Cebir soruları çözerken x + y = 7 biçiminde bir denklem görüldüğünde gözlerimiz hemen ikinci bir denklem arar. Aksi takdirde, bir çözüm bulunamayacağı duygusu vardır. Ancak, aslında bu denklemin birkaç çözümü vardır. Çözümlerimizi tamsayı değerlerle sınırlarsak, olası çözümlerden biri x = 2 ve y = 5 olacaktır, çünkü 2 + 5 = 7’dir. Bu tür bir düşünce ilk olarak Helenistik dönem Yunan matematikçi Diophantus tarafından tanıtılmıştır.
İskenderiye’de yaşamış olan matematikçi Diophantus, cebir alanındaki çalışmaları ile ünlüdür. 11. yüzyılda yaşamış olan Bizanslı bilgin Micheal Psellus’un bir mektubundan alınan bilgiler dışında yaşam öyküsüne ilişkin fazla bir bilgi yoktur. Çalışmalarının bazı parçaları bulunmasına rağmen, bugünkü şöhreti, cebiri bugün bildiğimiz şekliyle ilk kez sunan ve sayı teorisi çalışmasının öncüsü olan on üç kitaptan oluşan Arithmetica adlı bir dizi kitaptan kaynaklanmaktadır.
Arithmetica’da Diophantus işe sayılar ile ilgili bazı kavramları tanıtarak başlar. Devamında da tarihte ilk defa değişken denilecek kavramları kullanamaya başlar. Kitapta pozitif ve negatif sayılara da yer verilir ayrıca kesirleri gerçek sayılar olarak gören ilk kişi yine Diophantus olur. Diophantus’un, çok incelikli cebirsel gösterimler kullanmasa da, problemlerindeki bilinmeyen ve bilinmeyenin kuvvetleri için kısaltmalar kullanarak cebirsel semboller geliştirmenin yolunu açtığı söylenebilir. Bu nedenle, pek çok tarihi kaynakta kendisi Cebir’in kurucusu olarak gösterilir.
1621’de Fransız matematikçi Claude Gaspard Bachet de Méziriac (1581-1638), Les éléments arithmétiques’i yazdı, bu Diophantus’un Arithmetica’sının Yunancadan Latinceye tercümesidir. Bu çevirinin bir kopyası Fransız matematikçi Pierre de Fermat’da da (1607–1665) vardı. Kitabın bir sayfanın kenar boşluğuna Fermat, xn + yn = zn denkleminin tamsayı çözümlerinin bulunmadığına dair bir kanıtı olduğunu ancak kenarda yeterli boşluğa sahip olmadığı için yazamayacağını not almıştı. Bu, devamında Fermat’ın son teoremi olarak bilinmeye başlandı ve İngiliz matematikçi Andrew Wiles 1995 yılında çözülene kadar 358 yıl boyunca matematikçileri şaşkına çevirdi.
Diophantus Denklemi
Birden çok değişkene bağlı olan ve tamsayı çözümleri istenen denkleme de Diophantus denklemi denir. Diophantine denklemleri günlük hesaplarımızda da önemli bir rol oynar. 500 liraya tanesi altı ve sekiz lira olan posterlerden kaç tane satın alabileceğinizi belirlemek istediğimizi varsayalım. Bunu 8x + 6y = 500 denklemi biçiminde ifade edebiliriz. Denklem, her iki tarafı 2 ile sadeleştirince 4x + 3y = 250’ye dönüştürülür. Bu noktada aradığımız x ve y’ler tamsayı olmak zorunda olduğu için bu değerleri bulmak zor değildir.
İlk olarak bu tip bir denklemin tamsayı çözümü olup olmadığını anlamak zorundayız. Bunun içinde kullanışlı bir teorem kullanıyoruz. a, b ve k tamsayılar olmak üzere, ax + by = k denkleminde, eğer a ve b’nin en büyük ortak böleni aynı zamanda bir k sayısının da böleni ise, o zaman denkleminde x ve y için sonsuz sayıda çözümü vardır. Yani x ve y sayısını bulamazsınız. Ancak İsviçreli matematikçi Leonhard Euler (1707–1783) tarafından geliştirilen bir yöntem ile sonuca ulaşmak mümkündür. Ancak öncelikle aşağıdaki düzenlemeyi yapmamız gerekmektedir.
Şimdi işe bir t = (1− x)/ 3 olsun, bu da x = 1 – 3t elde etmemizi sağlar. Şimdi bu x’i orijinal denkleme koyarsak şunu elde ederiz:
Asıl sorumuzda x ve y’nin pozitif tamsayı olması gerektiğini biliyoruz. Bu nedenle, x = 1 – 3t> 0 veya t <1/3 ve y = 82 + 4t> 0, bu da bizi t> −20 1/2’ye götürür. Bu iki şartı aynı anda sağlayan t tamsayılarının 21 tane olduğunu biliyoruz. Bu da bize 21 farklı biçimde 500 liraya 6 veya 8 liralık posterlerden alabileceğimizi söyler. Diophantus adı denkleminden ziyade mezar taşında yazdığı iddia edilen aşağıdaki bilmece ile bilinir.
Diophantus Yaş Problemi
Tanrı ona hayatının altıda biri kadarında çocuk olmayı bağışladı; on ikide biri kadarı da eklenince sakal bıraktı; yedide biri kadar zaman geçince içinde evlilik ateşi yandı ve evlendikten beş yıl sonra bir oğul bahşedildi. Geç baba olmuş adam ve babasının yaşının yarısına kadar yaşadığında kendisini soğuk mezarların aldığı zavallı evlat. Kendisini sayıların ilmiyle teselli ettiği dört yılın ardından hayatı sonuna erdi.
İfadeyi dönüştürürken D harfini Diaphantus’un öldüğü zamanki yaşı olarak alıyoruz. Mezar taşı D/6 yıl çocuk olduğunu ve sakalının çıkması için D/12 yıl geçtiğini ifade ediyor ve ardından D/7 yıl sonra evleniyor. 5 yıl sonra D/2 sene yaşayan bir çocuk sahibi oluyor ve dört sene sonra da son nefesini veriyor. Tüm bu zaman aralıklarının toplamı D’ye eşit çünkü D, Diophantus’un yaşadığı yıl sayısına eşit. O halde: D/6+D/12+D/7+5+D/2+4=D denklemi karşımıza çıkacaktır. Paydaları eşitleyip denklemi çözdüğümüzde ise elde edilen sayı 84. Bu durumda kesinliği tartışmalı olan mezar taşının üzerindeki yazıya göre 33 yaşında evlenmiş, bir oğlu olmuştur. Oğlu kendisinden dört yıl önce 42 yaşında ölmüştür. Bir insanın yaşam öyküsü herhalde bundan daha öz ve ilginç anlatılamaz.
Matematiksel
