1986 yılında Challenger uzay mekiği, fırlatıldıktan 73 saniye sonra parçalandı. Kazayı araştıran komisyonda yer alan fizikçi Richard Feynman, soğuk havanın roket bölümlerini birleştiren kauçuk O-ring contalarını sertleştirdiğini ve işlevsiz hâle getirdiğini gösterdi. Feynman, incelemesi sırasında NASA’nın contaların biçimini kontrol etme yöntemine de dikkat çekti.
Mühendisler, contaların ezilip ovalleşmediğini anlamak için farklı yönlerdeki genişliklerini ölçüyordu. Her ölçüm aynı sonucu verirse contanın dairesel biçimini koruduğunu düşünüyorlardı. Oysa bu yöntem kesin bir sonuç vermiyordu. Çünkü her yönde aynı genişliğe sahip olan tek şekil daire değildir. Matematikçiler bu tür şekillere sabit genişlikli şekiller adını verir.
Bir şeklin genişliğini ölçmek için onu iki paralel doğru arasına yerleştirdiğimizi düşünelim. Bu doğruları şekle iki taraftan temas edecek biçimde yaklaştırırız. Doğrular arasındaki uzaklık, baktığımız yöndeki genişliği verir. Şekli ne kadar döndürürsek döndürelim bu uzaklık değişmiyorsa şekil sabit genişliklidir.
Kusursuz Biçimde Yuvarlanan Şekiller
Bu şekli oluşturmak oldukça kolaydır. Önce bir eşkenar üçgen çizeriz. Ardından üçgenin her köşesini merkez kabul ederek, yarıçapı üçgenin bir kenarına eşit olan üç çember çizeriz. Çemberlerin ortak kesişiminde kalan bölge Reuleaux üçgenini oluşturur.
Ortaya çıkan şeklin sınırında düz kenarlar değil, üç çember yayı vardır. Köşeli görünmesine rağmen genişliği her yönde aynıdır. Reuleaux üçgenini iki paralel doğru arasına yerleştirip döndürdüğümüzde doğrular arasındaki uzaklık değişmez. Bu nedenle şekil, yukarı aşağı sıçramadan yuvarlanır.
Fakat bu durum Reuleaux üçgeninin daire gibi davrandığı anlamına gelmez. Dairenin merkezi ile çevresi arasındaki uzaklık her noktada aynıdır. Reuleaux üçgeninde ise böyle sabit bir merkez uzaklığı yoktur. Şeklin sabit kalan özelliği yarıçapı değil, karşılıklı iki destek doğrusu arasındaki genişliğidir.
Aynı genişliğe sahip bütün düzlemsel sabit genişlikli şekiller karşılaştırıldığında daire en büyük alana, Reuleaux üçgeni ise en küçük alana sahiptir. Dolayısıyla Reuleaux üçgeni, genişliğini korurken daireden daha az alan kaplar.
Üç Boyutta Ne Olur?
Benzer düşünceyi üç boyuta taşımak için düzgün bir tetrahedronla başlayabiliriz. Düzgün tetrahedron, dört yüzü de eşkenar üçgen olan bir cisimdir. Tetrahedronun her köşesini merkez alarak, yarıçapı bir ayrıt uzunluğuna eşit dört küresel bölge oluştururuz. Bu bölgelerin ortak kesişiminde kalan cisme Reuleaux tetrahedronu denir.
Ancak burada beklenmedik bir sorun ortaya çıkar. Reuleaux tetrahedronunun genişliği farklı yönlerde çok az değişir. Dolayısıyla bu cisim, Reuleaux üçgeninin aksine tam anlamıyla sabit genişlikli değildir.
Matematikçiler bu sorunu çözmek için cismin bazı yüzeylerini özel eğri yüzeylerle değiştirir. Böylece Meissner cisimleri adı verilen gerçek sabit genişlikli cisimler ortaya çıkar.
Sabit genişlikli şekilleri iki ve üç boyutta az çok gözümüzde canlandırabiliriz. Ancak dördüncü boyuttan sonra bunu yapmak mümkün değildir. Yine de matematikçiler bu cisimleri denklemlerle tanımlayabilir, genişliklerini ve hacimlerini hesaplayabilir.
Buradaki temel soru şuydu: Boyut arttıkça, aynı genişliğe sahip bir küresel toptan çok daha az hacim kaplayan sabit genişlikli cisimler oluşturmak mümkün mü?
Yapılan çalışmalar bunun mümkün olduğunu gösterdi. Araştırmacılar, yeterince yüksek boyutlarda, genişliği aynı kalan fakat hacmi karşılık gelen küresel topun hacmine göre hızla küçülen cisimler oluşturdu.
Bu küçülme, boyut arttıkça daha belirgin hâle gelir. Örneğin hacim oranı 0,9n biçiminde değişiyorsa, n büyüdükçe oran hızla sıfıra yaklaşır. On boyutta oran yaklaşık yüzde 35 iken yüz boyutta binde birin bile çok altına iner. Yani cisim genişliğini korur, fakat küresel topa göre çok daha az yer kaplar.
Araştırmacılar ayrıca Reuleaux üçgeninin temel fikrini daha yüksek boyutlara taşıyan yeni bir cisim ailesi oluşturdu. Bu ailenin iki boyutlu örneği Reuleaux üçgenidir. Üç boyutlu örneği ise tetrahedrona benzeyen, ancak tam anlamıyla sabit genişliğe sahip yeni bir cisimdir. Aynı yapı daha yüksek boyutlarda da tanımlanabilir.
Sonuç Olarak
Bu sonuçlar, sabit genişlikli olmanın küreye benzemek anlamına gelmediğini gösteriyor. Bir cisim her yönde aynı genişliği korurken sivri, alışılmadık ve küresel toptan çok daha küçük hacimli olabilir. Başka bir deyişle, düzgün yuvarlanmak için mutlaka yuvarlak olmak gerekmez.
Okuma Önerisi: Rögar Kapakları Neden Hep Yuvarlak Olur?
Kaynaklar ve ileri okumalar
- Arman, Andrii & Bondarenko, Andriy & Nazarov, Fedor & Prymak, Andriy & Radchenko, Danylo. (2024). Small volume bodies of constant width.
- Mathematicians Reinvent the Wheel in Higher. Dimensions to Solve Decades-Old Geometry Problem. yayınlanma tarihi: 7 Ağustos 2024. Kaynak site: Scientific American. Bağlantı: Mathematicians Reinvent the Wheel in Higher. Dimensions to Solve Decades-Old Geometry Problem
Size Bir Mesajımız Var!
Matematiksel, 2015 yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.
Matematiksel
