Cebir soruları çözerken x + y = 7 biçiminde bir denklem görüldüğünde gözlerimiz hemen ikinci bir denklem arar. Aksi takdirde, bir çözüm bulunamayacağı duygusu vardır. Ancak, aslında çözümlerimizi tamsayı değerlerle sınırlarsak (2, 5), (1, 6), (-2,9) gibi bazı sayılar bu denklemi sağlar. Bu tür bir düşünce ilk olarak Helenistik dönem Yunan matematikçi Diophantus tarafından tanıtılmıştır.
İskenderiye’de yaşamış olan matematikçi Diophantus, cebir alanındaki çalışmaları ile ünlüdür. 11. yüzyılda yaşamış olan bu bilginin yaşam öyküsüne ilişkin fazla bir bilgi yoktur. Çalışmalarının bazı parçaları bulunmasına rağmen, bugünkü şöhreti, sayı teorisi çalışmasının öncüsü olan ve on üç kitaptan oluşan Arithmetica adlı bir dizi kitaptan kaynaklanmaktadır.
Arithmetica’da Diophantus işe sayılar ile ilgili bazı kavramları tanıtarak başlar. Devamında da tarihte ilk defa değişkenlerini kullanamaya başlar. Kitapta pozitif ve negatif sayılara da yer verilir. Ayrıca kesirleri gerçek sayılar olarak gören ilk kişi yine Diophantus olur.
Diophantus’un, çok incelikli cebirsel gösterimler kullanmasa da, problemlerindeki bilinmeyen ve bilinmeyenin kuvvetleri için kısaltmalar kullanarak cebirsel semboller geliştirmenin yolunu açtığı söylenebilir. Bu nedenle, pek çok tarihi kaynakta kendisi Cebir’in kurucusu olarak gösterilir.
1621’de Fransız matematikçi Claude Gaspard Bachet de Méziriac tarafından kaleme alınan Les éléments arithmétiques‘i Diophantus’un kitabının Yunancadan Latinceye tercümesidir. Bu çevirinin bir kopyası Fransız matematikçi Pierre de Fermat’da da vardı. Kitabın bir sayfanın kenar boşluğuna Fermat, xn + yn = zn denkleminin tamsayı çözümlerinin bulunmadığına dair bir kanıtı olduğunu ancak kenarda yeterli boşluğa sahip olmadığı için yazamayacağını not almıştı. Bu, devamında Fermat’ın son teoremi olarak bilinmeye başlandı. İngiliz matematikçi Andrew Wiles 1995 yılında çözene kadar 358 yıl boyunca matematikçileri şaşkına çevirdi.
Diophantus Denklemi Nedir?
Birden çok değişkene bağlı olan ve tamsayı çözümleri istenen denkleme Diophantus denklemi denir. Diophantine denklemleri günlük hesaplarımızda da önemli bir rol oynar. 500 liraya tanesi altı ve sekiz lira olan posterlerden kaç tane satın alabileceğinizi belirlemek istediğimizi varsayalım. Bunu 8x + 6y = 500 denklemi biçiminde ifade edebiliriz. Denklem, her iki tarafı 2 ile sadeleştirince 4x + 3y = 250’ye olacaktır. Bu noktada aradığımız x ve y’ler pozitif tamsayı olmak zorunda olduğu için, bu değerleri bulmamız kolaydır.
İlk olarak bu tip bir denklemin tamsayı çözümü olup olmadığını anlamak zorundayız. Bunun içinde kullanışlı bir teorem kullanıyoruz. Eğer a, b ve k tamsayılar ise ax + by = k denkleminde, a ve b’nin en büyük ortak böleni aynı zamanda bir k sayısının da böleni olduğu zamanlarda, denklemin x ve y için sonsuz sayıda çözümü vardır. Yani x ve y sayısını bulamazsınız. Ancak İsviçreli matematikçi Leonhard Euler tarafından geliştirilen bir yöntem ile sonuca ulaşmak mümkündür. Ancak öncelikle aşağıdaki düzenlemeyi yapmamız gerekmektedir.
Şimdi işe bir t = (1− x)/ 3 olsun. Bu da x = 1 – 3t elde etmemizi sağlar. Şimdi bu x’i orijinal denkleme koyarsak şunu elde ederiz:
Asıl sorumuzda x ve y’nin pozitif tamsayı olması gerektiğini biliyoruz. Bu nedenle, x = 1 – 3t > 0 veya t <1/3 ve y = 82 + 4t> 0 olacaktır. Bu da bizi t > −20,5 değerine götürür. Bu iki şartı aynı anda sağlayan t tamsayılarının 21 tane olduğunu biliyoruz. Yani 21 farklı biçimde 500 liraya 6 veya 8 liralık posterlerden alabiliriz.
Diophantus Yaş Problemi
Diophantus adı denkleminden ziyade mezar taşında yazdığı iddia edilen aşağıdaki bilmece ile bilinir.
Tanrı ona hayatının altıda biri kadarında çocuk olmayı bağışladı; on ikide biri kadarı da eklenince sakal bıraktı; yedide biri kadar zaman geçince içinde evlilik ateşi yandı ve evlendikten beş yıl sonra bir oğul bahşedildi. Geç baba olmuş adam ve babasının yaşının yarısına kadar yaşadığında kendisini soğuk mezarların aldığı zavallı evlat. Kendisini sayıların ilmiyle teselli ettiği dört yılın ardından hayatı sonuna erdi.
İfadeyi dönüştürürken D harfini Diaphantus’un öldüğü zamanki yaşı olarak alıyoruz. Mezar taşında D/6 yıl çocuk olduğunu ve sakalının çıkması için D/12 yıl geçtiği yazıyor. Ardından D/7 yıl sonra evleniyor. 5 yıl sonra D/2 sene yaşayan bir çocuk sahibi oluyor. Dört sene sonra da son nefesini veriyor. Tüm bu zaman aralıklarının toplamı D’ye eşit çünkü D, Diophantus’un yaşadığı yıl sayısına eşit.
O halde: D/6+D/12+D/7+5+D/2+4=D denklemi karşımıza çıkacaktır. Paydaları eşitleyip denklemi çözdüğümüzde ise elde edilen sayı ise 84 olacaktır. Bu arada sorunun kendi içinde de bir Diophantus denklemi bulunmaktadır. Bütün problemi istersek sadece tam sayılarla ve biraz mantıkla çözebiliriz.
Bu durumda kesinliği tartışmalı olan mezar taşının üzerindeki yazıya göre 33 yaşında evlenmiştir. Oğlu kendisinden dört yıl önce yani 42 yaşında ölmüştür. Bir insanın yaşam öyküsü herhalde bundan daha öz ve ilginç anlatılamaz.
Kaynak: Can You Solve the Age of This Dead Mathematician?; Yayınlanma tarihi: 7 Temmuz 2022. Bağlantı: https://www.popularmechanics.com/
Matematiksel
