Oyun Teorisi

Oyun Teorisi Hakkında Bilmeniz Gereken Temel Bilgiler

Hepimiz her gün bir sürü karar alıyoruz. Bu kararların bir kısmının sonucu sadece bizi ilgilendirse de bir kısmı da başka insanların hayatlarını etkileme potansiyelinde sahip olabiliyor. Oyun teorisi sonuçların bir kişi veya kişilerin verdiği kararlara bağlı olduğu durumları, olası her bir seçim için ayrı ayrı çözümleyip incelemektedir. Diğer bir deyişle oyun teorisi, çıkar çatışması durumlarının matematiksel olarak incelenmesidir. Temelinde farklı durumlarda stratejik davranışları analiz etmeye odaklanır. Oyun teorisindeki bir problem çözümü önce tipik olarak hedeflerin ve seçeneklerin cebirsel denklemler açısından ölçülmesini ve ardından en yüksek maksimum başarı olasılığını veren seçeneği bulmayı içerir.

oyun teorisi

Oyun Teorisinin Kısa Tarihi

İnsanlar yüzyıllar boyunca oyunlar ve stratejiler üzerinde çalışsalar da oyun teorisi, John von Neumann 1928’de “minimax teoremi” olarak bilinen şeyi kanıtladığında uygulamalı matematiğin bir dalı haline geldi. Bu teorem, her oyuncunun sınırlı sayıda seçenekten birini seçtiği ve her oyuncunun yaptığı seçime bağlı olarak, oyunculardan birinin diğer oyuncuya belirli bir miktar para verdiği iki oyuncu arasında oynanan oyunları dikkate alır. Bu durumlarda bir oyuncunun uğradığı kayıplar diğer oyuncunun kazandıklarına tam olarak eşit olduğu için, buna genellikle “sıfır toplamlı oyun” denir. Örneğin A ile B kişisi 10 lirasına bir iddiaya tutuşsunlar. Bu durumda mesela A kişisi 10 lirayı kazanırsa, B kişisi de 10 lirayı kaybedecektir. Sonuçta, bu oyun sıfır toplamlı bir oyundur. 

Von Neumann, bir oyuncunun kazancını maksimize edecek (veya kayıpları en aza indirecek) benzersiz bir strateji olduğunu kanıtlayabilmiştir. Bu çalışma daha sonra 1944 yılında von Neumann ve Oskar Morgenstern tarafından oyun teorisini ekonomistler için değerli bir araç haline getiren Oyun Teorisi ve Ekonomik Davranış ( Theory of Games and Economic Behavior) adlı kitapta genelleştirilmiştir.

Von Neumann’ın yazdığı strateji türünün bir örneği, hepimizin bildiği taş-kağıt-makas oyununu oynarken ortaya çıkıyor. Bu oyunda, iki oyuncunun her biri üç olası seçenekten birini seçer (taş, kağıt veya makas). Her oyuncunun yaptığı seçime bağlı olarak ikisinden biri kazanan ilan edilir. Taş makası, makas kağıdı, kağıt da taşı yener. İki oyuncu aynı seçimi yaparsa, oyun berabere ilan edilir. Karşınızdaki rakibin yaptığı seçim ne olursa olsun, sonuçta oyunda kazanma, kaybetme veya beraberlik biçiminde üç seçenek vardır. Bu nedenle, oyuncu rakibin neyi seçeceğine dair herhangi bir öngörüye sahip değilse, her biri üçte bir olasılığa sahip rastgele üç seçenekten birini seçerek en iyisini yapacaktır.

Oyun Teorisine John Nash’ın Katkıları

Minimaks teoremi sadece 2 kişilik 0 toplamlı oyunları içeren bir genelleme sunar ve açıkta bir çok nokta bırakır. İşte bu açıkta kalan noktalar matematikçilerin konu üzerine daha fazla eğilmesine neden olmuştur. Yeni teoremler çok uzun sürmeden kendisini gösterir ve bunlardan en iyisi John Forbes Nash’e Nobel ödülü getiren denge teoremdir. Herhangi bir oyunu sadece kendi açınızdan değerlendirirseniz kesinlikle en yüksek sonucu elde edeceğiniz bir stratejiniz olur. Fakat bu strateji karşınızdaki oyuncunun en yüksek stratejisine zıt sonuç yaratacağı için onun planları sizinkini bozacaktır. Bu durumda herkesin dengenin sağlanması için biraz fedakarlık göstermesi gerekecektir. Peki böyle bir dengenin bir oyunda olup olmadığını garanti eden nedir? Nash’in teoremi n kişilik “anlaşmasız” oyunlarda (0 toplamlı olsun olmasın) böyle bir dengenin varlığını söylemektedir. Oyun kuramında oyunlar bazen anlaşmalı bazen de anlaşmasız olur. Anlaşmasız oyunların en ünlüsü Tutuklunun İkilemi diğer adıyla Mahkum İkilemidir.

Mahkum İkilemi

Nash’in doktora hocası Albert Tucker’ın tasarladığı mahkum ikilemi probleminde iki kişi, Alan (A) ve Bruce (B) otobanda bir soyguna karıştıkları şüphesiyle polis tarafından tutuklanır; fakat polisin ikili aleyhine kanıtları yetersizdir. Mahkumları nasıl ifade verecekleri konusunda fikir alışverişinde bulunmasınlar diye iki ayrı hücreye koyarlar. Alan ve Bruce’un alacağı hapis cezası sadece polis sorgusunda bireysel olarak nasıl davrandıklarına değil, ortak olarak nasıl davrandıklarına da bağlı olacaktır. Çünkü biri itiraf eder de diğeri etmezse polis itirafçıyı, on yıl yerine bir yıl ceza ile “ödüllendirecektir”. Eğer iki mahkum birden itiraf ederse de; bu durumda her ikisi için de dört yıl hapis cezası istenecek ve dava bu şekilde kapanmış olacaktır. Bu oyunun iki stratejisi var; itiraf etmek ya da sessiz kalmak.

mahkum-ikilemi

Alan’ın ne yapması gerekir? ltiraf ederse alacağı en yüksek ceza Bruce’un da itiraf etmesi halinde dört yıl hapis cezası olacaktır. İtiraf etmezse, alacağı en yüksek ceza on yıl hapis olacaktır. Alan akılcı bir insan olduğundan itiraf etmeyi tercih eder. Bruce da bu probleme aynı şekilde bakar ve o da itiraf etmeyi tercih eder; nihayetinde ikisi de dört yıl hapis cezasına çarptırılır. Buna göre, her birey seçim yaparken ilişkide bulunduğu diğer birey ve değişkenlerin davranışlarını gözeterek en iyi sonucu alabileceği tercihi yapmaya çalışmalıdır. Yani seçim yaparken bireysel çıkarlardan ziyade, etkileşimde olduğu alanın çıkarını da gözeterek en etkili sonucu alabileceği seçimi yapması gerekiyor.

Oyun teorisi ekonomide bir devrim yarattı. Devamında da üniversitelerde iktisat ile ilgili bölümlerde standart bir ders halini aldı. Oyun teorisi ile ilgili okumalarınıza bu yazımız ile devam etmenizi öneririz.

Kaynaklar

  • Sarah J. Greenwald; Jill E. Thomley; The Encyclopedia of Mathematics and Society; ISBN: 1587658461
  • Tony Crilly – Gerçekten Bilmeniz Gereken 50 Matematik Fikri, syf: 189 – 191

Matematiksel

Sibel Çağlar

7 yıl Kadıköy Anadolu Lisesinin devamında lisans eğitimimi Marmara Üniversitesi İng. Matematik öğretmenliği üzerine tamamladım. Devamında 20 yıl çeşitli özel eğitim kurumlarında matematik öğretmenliği ve eğitim koordinatörlüğü yaptım. 2015 yılında matematiksel.org web sitesini kurdum. Amacım bilime ilgiyi arttırmak, bilimin özellikle matematiğin zihin açıcı yönünü açığa koymaktı. Yolumuz daha uzun ve zorlu ancak en azından deniyoruz.

Bir Yorum

  1. Bir matematik öğretmeni olarak böyle bir sitenin varlığı beni sonsuz mutlu etti diyebilirim.

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak.