Matematiğin Temelinde Peano Aksiyomları Bulunur

Matematik bir yasalar ve kabuller bütünü. Bunun temelinde de Peano Aksiyomları yer alır.

Derler ki dünyada tüm kuralları insanlarca oluşturulmuş iki temel disiplin vardır. Birincisi elbette hukuktur. İkincisi ise matematik. O zaman gelin şimdi bazı kurallar koyalım.

  1. Elimizde boş olmayan bir sayı kümesi vardır ve 1 elemanını kapsar. ( Bazı tanımlamalar 0 elemanını kapsar biçimindedir.)
  2. Her doğal sayının bir ve yalnız bir ardılı vardır.
  3. Ardılı 1 olan hiçbir doğal sayı yoktur.
  4. Herhangi iki doğal sayının ardılları eşit ise kendileri de eşittir.
  5. Bir doğal sayılar topluluğu 1’i içeriyorsa ve başka herhangi bir doğal sayıyı içerdiğinde onun ardılını da içeriyorsa, o zaman bu doğal sayılar topluluğu bütün doğal sayıları içerir.

Evet az önce bu yazıyı okuyan tüm okurların gözleri önünde mucizevi bir olaya imza attık. Doğal Sayılar kümesini oluşturduk! Aslında az önce okuduklarınız Peano Aksiyomları idi. Yukarıda okuduğunuz ilk dört maddenin anlaşılması oldukça kolay.

Sonucunda ilk aksiyom 1 sayısının varlığını garanti ediyor. İkincisi diğer bütün doğal sayıların ardıllar aracılığı ile var olduğunu, üçüncüsü başlangıç noktamızı, dördüncüsü ise sayıların birbirine hangi şartlarda eşit olacağını gösteriyor. Bu dört aksiyomdan hareketle, verilen bir doğal sayılar topluluğunun doğal sayılar kümesi olup olmadığını anlamamız olanaksız. Bunu son aksiyom sayesinde yapıyoruz.

Giuseppe Peano Adı ile Anılan Peano Aksiyomlarını Neden Yazdı?

Giuseppe Peano (1858 – 1932) İtalyan bir matematikçidir. 200’den fazla kitap ve makalenin yazarı, birçok notasyona katkıda bulunduğu matematiksel mantık ve küme teorisinin kurucusuydu. Doğal sayıların standart aksiyomatizasyonu, onuruna Peano aksiyomları olarak adlandırılmaktadır. 

Giuseppe Peano
Giuseppe Peano (1858 – 1932) 

Peano yoksul bir ailenin zeki çocuğuydu. Okuduğu üniversitede pek çok hocası bu keskin zekasını akademik düzeyde bir matematikle köreltmemesini ve mühendis olmasını tavsiye ettiyse de o matematik tutkusundan vazgeçmemiş hatta aritmetik ve küme teorisi alanında çok ciddi çalışmalar yapmıştır. Günümüzde kullanılan birleşim kesişim fark gibi küme işaretlerini tanımlayıp ilk kez kullanan da kendisi olmuştur. Kısacası matematikten bir hukuk yaratmıştır. Ancak genel kullanıcının çok da ilgisini çekmeyen hatta heyecanını kaybetmesine sebep olan, öte yandan matematikçileri ise büyük bir heyecana iten, bu aksiyomlar neydi, ne işe yarıyordu? Gerekli miydi?

Peano Aksiyomları Neden Önemlidir?

Adına matematik dediğimiz büyük yapı çevremizde içinde “kesinlik” “mutlaklık” kavramlarını içinde barındırabilme ihtimali en yüksek olan yapı. Bu da kurallarının insanlarca oluşturulmuş olması cümlesini anlamsız kılıyor gibi gözükmekte. Tersten bakalım, hukukla düzenlenen durumlar için de aynı şeyi söylemek pekala mümkün. Örneğin yasa güvencesinde olan insanların en temel hakkı olan yaşam hakkı. O kadar temel, bahsetmeye lüzum duyulmayan bir hak olmasına rağmen önce bu düzenlenir. Çeşitli ceza sistemleriyle koruma altına alınır. Ve bu bir kabuldür. Bir bir toplumsal uzlaşıdır.

Yunan matematikçi Euclid (yaklaşık 300 BCE) tarafından geliştirilen geometri aksiyomları gibi, Peano aksiyomları aritmetik, sayı teorisi ve küme teorisi gibi konular için üzerinde çalışılabilecek bir zemin hazırladı.

Bu Aksiyomlar Herkesin Uzlaşacağı Bir Zemin Yarattı

Peano Aksiyomları ile yapılan şey tüm matematikçilerin üzerinde uzlaşıyla çalışabileceği hukuki zemin yaratmaktır. Çünkü matematik için 2+2=4 işlemi yan yana getirilen ikişer parmağın birleşerek dört parmak oluşturması işlemi değildir. Parmağın, koyunun, kuzunun olmadığı bir soyut düzlemde de 2+2=4 sonucunun ortaya konulabilmesi için ihtiyaç duyulan şey bir kabulden başka şey değildir.

Eğer kabul 2+2=5 biçiminde olsaydı, matematik bu yönde şekillenirdi ve gerçekten de 2+2=5 olurdu. Yani bir anlamda Dostoyevski’nin rüyası gerçek olurdu ya da George Orwell’ın kabusu…Böyle bir dünyada ise artık 2+3’ün ise 5 yapmayacağı yeni bir düzen olurdu. Bilinen tüm toplama işlemlerinin sonucu değişir ve yine kendi içinde örtük bir matematik oluşurdu.

Durum böyle olsaydı bunun fiziksel dünyanın gerçekleriyle çelişeceğini dolayısıyla ciddi sıkıntılar ortaya çıkabileceğini düşünebilirsiniz. Ortaya çıkan bu farazi durumda gerçekten kendi içinde çelişkisiz bir matematik ortaya konulabilseydi belki günümüzdekinden daha zor daha kompleks işlemler ortaya çıkardı.

Matematik bir yasalar ve kabuller bütünü. Bir hukuk. Ve hukuk zaman zaman fiziksel dünyanın gerçekleriyle çelişen yasalar inşa edebilir. Hatırlayalım. İnsanlar da köleliğin yasal olduğu bir dünyada binlerce yıl geçirdiler.



Kaynaklar ve ileri okumalar:


Dip Not:

Matematiksel, 2015 yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım

Matematiksel

Hasan Huseyin Akis

Kendimi bildim bileli bir sorunu çözmek durumunda kalıyorum ve ya düzenli olarak çözülmesi gereken problemler yaratıyorum. Sanırım matematikte beni büyüleyen şey de bu. bir çözüm bulma çabası... Öyle ki bu çözüm bulma çabası çoğu kez anlamsız bir çabaya dönüşüyor. Bir çözümü gerçekten bulmak çoğu zaman bir insan ömrüne sığmıyor. Ama matematik o arada hiç durmadan aramaya devam ediyor. Bana öyle geliyor ki matematik insanoğlunun dünyada karşı karşıya kaldığı tüm problemleri çözme çabasının tamamını temsil ediyor hem de tüm yönleriyle. Beni matematiğin içine sokan da, matematikte görmüş olduğum o bizi aşan güzellik de sanırım matematiğin bu yönüyle ilgili... Matematiğin bu yönünü belki diğer insanlara anlatabilirim ve diğer insanların da matematiği benim gördüğüm haliyle görebilmelerini sağlayabilirim umuduyla buradayım. Bunun dışında İzmir'in Ödemiş ilçesinde doğup Matematik Bölümünü Çanakkale'de okumuş olmak gibi bir özgeçmişim var. Halen Çanakkale'de yaşıyorum, bir özel okulda Matematik Öğretmeni olarak çalışıyorum.

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir