İlginç Sayılar

Matematikçilerin İkiz Asallar İle İlgili Sorunları Nedir?

Kendilerinden ve 1’den başka böleni olmayan asal sayılar, aritmetiğin atomları olarak bilinir. Çünkü tüm tam sayılar, tıpkı moleküllerin atomlardan oluşması gibi, asal sayıların birleşimi biçiminde ifade edilebilir. Bu ve daha bir çok özelliği nedeniyle de Öklid’in 2.000 yıldan fazla bir süre önce sonsuz sayıda olduğunu kanıtladığı asal sayılar matematikçileri büyüler. Belki de bu büyülenmenin nedenlerinden birisi de matematikte çözülememiş problemlerin bazılarının asal sayılar ile ilgili olmasıdır. Bu problemlerden biri de asal sayıların sayı doğrusu üzerinde dağılımı ve yazımızın konusu olan ikiz asallar ile ilgilidir.

Asal sayılar sayı doğrusu başında bol miktarda bulunmalarına rağmen dağılımları eşit aralıklarla değildir. Sayılar büyüdükçe birbirlerinden giderek uzaklaşırlar. Örneğin, ilk 10 sayıyı düşünürsek 2,3,5 ve 7 yani yüzde 40’ı asaldır. Ancak ilk 100 sayı içinde 25 tane asal sayı olduğunu görürüz. 1001 ile 1100 arasında yalnızca 16, 100001 ve 100100 sayıları arasında da sadece altı tane asal sayı vardır. 10 basamaklı sayıların tamamını ele aldığımızda bu sayıların yalnızca yaklaşık yüzde 4’ü asaldır.

Yani asal sayılar giderek azalır. Başka bir deyişle, ardışık iki asal sayı arasındaki mesafe giderek daha büyük hale gelir. Neyse ki matematikçiler, asal sayıların ortalama olarak nasıl azaldığını bilirler. Asal sayılar arasındaki beklenen boşluk, basamak sayısının yaklaşık 2,3 katıdır. Örneğin 100 basamaklı sayıları ele alırsak iki asal sayının arasında yaklaşık 230 asal olmayan sayının bulunmasını bekleriz. Ancak hatırlatalım, bu elbette yaklaşık bir ortalamadır. Bazı asal sayılar birbirine bu ortalamadan çok daha yakın, bazıları ise çok daha uzaktır. En büyük asal sayının ne olduğu ile ilgili ilgili arayışlar devam ederken, matematikçiler mevcut asal sayıların dağılımlarına bakarak bir sonraki asal sayının nerede olacağını bulmaya çalışırlar. Ancak bu çok da kolay değildir.

İkiz Asallar Nedir?

Aralarındaki fark 2 olan ardışık asal sayılara ikiz asallar denir. Örneğin (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109), (137, 139) çiftleri ikiz asal sayılardır. Sayılar evrenine girdikçe asal sayılar giderek daha seyrek hale gelse de, başka bir ikiz asal çifti karşımıza çıkar. Örneğin, 1129’dan sonra, sonraki 21 sayı içinde herhangi bir ikiz asal bulamazsınız; sonra aniden 1151 ve 1153 ikiz asalları ortaya çıkar.

Matematikçilerin ilgisini çeken sadece ikiz asallar değildir. Aralarında asal olmayan dört sayı bulunan asal sayılara kuzen asallar denir. Aralarında 6 asal olmayan sayı bulunan asal sayılara da seksi asallar denir.

İkiz Asallar Sonsuz Sayıda mıdır?

Bu soru, sayılar kuramının yıllardır çözülememiş en büyük problemlerinden birisidir ve “ikiz asallar sanısı ( varsayımı, kestirimi) olarak adlandırılır. Bu sayılar hakkında kesin olan şey, oldukça nadir olduklarıdır. İlk milyon tam sayı arasında yalnızca 8169 tane vardır. Sonsuz sayıda ikiz asalın var olup olmadığını veya belirli bir ikiz asal çiftten sonra daha büyük olanların olup olmadığını kesin olarak bilemiyoruz.

Bu konu ile ilgili bir araştırma da geçtiğimiz yıllarda bizi mutlu etmişti. Boğaziçi Üniversitesi’nden Prof. Dr. Cem Yalçın Yıldırım çalışma arkadaşları Daniel Goldston ve Janos Pintz ile birlikte sanı hakkında önemli bir gelişmeye imza atmışlardı. Çalışmaları sonsuz sayıda ikiz asal olduğunu kanıtlamasa da, bu yönde atılmış önemli bir adımdı. Bu sayede de sayılar teorisi alanında 2014 Frank Nelson Cole Ödülü – kısaca Cole ödülü – sahibi olmuşlardı.

Bu sonuçtan sonra İkiz Asallar Sanısı için umutlar arttı. Aralarındaki fark 2 olan sonsuz tane asal sayı çifti bulunabilir mi? Hatta biraz alçak gönüllülük yapıp bu 2 sayısından da vazgeçtik. Örneğin aralarındaki fark 10’dan fazla olmayan sonsuz tane p ve q asal sayı çifti bilebilir miyiz? Yitang Zhang aralarındaki fark yetmiş milyondan fazla olmayan sonsuz tane asal sayı çifti bulunacağını gösterdi. James Maynard, Zhang’ın yetmiş milyon olarak bulduğu sınırlamayı birdenbire 600’e indirdi. Terence Tao başkanlığında bir ekip bu sayıyı 246’ya indirdi. Ancak sonrasında ilerleme durdu.

Matematikçiler, problemi tamamen çözmek için yeni bir fikre ihtiyaç duyduklarını anladılar. Bunun içinde sonlu sayı sistemleri ile uğraşmaya karar verdiler. Bu mantıkla 2019 yılında iki matematikçi varsayımının – en azından bir çeşit alternatif evrende – doğru olduğunu kanıtladı. Kötü haber şu ki, kanıtları geometriye dayandığından bu kanıtı ikiz asallara uygulamak muhtemelen mümkün olmayacak.

Kaynaklar ve ileri Okumalar: Unheralded Mathematician Bridges the Prime Gap; https://www.quantamagazine.org/

Matematiksel

Sibel Çağlar

Merhabalar. Matematik öğretmeni olarak başladığım hayatıma 2016 yılında kurduğum matematiksel.org web sitesinde içerikler üreterek devam ediyorum. Matematiğin aydınlık yüzünü paylaşıyorum. Amacım matematiğin hayattan kopuk olmadığını kanıtlamaktı. Devamında ekip arkadaşlarımın da dahil olması ile kocaman bir aile olduk. Amacımıza da kısmen ulaştık. Yolumuz daha uzun ama kesinlikle çok keyifli.

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

Başa dön tuşu