Geometri

Aristoteles’in Çember Paradoksu Nedir?

Platon’un öğrencisi ve Büyük İskender’in öğretmeni olan Aristoteles (MÖ 384–322) zamanının en etkili düşünürlerinden biridir. Çalışmaları felsefe, ahlak, matematik, mantık, fizik, biyoloji ve diğer bir çok konuyu kapsayacak kadar geniştir. Yazıları Batı felsefesinin kapsamlı bir sistemini yaratmak açısından ilkler arasında yer almaktadır. Birazdan aktaracağımız çember ya da tekerlek paradoksu, yazanın kendisi ya da takipçilerinden biri olduğu tartışmalı olan, çeşitli mekanik problemlerin tartışıldığı, “Mechanica” (Yunanca: Μηχανικά) isimli metninde yer alır. Yazan o olmasa da paradoks geleneksel olarak Aristoteles ile ilişkilendirilmiştir ve bu nedenle bugün onun adını taşımaktadır.

Bu paradoksu incelememiz için önce büyük çember, sonra o büyük çemberin içine bir de küçük çember çizmemiz gerekecektir. Paradoks şu biçimdedir. Şekilde soldaki büyük tekerleğin yere değdiği noktadan sağa doğru tam tur yuvarlandığını varsayıyoruz. Ardından tekerlek, çevresine eşit bir mesafede hareket edecek ve büyük tekerleğin alt kısmı, aşağıda gösterilen kesikli çizgi parçası AB’yi izleyecektir.

Aristo’nun Çember Paradoksu

Bu olurken içteki küçük tekerlek de tam bir devir yapmalı ve büyük tekerleğe sabitlendiği için aynı mesafeyi gitmelidir. Yani A′B′ uzunluğu ile AB uzunluğu birbirine eşit olmalıdır. Ama bu nasıl mümkün olabilir? Küçük tekerleğin çevresinin büyük tekerleğin çevresinden daha küçük olduğunu biliyoruz, öyleyse bir devir sırasında aynı mesafeyi nasıl yuvarlayabilirler? Diğer bir deyişle küçük çemberin çevresiyle büyük çemberin çevresi birbirine nasıl eşit olabilir?

Sonucun hatalı olduğunu bilsek bile, bunu destekleyen ilginç bir matematiksel argüman bile elde ederiz. Büyük daire üzerindeki noktalar ile daha küçük daire üzerindeki noktalar arasında bire bir eşleme yapalım. Çemberlerin merkezinden çıkan herhangi bir ışın ikisini de kesecek ve böylece iki çember üzerindeki noktalar arasında açık bir ilişki (bire bir) kuracaktır.

Matematiksel olarak olaya baktığımız zaman iç tekerlek ile dış tekerlek arasında birebir örten bir fonksiyon vardır. İç tekerlekteki nokta sayısı ile dış tekerlekteki nokta sayısı birbirine eşittir.

Çember Paradoksunun Çözümlemesi

Her iki çemberin de aynı mesafeyi kat ettiği sonucumuz bir yanılgıdır. Aslında, bu yol üzerinde her iki tekerleğin aynı anda hareket etmesi imkansızdır. İlk hata, her iki çemberin de tam anlamıyla aynı mesafeyi yuvarlayacağı şeklindeki fiziksel varsayımda yatmaktadır. Her iki tekerlek de bir yüzeye temas ederse, bunlardan yalnızca biri kaymadan dönebilir; diğeri dönerken kaçınılmaz olarak kayıyor olacaktır. Yani dönemez. kaymayı engellemek için dişli çark sistemi kullanılacak olsaydı, tekerlekler birbirine kenetlenip hareketsiz kalabilirlerdi. Bu hata matematiksel olmaktan ziyade mekanik bir gerçekliktir.

Aslında çember paradoksunun modern değer bir karşılığı biz farkında olmasak da her gün gözümüzün önünde yer almaktadır. Bunu anlamak için araba tekerleklerine göz atabilirsiniz. Sonuçta araba tekerlerin dış tarafı biz arabamızla yol alırken, kendi etrafında durmadan döner. Bu esnada da içteki jant ise elbette dönmez. Yaptığı şey sadece kaymaktır.

Ancak, temelde tüm dairelerin aynı çevreye sahip olması gerektiğini gösteren bu paradoks bize önemli bir matematiksel argüman vermektedir. Bu argümanı yeniden yapılandırmak, matematikçileri çok uzun bir süre rahatsız eden garip bir gerçek sayı özelliğini ortaya çıkarmıştır. İki eğrinin tüm noktaları arasındaki bire bir eşleşme, eğrilerin aynı uzunluğa sahip olduğu anlamına gelmez. Aslında, herhangi iki eğrinin noktaları arasında her zaman bire bir eşleşme yazabiliriz. Eğrilerin boyutlarından bağımsız olarak içerdikleri noktaların “sayısı” her zaman aynı olacaktır. Ancak bu durum fiziksel nesnelere her zaman uygulanamaz. Bu konu daha sonraki yıllarda Alman matematikçi Georg Cantor (1845-1918) tarafından kanıtlanmıştır. Gördüğünüz gibi bu çember paradoksu bizi sonsuzluk gibi çok ilginç sonuçlara ulaştırmıştır.


Göz atmak isterseniz


Kaynaklar ve ileri okumalar için:

  • What is a satisfying explanation to Aristotle’s wheel paradox?; Bağlantı: https://www.quora.com/
  • Alfred S. Posamentier; The Circle: A Mathematical Exploration beyond the Line; 2016; Prometheus Books
  • Satisfying explanation of Aristotle’s Wheel Paradox.; https://math.stackexchange.com/

Matematiksel

Başa dön tuşu