İlginç Sorular ve Bulmacalar

Sonsuz Bir Çikolata ve Banach-Tarski Paradoksu

Çikolatayı hepimiz severiz ancak muhtemel bir çikolata ile ilgili sevmediğimiz şey onun bitmesidir. Keşke basit bir hile ile elimizdeki çikolatayı hiç bitmeyecek hale getirmenin bir yolu olsaydı, değil mi! Aslında var. Bu yazıda ilk olarak bir zamanlar internette görenleri şaşkına çeviren sonsuz çikolata, hiç bitmeyen çikolata adı ile bilinen ilginç bir fenomenden bahsedelim. Sonrasında da bu fenomenin bağlantılı olduğu Banach-Tarski Paradoksunu tanıyalım. Öncesinde daha evvelden görmeyenlerin aşağıdaki hareketli görsele bakmasını öneririz.

İşte size sonsuz bir çikolata!


Aslında işlem basit; 5 × 5 dikdörtgen parçalardan oluşan bir çikolatayı alın. Sonrada aşağıdaki görselde göreceğiniz biçimde çikolatayı yanlamasına kesin. Ardından, A parçası olarak adlandıracağımız yeni kesilmiş parçayı, üst ucundaki üçüncü bloktan (soldan) dikey olarak dilimleyin. B parçasının ilk üç bloğunu oluşturan çikolata bloklarından bir kare (D) ve 1 × 2 dikdörtgen (E) keselim. Bu durumda kalan parça da F olsun.

Şimdi işin eğlenceli kısmı başlasın. F parçasını sağa doğru kaydırın. Oluşan boşluğa C’yi koyun. Daha sonra da elinizdeki parçaları boş kalan yerlere aşağıdaki görseldeki gibi yerleştirin. Bir parça arttırdınız bile. Sonsuz çikolata elde etmek için bu işlemi tekrarlayın! Elbette mantıklı değil ama oluyor! Peki ama bu nasıl oluyor diye düşünüyorsanız ortada olan biten bir şey de yok aslında. Paradoksu gösteren gif büyük ölçüde yanılsama içermektedir. Çünkü parçalar yeniden düzenlendiğinde ortaya çıkan çikolata, başladığımızla olanla aynı ölçüde değildir. Evde denemek isterseniz öncesinde ve sonrasında dikey uzunlukları ölçtüğümüz zaman çikolatanın boyunun kısaldığını siz de görebilirsiniz.

Sonsuz çikolata paradoksu, matematikte az bilinen Banach-Tarski paradoksunun kabaca bir temsili gibidir. Bu paradoks hiç bir şeyden bir şey var etmenin matematiksel olarak tamamen mümkün olduğunu gösteren teoremdir. Paradoks olarak kabul edilmesinin nedeni de bunun gerçek dünya fiziğine indirgenememesidir. Kısaca bu paradokstan da bahsedelim.

Banach-Tarski paradoksu

1924’te Stefan Banach ve Alfred Tarski, aşağıdaki iddianın matematiksel olarak sağlam bir kanıtını sunarak matematik camiasını şaşkına çevirdi: Teorik olarak içi dolu bir küreyi sonlu sayıda parçalara ayırmak ve ve bunları hiç eğip bükmeden, germeden, yalnızca öteleme ve döndürme yolu ile yeniden bir araya getirdiğimizde, her biri orijinaliyle tamamen aynı boyut ve şekilde olan iki küre oluşturmak matematiksel olarak mümkündü.

Banach-Tarski paradoksuna göre, bir küreyi 5 parçaya bölmek ve orijinalin iki özdeş kopyasını oluşturmak için bunları yeniden düzenlemek mümkündür.
Kaynak: https://math.hmc.edu/funfacts/banach-tarski-paradox/

Paradoksun altında yatan matematik, tahmin edebileceğiniz gibi, son derece ezoteriktir ve bu nedenle anlaşılması ve anlatılması oldukça zordur. Paradoks kısaca ölçülemez büyüklüklerden oluşan ölçülebilir kümelerle ilgilenir. Kürenin bölünmesi ile elde edilen beş şekil, şimdiye kadar karşılaştığımız hiçbir şekle benzemeyen, son derece eksantrik, karmaşık ve çarpık formdadır. Bu yüzden bu teorem sağduyuya meydan okur. Hacim ve alan gibi kavramlara ilişkin sezgisel algılarımızı sorgular. Elde edilen sonuç, alan ve hacmin nasıl davranması gerektiğine dair anlayışımıza aykırıdır. Sonlu miktarda malzemenin hacmi, parçalarını yeniden düzenledikten sonra iki katına çıkmamalıdır! Bu durum ancak maddenin genel olarak sonsuz bölünebilir olduğu varsayılırsa mümkündür, ki öyle değildir. Madde, atomlar tarafından yerinde tutulan katı yapılar üzerine kuruludur. Kavram gerçek dünyada değil, yalnızca soyut dünyada, matematiksel dünyada uygulanabilir, çünkü gerçek dünyada madde boyutla sınırlıdır.

Kaynaklar:

  • What Is The Infinite Chocolate Paradox?; https://www.scienceabc.com
  • James Tanton, Encyclopedia of Mathematics; ISBN 0-8160-5124-0;

Matematiksel

Sibel Çağlar

7 yıl Kadıköy Anadolu Lisesinin devamında lisans eğitimimi Marmara Üniversitesi İng. Matematik öğretmenliği üzerine tamamladım. Devamında 20 yıl çeşitli özel eğitim kurumlarında matematik öğretmenliği ve eğitim koordinatörlüğü yaptım. 2015 yılında matematiksel.org web sitesini kurdum. Amacım bilime ilgiyi arttırmak, bilimin özellikle matematiğin zihin açıcı yönünü açığa koymaktı. Yolumuz daha uzun ve zorlu ancak en azından deniyoruz.