Bir Dağın Yüksekliği Matematik Yardımı İle Nasıl Ölçülür?

2020 yılında Çin ve Nepal, Everest Dağı’nın şimdiye kadar dünya çapında kabul edilen 8.848 m’den 86 cm daha uzun olduğunu açıklamıştı. 86 cm, 8.848 metre ile karşılaştırıldığı zaman elbette çok küçük bir uzunluk farkı. Sonuçta depremler nedeniyle dağların yüksekliğinin değiştiğini biliyoruz. Ancak akla gelen asıl soru bir dağın yüksekliğini ölçmeyi nasıl başardığımızdır.

Aslında 150 yılı aşkın bir süredir bilim insanları Everest Dağı’nın tam yüksekliğini belirlemeye çalışıyorlar. Zirveye 1856’da İngiliz araştırmacı George Everest’in adı verildi. Ancak aslında bu dağ, Tibetliler tarafından Chomolungma ve Nepalliler tarafından Sagarmatha olarak adlandırılmaktaydı.

Yine de tüm dünyanın ilgisini George Everest’in adı ile çekecekti. Dağın ilk ölçümü ise Hindistan alt kıtasını bilimsel hassasiyetle incelemeyi amaçlayan uzun soluklu bir proje olan Hindistan’ın Büyük Trigonometrik Araştırma (Great Trigonometrical Survey) kapsamında gerçekleşti.

George Everest, bu araştırmada müfettiş olarak yer almaktaydı. Bir mühendis olarak Everest, günün ölçüm ekipmanlarında çeşitli iyileştirmeler yaptı. Onun bilgileri, hassas hesaplamaları Hindistan’ın en doğru haritalarının yapılmasına yardımcı oldu.

Ancak Everest dağının yüksekliğini kendisi ölçmedi. Aslında 1843’te emekli oldu. Sonrasında 1852’de Hintli bir matematikçi olan Radhanath Sikhdar’ın ölçümleri sonucunda Everest dağının dünyanın en yüksek zirvesi olduğunu keşfedildi. George Everest bu dağı bizzat hiç görmese de katkılarından dolayı zirveye onun adı verilecekti.

Yükseklikleri Ölçmek İçin Trigonometri Her Zaman İşe Yarar

Trigonometri, günümüzden çok önce Yunanlılar tarafından yüksek yapıları ölçmek için ve Victoria dönemi araştırmacıları tarafından da bir dağın yüksekliğini ölçmek için kullanılıyordu. Aslına bakarsanız günümüzde uydular da daha modern bir yaklaşım ile ancak esasen aynı prensibi uygulayarak dağın yüksekliği ölçmektedir.

Herhangi bir üçgende üç kenar ve üç açı vardır. Bu niceliklerden biri kenar olmak koşuluyla, üç değeri biliyorsak diğerlerini de hesaplayabiliriz. Dik açılı bir üçgende, açılardan biri zaten bilinmektedir. Bu durumda da herhangi bir açıyı ve kenarlardan birini biliyorsak, diğerleri de bulabiliriz. Bu ilke ile aslında sadece bir dağın değil, herhangi bir nesnenin yüksekliğini ölçmek her zaman mümkündür.

Diyelim ki bir direğin veya bir binanın yüksekliğini ölçmeniz gerekiyor. Öncelikle binadan biraz uzakta herhangi bir noktayı zeminde işaretleyerek işe başlamalıyız. Bu sizin gözlem noktanız olacaktır. Şimdi iki şeye ihtiyacınız var.

Bunlardan ilki binanın gözlem noktasına olan uzaklığıdır. Diğeri ise binanın tepesinin zemindeki gözlem noktası ile yaptığı açıdır. Mesafeyi hesaplamak bir çok durumda zor olmayacaktır. Yükselti açısını ölçmek için de kullanmanız gereken basit aletler bulunmaktadır. Bunun sonucunda gözlem noktasından binaya olan uzaklık d ise ve eğim açısı E ise, o zaman binanın yüksekliği d × tan(E) biçiminde olacaktır.

Bir Dağın Yüksekliğini Ölçmek Bu Kadar Basit mi?

Aslında prensip olarak aynı ancak elbette bir kaç farklı sorun var. En başta da dağın zirvesini bilseniz bile tabanının nerede başladığı her zaman belirgin değildir. Bu nedenle de genel olarak bir dağın başlangıç noktası deniz seviyesi biçiminde kabul edilmektedir.

Ayrıca, dağa kadar olan mesafeyi bulmak da her zaman kolay değildir. Günümüzde bu nispeten kolaylaşsa da 1950’lerde ilk resmi ölçümde GPS ya da uydu görüntüleri yoktu. Hatta işin komik tarafı o zamana kadar kimse Everest Dağı’na bile tırmanmamıştı. Peki, fiziksel olarak gidemeyeceğiniz bir dağın yüksekliğini nasıl ölçeriz? Aslında bu durum için de işe matematik karışacaktır.

Aynı bakış açısında iki farklı gözlem noktasından yükseklik açılarını ölçerek bu sorunu çözebiliriz. Bunu daha iyi anlamak için yukarıdaki görsele bir kere daha bakabilirsiniz. Bu durumda iki tane dik üçgen ile uğraşmanız gerekiyor.

Bu iki dik üçgenin bir kenarı yani dağın yüksekliği ise ortak. İki farklı gözlem noktası arasındaki mesafeyi de bildiğinize göre basit bir hesap ile dağın yüksekliğini bir kere daha yanına gitmeden ölçebilirsiniz.

Günümüzde Bir Dağın Yüksekliği Nasıl Ölçülüyor?

Yukarıda anlattığımız çözümler zirvesini görebildiğimiz tepeler ve dağlar için çoğu zaman doğruya yakın sonuçlar verecektir. Ancak söz konusu olan Everest gibi devasa yükseklikler ise işin içine başka şeyler de karışır.

Günümüzde dağların yüksekliğini ölçmek için genellikle GPS kullanılmaktadır. Ancak yüksek dağların ölçümleri esnasında yerçekimi de işini içine karışmaktadır. Bunun için tek başına GPS kullanımı da yeterli gelmez. ( Göz atmak isterseniz: Trigonometri Nedir? Sinüs İle Kosinüs Tam Olarak Ne Anlama Gelir?)

Günümüzde, temel trigonometri, dünyayı çevreleyen bir uydu ordusundan destek alıyor. Bir uydu, Dünya’daki bir alıcı kulesine ping gönderdiğinde, o noktanın belirli bir koordinat sistemindeki konumunu inanılmaz bir hassasiyetle hesaplar.

Bu hesaplama bilinen iki faktöre dayanır: radyo sinyali ışık hızında hareket eder ve uydu, belirli bir zamanda Dünya’nın merkezine göre bilinen bir konumda bulunur. Coğrafyacılar, Everest’in tepesine yakın bir alıcı kulesi yerleştirdikleri için, yüksekliğinin daha kesin bir ölçüsünü bu sayede elde edebildiler.

Kaynaklar ve ileri okumalar

• Experts Explain: How to measure a mountain; Yayınlanma tarihi: 18 Aralık 2020; Bağlantı: https://indianexpress.com/
• Mount Everest: named after the first surveyor general of India; Yayınlanma tarihi: 21 Haziran 2011; Bağlantı: https://www.theguardian.com/
• They Named Mount Everest After Him – But He Never Laid Eyes On It; yayınlanma tarihi: 31 Mayıs 2018; bağlantı: https://allthatsinteresting.com/george-everest
• Shrinking Mount Everest: How to Measure a Mountain; yayınlanma tarihi: 1 Mayı 2015; Bağlantı: https://www.livescience.com

Size Bir Mesajımız Var!

Matematiksel, 2015 yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak veya Patreon üzerinden ufak bir bağış yaparak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.

Matematiksel