilik 0 toplamlı oyunları içeren bir genelleme sunar ve açıkta bir çok nokta bırakır. İşte bu açıkta kalan noktalar matematikçilerin konu üzerine daha fazla eğilmesine neden olmuştur.

Yeni teoremler çok uzun sürmeden kendisini gösterir ve bunlardan en iyisi John Forbes Nash’e Nobel ödülü getiren denge teoremdir.

Nash Dengesi

Herhangi bir oyunu sadece kendi açınızdan değerlendirirseniz kesinlikle en yüksek sonucu elde edeceğiniz bir stratejiniz olur. Fakat bu strateji karşınızdaki oyuncunun en yüksek stratejisine zıt sonuç yaratacağı için onun planları sizinkini bozacaktır. Bu durumda herkesin dengenin sağlanması için biraz fedakarlık göstermesi gerekecektir.

Peki böyle bir dengenin bir oyunda olup olmadığını garanti eden nedir? Nash’in teoremi n kişilik “anlaşmasız” oyunlarda (0 toplamlı olsun olmasın) böyle bir dengenin varlığını söylemektedir.

Oyun kuramında oyunlar bazen anlaşmalı bazen de anlaşmasız olur. Anlaşmasız oyunların en ünlüsü Tutuklunun İkilemi diğer adıyla Mahkum İkilemidir.

Mahkum İkilemi

Nash’in doktora hocası Albert Tucker’ın tasarladığı mahkum ikilemi probleminde iki kişi, Alan (A) ve Bruce (B) otobanda bir soyguna karıştıkları şüphesiyle polis tarafından tutuklanır; fakat polisin ikili aleyhine kanıtları yetersizdir. Mahkumları nasıl ifade verecekleri konusunda fikir alışverişinde bulunmasınlar diye iki ayrı hücreye koyarlar.

Alan ve Bruce’un alacağı hapis cezası sadece polis sorgusunda bireysel olarak nasıl davrandıklarına değil, ortak olarak nasıl davrandıklarına da bağlı olacaktır. Çünkü biri itiraf eder de diğeri etmezse polis itirafçıyı, on yıl yerine bir yıl ceza ile “ödüllendirecektir”. Eğer iki mahkum birden itiraf ederse de; bu durumda her ikisi için de dört yıl hapis cezası istenecek ve dava bu şekilde kapanmış olacaktır.

Bu oyunun iki stratejisi var; itiraf etmek ya da sessiz kalmak.

mahkum-ikilemi

Alan’ın ne yapması gerekir? ltiraf ederse alacağı en yüksek ceza Bruce’un da itiraf etmesi halinde dört yıl hapis cezası olacaktır. İtiraf etmezse, alacağı en yüksek ceza on yıl hapis olacaktır.

Alan akılcı bir insan olduğundan itiraf etmeyi tercih eder. Bruce da bu probleme aynı şekilde bakar ve o da itiraf etmeyi tercih eder; nihayetinde ikisi de dört yıl hapis cezasına çarptırılır.

Buna göre, her birey seçim yaparken ilişkide bulunduğu diğer birey ve değişkenlerin davranışlarını gözeterek en iyi sonucu alabileceği tercihi yapmaya çalışmalıdır. Yani seçim yaparken bireysel çıkarlardan ziyade, etkileşimde olduğu alanın çıkarını da gözeterek en etkili sonucu alabileceği seçimi yapması gerekiyor.

Bir başka yazımıza göz atmak isterseniz: Oyun Teorisi: Cinsiyetler Savaşı

Konu ile ilgili daha fazla bilgi edinmek için aşağıdaki videoya da göz atabilirsiniz…

Kaynaklar

Tony Crilly – Gerçekten Bilmeniz Gereken 50 Matematik Fikri, syf: 189 – 191

Tony Crilly-Matematik Geleceği Kestirebilir mi?, syf: 176,178

Matematiksel

Sibel Çağlar

Kadıköy Anadolu Lisesi, Marmara Üniversitesi, ardından uzun süre özel sektörde matematik öğretmenliği, eğitim koordinatörlüğü diye uzar gider özgeçmişim… Önemli olan katedilen değil, biriktirdiklerimiz ve aktarabildiklerimizdir bizden sonra gelenlere... Eğitim sisteminin içinde bulunduğu çıkmazı yıllarca iliklerimde hissettikten sonra, peki ama ne yapabilirim düşüncesiyle bu web sitesini kurmaya karar verdim. Amacım bilime ilgiyi arttırmak, bilimin özellikle matematiğin zihin açıcı yönünü açığa koymaktı. Yolumuz daha uzun ve zorlu ancak en azından deniyoruz.

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

Başa dön tuşu