Aristoteles’in Çember Paradoksu’nun kökeni, Antik Çağ’da kaleme alınan ve geleneksel olarak Aristoteles’e atfedilen Mechanica adlı esere dayanır. Matematik ile fiziksel hareket arasındaki ilişkiyi sorgulayan bu ilginç problem, yüzyıllar boyunca pek çok düşünürün ve matematikçinin dikkatini çekmiştir.
Paradoks, farklı büyüklükteki iki eş merkezli çemberin yuvarlanırken nasıl olup da aynı mesafeyi katettiği izlenimini doğurduğu sorusuna dayanır.
İlk bakışta bu durum, çevre uzunlukları farklı olan iki çemberin aynı uzunluğa sahip olması gerektiğini düşündürür. Bu yanılsamayı çözmeye çalışmak ise matematikçileri uzun süre meşgul eden nokta, uzunluk ve sonsuzluk kavramları arasındaki önemli bir ayrımı ortaya çıkarır.
Çember Paradoksu Nedir?
Yuvarlanan bir tekerleğin hareketi, ilk bakışta göründüğünden çok daha karmaşıktır. Tekerleğin farklı noktaları aynı anda farklı hızlarla hareket eder; hatta yere temas eden noktanın o anda yere göre hızı sıfırdır. Bu şaşırtıcı özellikler arasında en dikkat çekici olanlardan biri de Aristoteles’in Çember Paradoksu’dur.
“Aristoteles’in tekerleği” adıyla da bilinen bu paradoks, Galileo, Descartes ve Fermat gibi seçkin matematikçilerin de katkıda bulunduğu geniş bir literatüre konu olmuştur.
Şekilde birbirine sabitlenmiş, eş merkezli iki çember görülüyor. Büyük çember zemine A noktasında temas ederken küçük çemberin en alt noktası A′ ile gösterilmiştir. Sistem bir tam tur döndüğünde büyük çember B noktasına ulaşır; küçük çemberdeki karşılık gelen nokta da B′ konumuna gelir.
Büyük çemberin A noktasından B noktasına kaymadan yuvarlandığını varsayalım. Bu durumda AB uzunluğu, büyük çemberin çevresine eşittir. Ancak iki çember birbirine sabitlendiği için küçük çember de aynı sürede bir tam tur döner ve A′ noktası B′ konumuna taşınır. Üstelik iki çemberin merkezleri birlikte ilerlediğinden AB ile A′B′ uzunlukları birbirine eşittir.
İlk bakışta bu durum, farklı yarıçaplara sahip iki çemberin bir tam dönüşte aynı uzunluğu kat ettiğini ve dolayısıyla çevrelerinin eşit olması gerektiğini düşündürür. Aristoteles’in Çember Paradoksu tam da bu yanıltıcı sonuçtan doğar.
Aristoteles’in Çember Paradoksunun Çözümü Nedir?
Paradoksun ortaya çıkmasının nedeni, iki eş merkezli çemberin birlikte hareket ederken sanki ikisi de kendi çevrelerini bir doğru üzerine açıyormuş gibi düşünülmesidir. Oysa gerçekte yalnızca çemberlerden biri kaymadan yuvarlanabilir.
Büyük çemberin yarıçapı R, küçük çemberin yarıçapı r olsun. Sistem büyük çember üzerinde kaymadan yuvarlanıyorsa merkezin doğrusal hızı ile açısal hızı arasında v=ωR bağıntısı vardır. Küçük çemberin de kendi doğrusu üzerinde kaymadan yuvarlanması için ise v=ωr olması gerekirdi. Ancak R ile r farklı olduğundan bu iki koşul aynı anda sağlanamaz.
Bu nedenle büyük çember A noktasından B noktasına kaymadan yuvarlandığında aldığı yol AB=2πR olur. Küçük çember de aynı eksene bağlı olduğu için bir tam tur döner ve A′ noktası B′ konumuna gelir. Fakat küçük çember dönerken aynı zamanda ileri doğru da sürüklenir. Dolayısıyla A′B′=AB olsa bile A′B′, küçük çemberin çevre uzunluğuna eşit değildir.
Başka bir deyişle, küçük çember bir tam dönüş yapmış olsa da kendi çevresini doğru üzerine kesintisiz biçimde açmış değildir. Büyük çember hareketi belirlerken küçük çemberin alt noktası ileri doğru kayar.
Paradoksun matematiksel yönü, küçük çember üzerindeki noktalarla büyük çember üzerindeki noktaların bire bir eşleştirilebilmesinden de doğar. Merkezden çizilen her yarıçap, küçük çember üzerindeki bir noktayı büyük çember üzerindeki bir noktayla eşleştirir. Böylece iki çemberde aynı sayıda nokta bulunduğu söylenebilir.
Ancak aynı sayıda noktaya sahip olmak, aynı uzunluğa sahip olmak anlamına gelmez. Örneğin 1 birim uzunluğundaki bir doğru parçasının noktalarıyla 2 birim uzunluğundaki bir doğru parçasının noktaları arasında bire bir eşleme kurulabilir.
Buna rağmen ikinci doğru parçası birincinin iki katı uzunluğundadır. Çünkü nokta sayısı ile uzunluk farklı matematiksel özelliklerdir. Nokta sayısını kardinalite, uzunluğu ise ölçü kavramıyla ifade ederiz.
Sonuç
Aristoteles’in Çember Paradoksu, iki temel yanılgıdan doğar. Bunlardan ilki, birbirine bağlı iki çemberin aynı anda kaymadan yuvarlandığının varsayılmasıdır. İkinci yanılgı ise iki çember üzerindeki noktaların bire bir eşleştirilebilmesinin, çevre uzunluklarının da eşit olduğu anlamına geldiğini düşünmektir. Dolayısıyla ortada gerçek bir çelişki yoktur.
Kaynaklar ve ileri okumalar için:
- Gal, Ofer & Chen-Morris, Raz. (2012). Nature’s drawing: Problems and resolutions in the mathematization of motion. Synthese. 185. 10.1007/s11229-011-9978-5.
- Xu, Huiling & Yan, Xun-Wang & Wang, Yanyun. (2022). Understanding Aristotle’s Wheel Paradox from the Viewpoint of Motion Decomposition. The Physics Teacher. 60. 212-214. 10.1119/5.0055440.
- Aristotle’s Wheel Paradox – To Infinity and Beyond. Kaynak site : Youtube. Bağlantı: Aristotle’s Wheel Paradox – To Infinity and Beyond
Size Bir Mesajımız Var!
Matematiksel, matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.
Matematiksel
