Karl Weierstrass’ın fonksiyonu, diğer adıyla “canavar” diye anılan fonksiyon, süreklilik ile türevlenebilirlik arasındaki ilişkinin ne kadar sıkı olduğunu sorgular.
Matematikte süreklilik, sezgisel olarak düşündüğümüz anlama yakındır. Girdilerde küçük bir değişiklik yapıldığında çıktılar da küçük değişiyorsa, fonksiyon süreklidir. Türevlenebilirlik ise daha güçlü bir koşuldur. Bir fonksiyon, her noktada kendisini yerel olarak iyi temsil eden bir teğet doğruya sahipse türevlenebilir kabul edilir.
Grafikler üzerinden düşünürsek, sürekli bir fonksiyon sıçrama yapmaz. Türevlenebilir bir fonksiyon ise köşe ya da sivri uç içermez. Bu yüzden türevlenebilirliğin sürekliliği gerektirdiği açık görünür. Ancak tersi doğru değildir.
Örneğin mutlak değer fonksiyonu f(x)=|x| her noktada süreklidir. Buna karşılık x=0 noktasında keskin bir köşesi olduğu için orada türevlenebilir değildir. Bu basit örnek bile, süreklilik ile türevlenebilirliğin aynı şey olmadığını gösterir.
Weierstrass’ın “Canavar” Fonsiyonu Nedir?
Böyle köşeleri olan bir fonksiyon üretmek aslında zor değildir. Örneğin her tam sayıda bir tepe ya da çukur oluşturan bir testere dişi fonksiyonu tanımlayabilirsiniz. Bu tür bir fonksiyon, bu ayrık noktalarda türevlenemez; ancak bu noktalar sonsuz sayıda olsa da düzenli aralıklarla dağılmıştır. Geri kalan her yerde türev vardır.
Karl Weierstrass’ın sorduğu soru çok daha uçtaydı: Sürekli bir fonksiyon ne kadar “türevlenemez” olabilir? Başka bir deyişle, sürekliliği koruyup türevlenebilirliği tamamen yok etmek mümkün müydü?
Weierstrass bu soruya açık bir yanıt verdi. İnşa ettiği fonksiyon her noktada süreklidir, fakat hiçbir noktada türevlenmez. Başka bir deyişle, fonksiyon her yerde “düzgün” görünürken, hiçbir noktada teğet çizilemez. Bu sonuç, süreklilik ile türevlenebilirlik arasındaki ilişkinin sanıldığından çok daha zayıf olduğunu doğrudan gösterir.
Weierstrass, bu şaşırtıcı fonksiyonu, sonsuz sayıda dalga benzeri kosinüs fonksiyonunu üst üste ekleyerek oluşturdu. Her yeni terim eklendikçe fonksiyon daha fazla zikzak yapmaya başladı. Sonunda, her noktada yön değiştiren, sonsuz derecede tırtıklı bir testere dişine benzeyen bir yapı ortaya çıktı.
Birçok matematikçi bu fonksiyonu ciddiye almadı. Onlara göre bu yalnızca bir anomaliydi; aşırı titizliğin ürünü, matematiksel açıdan işe yaramaz bir tuhaflıktı. Üstelik gözlerinde canlandıramıyorlardı.
Nitekim Weierstrass’ın fonksiyonunun grafiğini ilk kez çizmeye çalıştığınızda, bazı bölgelerde düzgün görünür. Ancak yakınlaştıkça bu bölgelerin de pürüzlü olduğunu fark edersiniz. Büyütmeyi sürdürdükçe grafik giderek daha dişli, daha düzensiz bir hâl alır. Matematikçiler bu yeni kavramı, o dönemde “canavar” olarak adlandırdı.
Weierstrass Fonksiyonunun Mirası
Buna rağmen Weierstrass, fonksiyonunun süreksizlik içermemesine karşın hiçbir noktada türevlenebilir olmadığını kesin biçimde gösterdi. Bunu yapmak için önce süreklilik ve türevlenebilirlik kavramlarını yeniden ele aldı.
Çünkü bu kavramları ondan onlarca yıl önce tanımlayan Augustin-Louis Cauchy ve Bernard Bolzano, daha çok sezgisel, günlük dile dayanan ve yer yer tutarsız bir gösterim kullanmıştı. Bu durum tanımların kolayca yanlış anlaşılmasına yol açıyordu.
Weierstrass bu belirsizliği ortadan kaldırdı. Süreklilik ve türevlenebilirliği açık, kesin bir dille ve somut matematiksel formüllerle yeniden tanımladı. Bugün analiz derslerinde öğretilen epsilon-delta limit tanımı da bu yaklaşımın ürünüdür. Weierstrass, modern analizin temelini atan bu tanımı süreklilik ve türevlenebilirlik kavramlarının merkezine yerleştirdi.
Matematikçiler Weierstrass’ın izinden gitmek zorunda kaldı; fonksiyon kavramını keskinleştirdiler, süreklilik ile türevlenebilirlik arasındaki ilişkiyi yeniden düşündüler ve türev ile integral hesaplama yöntemlerini daha sağlam temellere oturttular. Bu çabalar zamanla “analiz” olarak bildiğimiz alanı doğurdu ve Weierstrass bu alanın kurucularından biri olarak kabul edildi.
Sonuç Olarak
Kısacası Weierstrass’ın fonksiyonu, matematiğin yalnızca düzgün ve sezgisel yapılardan ibaret olmadığını gösterdi. İmkânsız gibi görünen fonksiyonların, tuhaf nesnelerin ve erken fraktal örneklerinin matematiğin doğal bir parçası olduğunu ortaya koydu. Bu bakış açısı, matematikçileri daha geniş ve alışılmadık olasılıkları ciddiye almaya zorladı.
Zamanla bu “canavar” fonksiyonlar pratik alanlarda da işe yaradı. Özellikle pürüzsüz olmayan ama sürekli süreçleri, örneğin Brown hareketini, belirsiz karar mekanizmalarını ve finansal piyasaların karmaşık davranışlarını modellemede önemli araçlar sundu. Weierstrass’ın çalışması, etkisini geç gösterse de, bugün hâlâ matematiği ve uygulamalarını şekillendirmeyi sürdürüyor.
Kaynaklar ve ileri okumalar
The Jagged, Monstrous Function That Broke Calculus. Yayınlanma tarihi: 12 Ocak 2025. Kaynak site: Quanta Magazine. Bağlantı: The Jagged, Monstrous Function That Broke Calculus
Size Bir Mesajımız Var!
Matematiksel, matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.
Matematiksel
