Sorular ve Bulmacalar

Sonsuz Bir Çikolata ve Banach-Tarski Paradoksu

Çikolatayı hepimiz severiz ancak muhtemel bir çikolata ile ilgili sevmediğimiz şey onun bitmesidir. Keşke basit bir hile ile elimizdeki çikolatayı hiç bitmeyecek hale getirmenin bir yolu olsaydı, değil mi! Aslında var. Bu yazıda ilk olarak bir zamanlar internette görenleri şaşkına çeviren sonsuz çikolata, hiç bitmeyen çikolata adı ile bilinen ilginç bir fenomenden bahsedelim. Sonrasında da bu fenomenin bağlantılı olduğu Banach-Tarski Paradoksunu tanıyalım. Öncesinde daha evvelden görmeyenlerin aşağıdaki hareketli görsele bakmanızı öneririz.

İşte size sonsuz bir çikolata!


Aslında işlem basit; 5 × 5 dikdörtgen parçalardan oluşan bir çikolatayı alın. Sonrada aşağıdaki görselde göreceğiniz biçimde çikolatayı yanlamasına kesin. Ardından, A parçası olarak adlandıracağımız yeni kesilmiş parçayı, üst ucundaki üçüncü bloktan (soldan) dikey olarak dilimleyin. B parçasının ilk üç bloğunu oluşturan çikolata bloklarından bir kare (D) ve 1 × 2 dikdörtgen (E) keselim. Bu durumda kalan parça da F olsun.

Şimdi işin eğlenceli kısmı başlasın. F parçasını sağa doğru kaydırın. Oluşan boşluğa C’yi koyun. Daha sonra da elinizdeki parçaları boş kalan yerlere aşağıdaki görseldeki gibi yerleştirin. Bir parça arttırdınız bile. Sonsuz çikolata elde etmek için bu işlemi tekrarlayın! Elbette mantıklı değil ama oluyor! Peki ama bu nasıl oluyor diye düşünüyorsanız ortada olan biten bir şey de yok aslında. Paradoksu gösteren gif büyük ölçüde yanılsama içermektedir. Çünkü parçalar yeniden düzenlendiğinde ortaya çıkan çikolata, başladığımızla olanla aynı ölçüde değildir. Evde denemek isterseniz öncesinde ve sonrasında dikey uzunlukları ölçtüğümüz zaman çikolatanın boyunun kısaldığını siz de görebilirsiniz.

Sonsuz çikolata paradoksu, matematikte az bilinen Banach-Tarski paradoksunun kabaca bir temsili gibidir. Bu paradoks hiç bir şeyden bir şey var etmenin matematiksel olarak tamamen mümkün olduğunu gösteren teoremdir. Paradoks olarak kabul edilmesinin nedeni de bunun gerçek dünya fiziğine indirgenememesidir. Kısaca bu paradokstan da bahsedelim.

Banach-Tarski paradoksu nedir?

1924’te Stefan Banach ve Alfred Tarski, aşağıdaki iddianın matematiksel olarak sağlam bir kanıtını sunarak matematik camiasını şaşkına çevirdi: Teorik olarak içi dolu bir küreyi sonlu sayıda parçalara ayırmak ve ve bunları hiç eğip bükmeden, germeden, yalnızca öteleme ve döndürme yolu ile yeniden bir araya getirdiğimizde, her biri orijinaliyle tamamen aynı boyut ve şekilde olan iki küre oluşturmak matematiksel olarak mümkündü.

Banach-Tarski paradoksuna göre, bir küreyi 5 parçaya bölmek ve orijinalin iki özdeş kopyasını oluşturmak için bunları yeniden düzenlemek mümkündür.
Kaynak: https://math.hmc.edu/funfacts/banach-tarski-paradox/

Paradoksun altında yatan matematik, tahmin edebileceğiniz gibi, son derece ezoteriktir ve bu nedenle anlaşılması ve anlatılması oldukça zordur. Paradoks kısaca ölçülemez büyüklüklerden oluşan ölçülebilir kümelerle ilgilenir. Banach-Tarski Paradoksunun size yapmanızı söylediği şey, kürenizi (diyelim ki hacmi 1) alıp ölçülemeyen parçalara bölmenizdir. Şimdi, ölçülemez oldukları için, hangi hacimle başlamanız gerektiğine dair bilgiyi ‘kaybettiniz’. Bu, onları tekrar bir araya getirdiğinizde istediğiniz hacmi elde edebileceğiniz anlamına gelir.

Örnekte de gördüğünüz gibi kürenin bölünmesi ile elde edilen beş şekil, şimdiye kadar karşılaştığımız hiçbir şekle benzemez. Son derece, eksantrik, karmaşık ve çarpık formdadır. Bu yüzden bu teorem sağduyuya meydan okur. Ancak yine de sonuç doğrudur. Ancak elde edilen sonuç, alan ve hacmin nasıl davranması gerektiğine dair anlayışımıza aykırıdır.

Bazı Sağduyuya Aykırı Sonuçlar Matematik Dünyasında Mümkündür

Teorik olarak, küçük bir top sınırlı sayıda parçaya ayrılır ve daha sonra büyük bir top olarak yeniden oluşturulabilir. Yani istenirse bezelye büyüklüğünde bir küreyi sonlu sayıda parçaya bölüp, parçaları tekrar birleştirerek güneş büyüklüğünde bir küre yaratmak mümkündür!

Yukarıda aktardığımız kavram elbette gerçek dünyada değil, yalnızca soyut, matematiksel bir dünyada uygulanabilir. Zaten bu paradoksu ortaya atan matematikçiler de arka plandaki saçmalığı göstermeyi amaçlamışlardır. Banach-Tarski paradoksunu günümüzde matematiğin zenginliğinin bir göstergesi olarak görüyor. Matematiğin kendi kendisiyle çelişmeden fiziksel sezgiden nasıl sapabileceğinin yasalara uygun bir örneğini bizlere sunuyor.



Kaynaklar ve ileri okumalar:


Dip Not:

Matematiksel, 2015 yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konularda ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım

Matematiksel

Sibel Çağlar

Merhabalar. Matematik öğretmeni olarak başladığım hayatıma 2016 yılında kurduğum matematiksel.org web sitesinde içerikler üreterek devam ediyorum. Matematiğin aydınlık yüzünü paylaşıyorum. Amacım matematiğin hayattan kopuk olmadığını kanıtlamaktı. Devamında ekip arkadaşlarımın da dahil olması ile kocaman bir aile olduk. Amacımıza da kısmen ulaştık. Yolumuz daha uzun ama kesinlikle çok keyifli.
Başa dön tuşu