Kurt Gödel ve Eksiklik Teoremi: Cevabı Olmayan Sorular Her Zaman Vardır

Yaşadığımız dünya giderek daha zorlaşıyor ve her geçen gün daha da karmaşıklaşıyor. Yalanlar, gerçekler, tartışmalar ve belirsizlikler denizinde sanki bir kıyıdan diğer kıyıya sürüklenip duruyoruz. Neyse ki en azından matematik var. Sonuçta matematik mutlak bir kesinlik anlamına gelir. Sorduğumuz her sorunun cevabını er ya da geç matematiğin içinde bulmamız mümkün olacaktır. Keşke, ancak ne yazık ki bu mümkün değil. Bunun mümkün olmadığı gerçeğini Eksiklik teoremleri ile Kurt Gödel hatırlattı.

20. yüzyılın başlarında ünlü matematikçi David Hilbert, matematik dünyasının çözmesi için 23 problem olduğunu ortaya koydu. Hilbert, matematikte belirsiz sonlardan, kanıtlanmamış öğelerden ve paradokslardan hoşlanmıyordu. Ne de olsa bahsedilen konu matematikti. Ancak ne yazık ki Kurt Gödel onun bu düşüncesinin imkansız olduğunu kanıtlayacaktı.

hilbert
Hilbert matematiğin eksiksiz, tutarlı ve karar verilebilir olduğunu kanıtlamak istiyordu. 1930’daki büyük bir konferansta biçimcilik hayalini şöyle özetledi: Bilmek zorundayız ve bileceğiz (Mezar taşında da böyle yazar). Oysa aynı konferanstaki küçük bir oturumda 24 yaşındaki genç Kurt Gödel tersini söylüyordu. 

Her matematik önermesinin ispatı, doğru olduğu bilinen diğer önermeler temel alınarak yapılır. Bu ispatlar zincirinde en temelde yer alan önermelere aksiyom denir. Aksiyomlar, tüm matematiği üzerine kurduğumuz, doğru ve tutarlı olduğunu varsaydığımız, ancak ispatlayamadığımız önermelerdir. Örneğin geometri öğrenirken ‘İki noktadan ancak ve ancak bir doğru geçer’ ifadesini temel bir doğru olarak kabul eder ve sonra karşılaşacak ilgili konularda bu temel veriyi kullanırsınız. Yani ileride karşılaştığınız yeni durumları bunun üzerine teorem olarak inşa eder ve ispatını buna dayandırırsınız.

İşte bu mantık çok eskiden beri matematikçileri cezbediyordu. Matematiği bir bütün olarak bu mantığın temeline dayandırmak istiyorlardı. Tüm matematiği sağlam temellere oturtmak için “gerekli tüm aksiyomları” tanımlamak yeterliydi. Daha sonra bu aksiyomları kullanarak herhangi bir matematiksel önermenin doğruluğuna ya da yanlışlığına mantık yoluyla karar verilebilirdi.

Ancak Kurt Gödel, insan zihninin asla böylesine mükemmel bir matematiksel sistemi yaratamayacağını bizlere gösterdi. Eksiklik Teoremi, tüm matematiği, bir dizi aksiyom ve mantık kurallarına dayanan biçimsel bir sistem açısından ifade etme rüyasının başarısız olmaya mahkum olduğunu belirtir: her zaman doğru olan ancak doğruluğu kanıtlanamayan ifadeler olacaktır.

Kurt Gödel ve Eksiklik Teoremi

1931 yılında bir Alman bilim dergisinde kısa ve ilgi çekici olduğu kadar da düşündürücü bir yazı yayınlandı. Yazının başlığı şöyleydi. ‘Uber Formal unentscheidbare Sâtze der Principia Mathematica’( Üzerinde kesin kararlar veremeyeceğimiz matematik prensipleri ve benzeri sistemler). Yazarı ise Viyana Üniversitesinden 25 yaşındaki Kurt Gödel idi.

Gödel, Öklid zamanından beri uygulanan matematiksel yöntemlerin, doğal sayılar hakkında doğru olan her şeyi keşfetmek için yetersiz olduğunu kanıtladı. Keşfi, 20. yüzyıla kadar matematiğin üzerine inşa edildiği temellerin altını oydu, düşünürleri alternatifler aramaya teşvik etti ve gerçeğin doğası hakkında canlı bir felsefi tartışma yarattı. 

Bu yazı yayınlandığında, hem yazının başlığı hem de içeriği çoğu matematikçi tarafından bilinmiyordu. Adı geçende ‘The principia mathematica’ isimli üç bölümden oluşan çalışma Alfred North Whitehead ve Bertnard Russel’in matematikte mantık ve temel mantığın temelleri alanları ile ilgili meşhur çalışmalarıydı. Bu alanda yetkin az sayıda bilim insanı olması Gödel’in çalışmasının devrim niteliğinde sonuçlar doğurmasını gölgelemedi. Çünkü çalışma gerçekten temel felsefe alanında geniş ve etkin bir yer kaplıyordu.

Eksiklik Teoremi Tam Olarak Ne Diyordu?

Matematikte yapılması mümkün olan her şeyin büyük bir kutunun içinde olduğunu hayal edin. Matematiğin yapısı gereği bu kutunun içinde adına aksiyomlar dediğimiz, kanıtlanamayan veya çürütülemeyen bir dizi şey de olmak zorundadır. Şimdi bu kutunun içindeki her şeye bir kod numarası verin. Doğru ya da yanlış olması fark etmez. Her şeyin kendine ait bir numarası olsun. Şimdi bu sayıları kullanarak matematiksel ispatlar hakkında konuşmaya başlayalım. ( Bu sayılara Gödel sayıları denir)

Şimdi, Epimenides yani Yalancı paradoksunu düşünün. “Tüm Giritliler yalancıdır.”cümlesini yorumlayın. Eğer “tüm Giritliler yalancıdır” önermesini doğru kabul edersek, kendisi de Giritli olan Epimenides’in yalancı olması gerekir. Eğer Epimenides yalancıysa, tüm söyledikleri gibi, “tüm Giritliler yalancıdır” önermesinin de yanlış olması gerekir. Yani doğru söylediğine inanırsak yalan söylediğini anlıyoruz.

Eğer “tüm Giritliler yalancıdır” önermesi yanlış kabul edersek de bu sefer, kendisi de Giritli olan Epimenides’in doğru söylüyor olması gerekir. Şu halde, “tüm Giritliler yalancıdır” önermesi de doğru olmalıdır. Gördüğünüz gibi ortaya bir paradoks çıkıyor.

Gödel Eksiklik Teoremini İspat Ederken Yalancı Paradoksunu Örnek Verecekti

Gödel’in eksiklik teoremiyle başardığı da temel aritmetik kullanarak yalancı paradoksunun bir tür matematiksel versiyonunu oluşturmaktı. “Bu ifade kanıtlanabilir değil” cümlesini ele aldı. Bu cümlenin neden seçildiğini anlayabilirsiniz. Sonuçta bu ifadenin doğru olduğunu kanıtlayabilirseniz, o zaman yanlış olur! Yalnızca kanıtlanamazsa doğrudur. Bu haliyle, bu doğal sayılarla ilgili bir ifade değildir. Ancak Gödel, bunun gibi İngilizce ifadelere sayılar atamak için ustaca bir yol tasarlamıştı. Bu sayede de ifadenin doğru olup olmadığını bulmak için yapması gereken kutunun içine koyduğumuz aksiyomları kullanarak bu denklemi çözmekti.

Sonucunda sayı teorisinin aksiyomları içinde yukarıdaki cümleye karşılık gelen denklemin doğru olup olmadığını kanıtlamanın imkansız olduğunu kanıtladı. Sonrasında da Bu teorinin aksiyomları birbiriyle çelişmez. cümlesini ele aldı. Bunu sayısal koda dönüştürdü ve sonucun kanıtlanamaz olduğunu bir kez daha kanıtladı. 

Tıpkı yalancı paradoksundaki cümlenin doğru ya da yanlış olduğuna karar verilememesi gibi, Gödel’in eksiklik teoremi de ne kadar yeni aksiyom tanımlanırsa tanımlansın doğruluğuna ya da yanlışlığına “karar verilemeyecek” önermeler olacağını söyler.

Kurt Gödel Çoğu Kişi Tarafından Yanlış Anlaşılacaktı

Gödel’in Eksiklik teoremi matematiğin kusurlu olduğunu ortaya koymaya çalışmamıştı. Onun amacı bu değildi. Bu teorem aritmetiği kucaklayan herhangi bir tutarlı aksiyomatik sistemin eksik olduğunu belirtir. Eksik olmanın anlamı şudur. Mevcut sistem içinde bulunan aksiyomları kullanılarak bazı ifadeler ne kanıtlanabilir ne de çürütülebilir.

Gödel bir sistemin tutarlı olduğunu o sistemi kullanarak kanıtlayamayacağımızı bize gösterdi. Elinizde matematiksel bir önerme varsa ya doğru ya da yanlış olmasını beklersiniz çünkü hem doğru hem de yanlış olamaz. Eğer bir aksiyom sistemi matematiksel önermelerin her durumda ya doğru ya da yanlış olduğunu gösteriyorsa sistemin “tutarlı” olduğu söylenir. Tutarlı aksiyom sistemleri kullanılarak mantık yürütme yoluyla bir önermenin hem doğru hem de yanlış olduğu sonucuna varılamaz. Ancak artık biliyoruz ki bir sistemin doğruluk ve tutarlılığını ancak o sistemin dışındaki bir sistemle karşılaştırarak kanıtlanabilir.


Göz atmak isterseniz:


Kaynaklar ve ileri okumalar


Dip Not:

Matematiksel, 2015 yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım

Matematiksel

Sibel Çağlar

Merhabalar. Matematik öğretmeni olarak başladığım hayatıma 2016 yılında kurduğum matematiksel.org web sitesinde içerikler üreterek devam ediyorum. Matematiğin aydınlık yüzünü paylaşıyorum. Amacım matematiğin hayattan kopuk olmadığını kanıtlamaktı. Devamında ekip arkadaşlarımın da dahil olması ile kocaman bir aile olduk. Amacımıza da kısmen ulaştık. Yolumuz daha uzun ama kesinlikle çok keyifli.

Bir Yorum

  1. Sanırım Gödel’in eksiklik teorimini anlatan en açıklayıcı yazılardan, ellerinize sağlık

Bu Yazılarımıza da Bakmanızı Öneririz