Matematiğin Temelinde Peano Aksiyomları Bulunur

Matematik bir yasalar ve kabuller bütünü. Bunun temelinde de Peano Aksiyomları yer alır.

Peano aksiyomlarını anlamak, bir aksiyomun gerçekte ne olduğunu ve matematikte neden ihtiyaç duyulduğunu bilmekle başlar. Bir aksiyom, başka bir kanıta ihtiyaç duymadan doğru olduğuna inanılan bir ifadedir. Bir aksiyom olarak kabul edilmeyen her ifade, doğru olarak kabul edilmeden önce kanıtlanmalıdır. Bir ifadeyi ispatlarken varsayımlar yapılır. Bu varsayımlar ya aksiyomlardır ya da zaten önceden kanıtlanmış ifadelerdir. Başka bir deyişle matematikçiler, zaten doğru olduğunu bildikleri şeylerden yeni bilgiler elde etmeye çalışır.

Bu da aslında bize aksiyomlar neden gereklidir sorusunun cevabını verir. Aksiyomlar bir başlangıç ​​noktası görevi görürler. Matematikçilerin bazı kanıtlar için önce temele ihtiyaçları vardır. Aksiyomlar da bu temel görevini görürler. Derler ki dünyada tüm kuralları insanlarca oluşturulmuş iki temel disiplin vardır. Birincisi elbette hukuktur. İkincisi ise matematik. O zaman gelin şimdi bazı kurallar koyalım.

  1. Sıfır bir doğal sayıdır.
  2. Her doğal sayının ardılı da bir doğal sayıdır.
  3. Sıfır, herhangi bir doğal sayının ardılı değildir.
  4. Herhangi iki doğal sayının ardılları birbirine eşit ise bu iki doğal sayı da birbirine eşittir.
  5. Bir S sayı kümesi sıfır ve ayrıca S kümesinin içindeki her sayının ardılını da içeriyorsa, o zaman her sayı S kümesinin içindedir.

Evet az önce bu yazıyı okuyan tüm okurların gözleri önünde mucizevi bir olaya imza attık. Doğal Sayılar kümesini oluşturduk! (Bazı tanımlamalarda 1. aksiyom bir sayısı ile başlar. Bunun nedeni matematikçiler arasında doğal sayıların sıfır ile mi yoksa bir ile mi başlaması gerektiği konusunda tam bir uzlaşı olmamasıdır) Aslında az önce okuduklarınız Peano Aksiyomları idi. Bu aksiyomlar adına genelde N dediğimiz doğal sayılarla ilgili sonuçların kanıtlamasına olanak tanır.

Giuseppe Peano Adı ile Anılan Peano Aksiyomlarını Neden Yazdı?

Muhtemelen aksiyomlardan fazla heyecanlanmadınız. Size saçma bile gelmiş olabilir. Sonuçta doğal sayılar gibi her şeyiyle açık seçik ortada duran bir yapı böyle bir tanımlamaya neden gereksinim duyar ki? Aslında 1800’lü yılların sonunda bizzat İtalyan matematikçi Giuseppe Peano tarafından ortaya konan bu aksiyomlar doğal sayıların varlığını ortaya koydu. Beşinci aksiyom ise , tümevarım ilkesi olarak bilinir.

Giuseppe Peano
Giuseppe Peano (1858 – 1932) İtalyan bir matematikçidir. 200’den fazla kitap ve makalenin yazarı, birçok notasyona katkıda bulunduğu matematiksel mantık ve küme teorisinin kurucusuydu. Doğal sayıların standart aksiyomatizasyonu, onuruna Peano aksiyomları olarak adlandırılır. 

Peano yoksul bir ailenin zeki çocuğuydu. Okuduğu üniversitede pek çok hocası bu keskin zekasını akademik düzeyde bir matematikle köreltmemesini ve mühendis olmasını tavsiye ettiyse de o matematik tutkusundan vazgeçmemiş hatta aritmetik ve küme teorisi alanında çok ciddi çalışmalar yapmıştır. Günümüzde kullanılan birleşim kesişim fark gibi küme işaretlerini tanımlayıp ilk kez kullanan da kendisi olmuştur. Kısacası matematikten bir hukuk yaratmıştır. Ancak genel kullanıcının çok da ilgisini çekmeyen hatta heyecanını kaybetmesine sebep olan, öte yandan matematikçileri ise büyük bir heyecana iten, bu aksiyomlar neydi, ne işe yarıyordu? Gerekli miydi?

Peano Aksiyomları Neden Önemlidir?

Adına matematik dediğimiz büyük yapı çevremizde içinde “kesinlik” “mutlaklık” kavramlarını içinde barındırabilme ihtimali en yüksek olan yapı. Bu da kurallarının insanlarca oluşturulmuş olması cümlesini anlamsız kılıyor gibi gözükmekte. Tersten bakalım, hukukla düzenlenen durumlar için de aynı şeyi söylemek pekala mümkün. Örneğin yasa güvencesinde olan insanların en temel hakkı olan yaşam hakkı. O kadar temel, bahsetmeye lüzum duyulmayan bir hak olmasına rağmen önce bu düzenlenir. Çeşitli ceza sistemleriyle koruma altına alınır. Ve bu bir kabuldür. Bir bir toplumsal uzlaşıdır.

Yunan matematikçi Euclid (yaklaşık 300 BCE) tarafından geliştirilen geometri aksiyomları gibi, Peano aksiyomları aritmetik, sayı teorisi ve küme teorisi gibi konular için üzerinde çalışılabilecek bir zemin hazırladı.

Peano Aksiyomları Herkesin Uzlaşacağı Bir Zemin Yarattı

Peano Aksiyomları ile yapılan şey tüm matematikçilerin üzerinde uzlaşıyla çalışabileceği hukuki zemin yaratmaktır. Çünkü matematik için 2+2=4 işlemi yan yana getirilen ikişer parmağın birleşerek dört parmak oluşturması işlemi değildir. Parmağın koyunun kuzunun sayılabilecek hiçbir nesnenin olmadığı bir soyut düzlemde de 2+2=4 sonucunun ortaya konulabilmesi için ihtiyaç duyulan şey bir kabulden başka şey değildir.

Eğer kabul 2+2=5 olacak şekilde ortaya konulsaydı matematik bu yönde şekillenirdi ve gerçekten de 2+2=5 olurdu. Yani bir anlamda Dostoyevski’nin rüyası gerçek olurdu ya da George Orwell’ın kabusu…Böyle bir dünyada ise artık 2+3’ün ise 5 yapmayacağı yeni bir düzen olurdu. Bilinen tüm toplama işlemlerinin sonucu değişir ve yine kendi içinde örtük bir matematik oluşurdu. Önemli olan nokta herhangi bir çelişkinin ortaya çıkmaması.

Durum böyle olsaydı bunun fiziksel dünyanın gerçekleriyle çelişeceğini dolayısıyla ciddi sıkıntılar ortaya çıkabileceğini düşünebilirsiniz. Ortaya çıkan bu farazi durumda gerçekten kendi içinde çelişkisiz bir matematik ortaya konulabilseydi belki günümüzdekinden daha zor daha kompleks işlemler ortaya çıkardı.

Üstelik denildiği gibi matematik bir yasalar ve kabuller bütünü. Bir hukuk. Ve hukuk zaman zaman fiziksel dünyanın gerçekleriyle çelişen yasalar inşa edebilir. Öyle ya insanlar köleliğin yasal olduğu bir dünyada binlerce yıl geçirdiler. Matematik de benzer şekilde içinde 0’ın olmadığı bir düzen kurarak bir yapı oluşturdu ve bu durumun bedelini 0’ın yarattığı tanımsızlık ve belirsizliklerle uğraşarak ödedi.

Matematik günümüzde de hukuki durumunun yarattığı pek çok sorunla uğraşmaya devam ediyor. Fakat bu onun  insanlar tarafından ortaya konulmuş en adil problem çözme hukuku olduğu gerçeğini değiştirmiyor.


Kaynaklar ve ileri okumalar:

Matematiksel

Hasan Huseyin Akis

Kendimi bildim bileli bir sorunu çözmek durumunda kalıyorum ve ya düzenli olarak çözülmesi gereken problemler yaratıyorum. Sanırım matematikte beni büyüleyen şey de bu. bir çözüm bulma çabası... Öyle ki bu çözüm bulma çabası çoğu kez anlamsız bir çabaya dönüşüyor. Bir çözümü gerçekten bulmak çoğu zaman bir insan ömrüne sığmıyor. Ama matematik o arada hiç durmadan aramaya devam ediyor. Bana öyle geliyor ki matematik insanoğlunun dünyada karşı karşıya kaldığı tüm problemleri çözme çabasının tamamını temsil ediyor hem de tüm yönleriyle. Beni matematiğin içine sokan da, matematikte görmüş olduğum o bizi aşan güzellik de sanırım matematiğin bu yönüyle ilgili... Matematiğin bu yönünü belki diğer insanlara anlatabilirim ve diğer insanların da matematiği benim gördüğüm haliyle görebilmelerini sağlayabilirim umuduyla buradayım. Bunun dışında İzmir'in Ödemiş ilçesinde doğup Matematik Bölümünü Çanakkale'de okumuş olmak gibi bir özgeçmişim var. Halen Çanakkale'de yaşıyorum, bir özel okulda Matematik Öğretmeni olarak çalışıyorum.
Başa dön tuşu