Bu Sene Pi Günü Yerine Mükemmel Sayı Gününü Kutlayın

Dünyanın hemen her yerinde matematikçiler 14 Mart’ı (14/3) veya 22 Temmuz’u (22/7) Pi Günü olarak kutlar. Oysa ki kutlamayı hak eden başka bir tarih daha vardır. Bu da 28 Haziran’dır. Bu nedenle bu sene mükemmel sayı gününü kutlamaya hazır olun!

Hepimiz zor da olsa yaşantımızda veya görüntümüzde zor da olsa mükemmele erişmek isteriz. Ancak matematikte mükemmeli bulmak normal hayatta olduğundan çok daha zordur. İnsanlık tarihinin büyük bölümünde yalnızca bir avuç dolusu mükemmel sayı biliniyordu ve bugün bile  sadece 51 mükemmel sayıyı biliyoruz. Bu nedenle bu sayılar kesinlikle küçük bir kutlamayı hak ediyor. Ancak konuya yabancı olanlar için önce biraz bilgi vermemiz lazım.

Mükemmel Sayı Nedir?

Her pozitif tamsayı  çarpanlarına ayrılabilir. Bir sayıyı çarpanlarına ayırmak, onu iki tam sayının çarpımı olarak yazmak anlamına gelir. Her sayının çarpanlarından ikisi kendisi ve 1 sayısı olacaktır. Bir sayının kendisi ve 1 sayısından başka çarpanı ( ya da böleni) yoksa da o sayı bir asal sayı olarak kabul edilecektir.

Bir sayıyı çarpanlarına ayırdıktan sonra bu çarpanları toplayabilirsiniz. Bunu yaptığınızda tüm çarpanların toplamı (orijinal sayı hariç) orijinal sayıya eşitse, mükemmel bir sayı buldunuz anlamına gelir. Bunun ne anlama geldiğini 6 sayısı için yukarıda görebilirsiniz.

En küçük mükemmel sayı 6’dır. Çünkü bu sayı 6, 2, 3 ve 1’e tam bölünmektedir. Ayrıca 1+2+3=6 toplamına da eşittir. Bir sayıyı “mükemmel” yapan şey budur.  İkinci sırada gelen ise mükemmel sayı ise 28 sayısıdır. Bu sayı da 1, 2, 4, 7 ve 14’e bölünür ve 1+2+4+7+14=28’e eşittir.

İlk iki mükemmel sayı olan 6 ve 28’in mükemmel sayılar arasında önemli bir yeri vardır. Bu nedenle yüzyıllar boyunca bu sayılara mistik anlamlar da verilmiştir. Aziz Au­gustine dünyanın 6 günde yaratılışının ve ayın dünya çevresinde 28 günde dönmesinin nedenleri olarak bu sayıların mükemmelliğini göstermiştir.

Öklid’in “τέλειος ἀριθμός” olarak adlandırdığı mükemmel sayılar gerçekten nadirdir. İlk dört mükemmel sayı 6, 28, 496 ve 8128 biçimindedir. Aslına bakarsanız bin yılı aşkın bir süre boyunca sadece bu dört mükemmel sayı bilinmiştir.

Peki ama bir sonraki mükemmel sayıyı nasıl bulacağız. Aslına bakarsanız bu sorunun cevabı günümüzden çok önce Öklid tarafından verildi. Bunu anlamak için yukarıdaki ilk dört mükemmel sayıya dikkatle bakalım. Aralarında bir ilişki fark ettiniz mi? Fark edemediyseniz aşağıdaki gibi düşünün.

Mükemmel Sayılar Nasıl Hesaplanır?

• 6’yı çarpanlara ayırmanın iki yolu vardır. ( 6=1×6 ve 6=2×3) ve listenin ilk iki sayısı 1 ve 2’dir.
• 28’i çarpanlara ayırmanın üç yolu vardır. ( 28=1×28, 28=2×14 ve 28=4×7) ve listenin ilk üç sayısı 1 ve 2 ve 4’tür.
• 496’yı çarpanlara ayırmanın beş yolu vardır. Listenin ilk beş sayısı 1, 2, 4, 8 ve 16 biçimindedir.
• 8128 sayısını çarpanlara ayırmanın yedi yolu vardır. Listenin ilk yedi sayısı 1, 2, 4, 8, 16, 32 ve 64 biçimindedir.

Gördüğünüz gibi ilk dört mükemmel sayı belli bir düzeni takip ediyor. Örneğin, 496’yı çarpanlarına ayırmanın beş yolu 1, 2, 4, 8 ve 16’yı yani 2⁰, 2¹, 2², 2³ ve 2⁴’ü içeriyor. Dördüncü mükemmel sayı olan 8128’i, 8128 × 1 = 8128, 4064 × 2 = 8128, 2032 × 4 = 8128, 1016 × 8 = 8128, 508 × 16 = 8128, 254 × 32 = 8128, ve 127 × 64 = 8128 biçiminde gösterebiliyoruz. Bu çarpanların hepsini ( kendisi hariç) topladığınız zaman da 8128 sonucunu elde ediyoruz. Bu durumda aşağıdaki gibi bir ilişki tanımlamamız mümkündür.

• 6 = 2 × 3 = 2¹ × (2²–1),
• 28 = 4 × 7 = 2² × (2³–1),
• 496 = 16 × 31 = 2⁴ × (2⁵–1),
• 8128 = 64 × 127 = 2⁶ × (2⁷–1).

Yukarıda mükemmel sayılar için güzel bir ilişki bulduk gibi gözüküyor. Bu durumda mesela 2¹⁰ × (2¹¹–1)’in mükemmel bir sayı olmasını beklersiniz. Ancak bunu hesapladığınızda, 1024 × 2047= 2096128 sonucunu elde edersiniz. Kontrol ederseniz, bu mükemmel bir sayı değildir.

Yukarıdaki dört örnekte 3,7,31 ve 127 sayıları asaldır. Ancak 2047 sayısı asal değildir. Bu da bize mükemmel sayıların neden çok önemli olduğunu gösterir. Günümüzde asal sayılar üretmek için bir formül bulma çalışmasında mükemmel sayılar önemli rol oynar.

28 Haziran Neden Mükemmel Sayı Günü Olmalıdır

MÖ 4. yüzyılda Öklid, 2^p − 1 asal ise 2^{p − 1}(2^p − 1) çarpımının mükemmel bir sayı olduğunu kanıtladı. Örneğin, p=2 ise, formül size 2¹ × (2² – 1)= 6; p=3 ise 2² × (2³ – 1)=28 sonuçlarını verecektir. 18. yüzyılda Leonhard Euler, tüm çift mükemmel sayıların bu forma sahip olduğunu söyledi. Günümüzde bu durum, Öklid-Euler teoremi olarak bilinir. Tek mükemmel sayıların olup olmadığı ise hala bilinmemektedir. 

Günümüzde p doğal sayısı için 2^p – 1 şek­lindeki sayılara Mersenne sayıları, bunların asal olanlarına da Mersenne asalları denir. 2023 yılı itibariyle 51 Mersenne asal sayısı bilinmektedir. Bilinen en büyük asal sayı olan 2^82.589.933-1 ise 24.862.048 basamaklı bir sayıdır ve bir Mersenne asalıdır. Eğer 100.000.000 veya daha fazla basamaklı bir Mersenne asalını bulabilirseniz (ve doğrulayabilirseniz) 150.000 dolarlık nakit ödül kazanacaksınız. 1.000.000.000 basamaklı bir sayı bulabilir (ve doğrulayabilirseniz) bu ödül 250.000 dolara kadar çıkıyor. ( Detaylar burada)

Hırslıysanız ve çok fazla zamanınız ve bilgi işlem gücünüz varsa siz de deneyebilirsiniz. Tüm bunlar ilk iki mükemmel sayıdan oluşan 28 Haziran tarihini mükemmel sayı günü yapmak için yeterli olacaktır.

Kaynaklar ve ileri okumalar

• Why June 28th Is The Only ‘Perfect’ Day Of The Year. Yayınlanma tarihi: 1 Temmuz 2021. Kaynak site: Big Think. Bağlantı: Why June 28th Is The Only ‘Perfect’ Day Of The Year
• Dylan Johnson; A strange definition of perfect; yayınlanma tarihi: 5 Şubat 2020; Bağlantı: A strange definition of perfect

Size Bir Mesajımız Var!

Matematiksel, 2015 yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak veya Patreon üzerinden ufak bir bağış yaparak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.

Matematiksel