Sonsuzluk nedir? Bu soruya bir çoğunuz kolayca cevap verecektir. Bir anlamda hepimiz sonsuzluğun ne olduğuna dair bir sezgiye sahibiz. Sonsuzluk asla bitmeyen şeyleri karakterize eden bir şeydir. Hiç bitmeyen bir Evren veya 1, 2, 3, 4, …. gibi doğal sayıların listesi sonsuz dediğimiz zaman aklımıza ilk gelen şeylerdir. Sonucunda ne kadar sayarsanız sayın, tüm sayıların sonuna asla ulaşamazsınız. Ayrıca en hızlı uzay gemisinde yolculuk yapsanız bile sonsuz bir Evrenin sonuna ulaşamazsınız.
Bu tür bir sonsuzluk, antik Yunan matematikçi Aristoteles’in potansiyel sonsuzluk dediği şeydir: Kesinlikle oradadır, ancak onunla asla yüz yüze gelemezsiniz. Şimdi sonsuz uzunlukta bir düz çizgi düşünün; tam önünüzdeki bir noktadan başlayıp sonsuza kadar dümdüz uzanan bir çizgi. Temsil ettiği sonsuzluk, doğal sayılarla temsil edilen sonsuzlukla aynı mıdır?
Sezgisel olarak, ikisinin farklı olduğunu düşünebilirsiniz. Sonucunda çizgi bir süreklilik oluştururken, doğal sayılar ayrı ayrı varlıklardır. Doğal sayıları çizginiz boyunca 1 metre aralıklarla yerleştirin. Sezgisel olarak bu çizgiler arasında başka sayıların da olması gerektiğini fark edeceksiniz.
Matematikçiler bu sezgiye katılıyorlar. Bu nedenle bir matematikçiye “Sonsuzluk nedir?” biçiminde bir soru sorarsanız alacağınız cevap muhtemelen “Hangi sonsuzluk? biçiminde olacaktır. Bunun nedeni matematikçilerin sonsuzluğu Sayılabilen sonsuzluklar ile sayılamayan sonsuzluklar olarak ikiye ayırmasıdır.
Sayılabilir Ve Sayılamayan Sonsuzluk Nedir?
Doğal sayılar sayılabilen bir sonsuzluktur. Eğer sonsuz bir zamanınız olsaydı hepsini sayabilirdiniz. Sonsuz sayıda insandan oluşan bir grup da sayılabilir bir sonsuzluktur. Sonucunda bir kere daha sonsuz zamanınız olsaydı bu insanların tümünün isimlerini bir liste yapardınız, sonra da aynı doğal sayılarda olduğu gibi sayardınız.
Peki ya sonsuz uzunluktaki düz çizgi? Bu çizgiyi sonsuz uzunlukta bir cetvel olarak tasavvur ederseniz, o zaman her nokta bir rakamla gelir. Şimdi bunların bir listesini yapmayı düşünün. Sizin de tahmin ettiğiniz gibi bu hiç de kolay bir iş değildir. Sonucunda ilk sayı 0 olmalıdır, peki ya ikincisi? 0.1’i deneyebilirsiniz. Ancak 0.01 daha küçüktür, yani 0.1’den önce gelmelidir. Peki ya 0.001? Listede ikinci sırayı almasını düşündüğünüz her sayıdan sonucunda daha küçük bir sayı bulabilirsiniz. Bu nedenle, bu sayıları listelemeye çalışmak umutsuzdur. Bu nedenle bu düz çizgi sayılamayan sonsuzluktadır.
Hangi Sonsuzluk Daha Büyüktür?
Sezgisel olarak düz çizgimizin doğal sayılardan daha büyük olduğunu fark etmiş olmalısınız. Ancak sadece sezgilerimiz yetmez. Bunu ispat etmemiz de gerekir. Sayma zahmetine katlanamıyorsanız, sonlu şeylerin boyutunu karşılaştırmanın bir yolu, onların tam olarak eşleşip eşleşmediğine bakmaktır.
Bir dizi sandalye ve bir dizi insan düşünün. Her kişi için bir sandalye varsa ve hiç sandalye kalmamışsa, o zaman insan sayısı kadar sandalye olması gerektiğini bilirsiniz. Arta kalan sandalyeler varsa, o zaman insanlardan daha fazla sandalye olduğunu bilirsiniz. Ve ayakta kalan birkaç kişi varsa, sandalyeden çok insan olduğunu bilirsiniz.
Bu fikri sonsuz sayıda nesne koleksiyonuna genişletebilirsiniz. A koleksiyonundaki nesneleri B koleksiyonundaki nesnelerle tam olarak eşleştirebilirseniz, A’daki her nesne B’deki tam olarak bir nesneye karşılık gelir ve bunun tersi de geçerlidir. O zaman iki koleksiyonun aynı boyuta sahip olduğunu söyleriz.
Matematikçiler ise, aynı kardinalitede olduğunu söyleyecektir. Kardinalite, birbirine eş kümelerin karşılık geldiği ve bu kümelerdeki eleman sayılarını belirten sayıdır. Bir doğrunun kardinalitesi (sayılamayan bir sonsuzluk) doğal sayıların kardinalitesinden (sayılabilir bir sonsuzluk) daha büyüktür. ( Detaylar için: Sonlu Ötesi Sayılar (Alef Sayıları) Ne Anlama Gelir?)
Sonsuzluk ile Uğraşmak Tuhaf Sorunlara Neden Olacaktır.
Şimdi sayılabilir sonsuzluğa geri dönelim. Çift doğal sayıları, düz çizgimiz üzerindeki doğal sayılar ile karşılaştırın. Bu durumda aklınıza 2, 4, 6, 8 gibi tüm çift sayıların temsil ettiği sonsuzluğun, doğal sayılarınkinin yarısı kadar olması gerektiği gelecektir.
Ancak işler böyle yürümez. Sonucunda tüm çift sayıları tam olarak tüm doğal sayılarla eşleştirmek oldukça kolaydır. Doğal olarak bu iki sonsuzluk birbirine eşittir. Aynı durum tüm rasyonel sayılar için de geçerlidir. Doğal sayılardan çok daha fazla kesir varmış gibi görünse de (ardışık herhangi iki doğal sayı arasında sonsuz sayıda kesir vardır), iki sayı kümesi aynı kardinaliteye sahiptir.
Alman matematikçi George Cantor’un 19. yüzyılın sonlarına doğru gösterdiği gibi çeşitli sonsuzluklar vardır. Üstelik bazıları açık bir şekilde diğerlerinden daha büyüktür. Cantor, ayrıca gerçek sayıların (yani rasyonel ve irrasyonel sayılar) doğal sayılarla bire bir yazışmaya koymanın da mümkün olmayacağını da kanıtlamıştır.
George Cantor Tüm Sonsuzlukların Aynı Olmadığını Akıllıca Kanıtlamıştı
Bunu yapmak için öncelikle, rasyonel sayıları ve irrasyonel sayıları bir araya getirdiğiniz düşündü. Sonucunda bu durumda gerçek sayıları elde ederiz. Eğer rasyonel sayılar gibi irrasyonel sayılar da sayılabilir olsaydı, o zaman gerçek sayılar da sayılabilirdi. Şimdi bunun doğru olduğunu kabul edelim. Elimizdeki reel sayılardan bazıları aşağıdaki gibi olsun.
- 0,123457…
- 1,4367892…
- 2,3987851…
- 3,7891234…
- 4,1415695…
Şimdi birinci sayının ondalık kısmındaki ilk basamağı, ikinci sayının kısmındaki ikinci basamağı, üçüncü sayının ondalık kısmındaki üçüncü sayıyı vb alın. Yeni bir sayı yazın. Yukarıdaki sayıları temel alırsak yazacağınız sayı 0,13816… biçiminde olacaktır.
Şimdi bu sayının ondalık kısmındaki her rakamı bir arttırın. Yani 0,24927… biçiminde bir sayı elde edin. Bu yeni sayı listedeki ilk sayı ile aynı değil çünkü ilk ondalık basamakları farklı. Listedeki ikinci sayı ile de aynı değildir çünkü ikinci ondalık basamakları da farklıdır. Bu şekilde devam ederseniz, yeni sayının listedeki her sayıdan farklı olduğunu gösterebilirsiniz. Yani bu sayı listede yoktur.
Ama her gerçek sayının listede olduğu varsayımıyla başladık! Bu çelişkiden kaçınmanın tek yolu, gerçek sayıların sayılabilir olduğu varsayımının yanlış olduğunu kabul etmektir. Yani gerçek sayılar sayıamayan sonsuzluklar kümesine dahildir.
Georg Cantor bu sonuçları yayınladığında matematik camiasını şok etti. Ancak aynı zamanda büyük bir muhalefetle de karşılaştı. Sonucunda “Sonsuzluk nedir?” sorusuna aradığı ve bulduğu cevap onun akıl sağlığını etkiledi ve sonunu hazırladı. ( Detaylar için: Georg Cantor: Çağının Ötesinde Bir Matematikçi)
Kaynaklar ve ileri okumalar
- What Is Infinity? Yayınlanma tarihi: 30 Kasım 2017; Bağlantı: https://www.mentalfloss.com/
- Maths in a minute: Counting numbers. Yayınlanma tarihi:25 Şubat 2014; Bağlantı: https://plus.maths.org
Size Bir Mesajımız Var!
Matematiksel, 2015 yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak veya Patreon üzerinden ufak bir bağış yaparak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.
Matematiksel
