Temel Matematik

Faktöriyeller ve Genellemesi: Gama Fonksiyonu

Elinizde bir liste olsun. Bir alışveriş listesi, ya da bir isim listesi herhangi mesela. Bunu düzenlemek istediğinizi varsayalım. Liste A ve B gibi iki sembol içeriyorsa, bunun için iki yol vardır: AB ve BA. Liste üç harf A, B ve C içeriyorsa, altı yol vardır: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA. Ya dört harf A, B, C ve D içeriyorsa? Tüm olasılıkları sistematik olarak yazabilirsiniz ve yanıt 24 olur. Bunun neden doğru olduğunu anlamanın akıllıca bir yolu vardır.

D’nin nerede oluştuğunu düşünün. Birinci, ikinci, üçüncü veya dördüncü konumda olmalıdır. Her durumda, D’yi sildiğinizi hayal edin. Sonra içinde sadece A, B ve C olan bir liste alırsınız; bu yukarıdaki altılı seçenekten biri olmalıdır. Sonuçta sildiğiniz D harfi de her birinde var olan 4 ayrı yerden birinde var olmalıdır. Böylece uzun uzun liste yapmadan sonucun 6×4=24 sonucunu görebilirsiniz. Peki 5 harf ABCDE’yi düzenlemenin kaç yolu var? Aynı mantıkla cevap elbette 5 × 24 yani 120 olacaktır. Bu da bizi durumu bir kurala bağlayan faktöriyeller ile tanıştırır.

Faktöriyel Tanımı

Aynı mantıkla, n harfi yeniden düzenlemenin farklı yollarının sayısı ise n × (n – 1) × (n – 2) ×… × 3 × 2 × 1 biçimindeki çarpım için “n faktöriyel” ifadesini kullanır ve n! olarak yazılır. Bu kısaca 1’den n’ye kadar olan tüm sayıların çarpımıdır.

Faktöriyeller çok hızlı büyümektedir. 0!’in neden listede yer almadığını merak ederseniz yazımıza göz atabilirsiniz. 0 Faktöriyel Neden 1’e Eşittir?

52 oyun kartından oluşan bir iskambil destesini sırayla düzenlemenin farklı yollarının sayısı: 52! = 80 658 175 170 943 878 571 660 636 856 403, 766 975 289 505 440 883 277 824 000 000 000 000. Peki ama tüm bunları zaten biliyordum diyorsanız devam edelim. Çünkü ortaöğretim sıralarında tanıştığımız bu gösterim biçimi aslında işin sadece başlangıcıdır. Faktöriyeller genel olarak Gama Fonksiyonu ile de tanımlanır.

Gama Fonksiyonu

Matematik kariyerimizin en başında faktöriyellerin negatif olmayan tamsayılar için tanımlandığını öğreniyoruz. Bu esnada da bir istisna olarak 0!=1 kabul ediyoruz. Şimdi bunu bir fonksiyon mantığı ile ele alalım ve listemizi oluşturalım. (n, n!)= (0, 1), (1, 1), (2, 2), (3, 6), (4, 24), (5, 120), (6, 720)… biçiminde bir sonuç elde ediyoruz. Bu noktaları kartezyen sistemde işaretledikten sonra bazı meraklı beyinlerin aklına şöyle bir soru gelir. Noktaları birleştirip grafiği tamamlamanın bir yolu var mıdır? Evet vardır ve bu noktada Gama fonksiyonu işin içine karışır.

Gama fonksiyonu matematikte faktöriyel fonksiyonunun karmaşık sayılar ve tam sayı olmayan reel sayılar için genelleyen bir fonksiyondur. Bu tuhaf görünümlü fonksiyonu, Yunan alfabesinden büyük harf gamma ile şuna benzer Γ(z) bir biçimde yazarız. Gama fonksiyonu yardımı ile sayılar ile ilgili bazı özellikleri tanımlarız. Bunlardan bir tanesi Γ (z + 1) = z Γ (z) biçimindedir. Yukarıdaki formül, faktöriyel ve gama fonksiyonu arasındaki bağlantıyı kurar. Bu bağlantı pozitif n tamsayısı için, Γ (n) = ( n-1)! kuralı aracılığıyla kurulur. Bu da bize sıfır faktöriyel değerinin neden 1’e eşit olduğunun cevabını verir.

Reel eksen boyunca gama fonksiyonu

Gama fonksiyonu z’nin negatif tamsayı değerleri için sonsuz ve diğer tüm karmaşık sayılar için sonludur. İstatistikte önemli uygulamaları vardır. Faktöriyeli tanımlayan anahtar özelliğe sahiptir. Gama fonksiyonu ile uğraşarak ilginç bazı sonuçlara da erişebilirsiniz. En iyi bilinen (ve şaşırtıcı) sonuçlardan biri Γ (1/2) = √π olmasıdır. Γ (n) = ( n-1)! olduğundan buradan da (-1/2)!= √π gibi bir sonuç elde ederiz ki bu sonuç gerçekten ilk bakışta oldukça şaşırtıcıdır.

Gama Fonksiyonu Ne İşe Yarar?

Bu fonksiyon matematiğin görünüşte alakasız birçok alanında ortaya çıkar. Özellikle, faktöriyel genellemesi bazı olasılık problemlerinde bize yardımcı olur. Örneğin, gama dağılımı, gama fonksiyonu cinsinden ifade edilir. Bu dağılım, depremler arasındaki zaman aralığını modellemek için kullanılır. Örneğin Gama fonksiyonunun özel bir hali olan Erlang, iletişim teknolojisinde sıklıkla karşımıza çıkan olasılık hesaplarında yer alır. Google arama motorlarında alınan bazı kararlar, politikada oy hesapları, kişilere özel etkin reklam tasarımı gibi konuların arkasındaki matematiksel çalışmalarda Gama’nın yine özel bir hali olan K-Kare (Chi-square) kendini gösterir. Yani siz fark etseniz de etmeseniz de matematik bir biçimde arka planda çalışmaya devam etmektedir.

Göz Atmak İsterseniz

Kaynak:

Matematiksel


Sibel Çağlar

Merhabalar. Matematik öğretmeni olarak başladığım hayatıma 2016 yılında kurduğum matematiksel.org web sitesinde içerikler üreterek devam ediyorum. Matematiğin aydınlık yüzünü paylaşıyorum. Amacım matematiğin hayattan kopuk olmadığını kanıtlamaktı. Devamında ekip arkadaşlarımın da dahil olması ile kocaman bir aile olduk. Amacımıza da kısmen ulaştık. Yolumuz daha uzun ama kesinlikle çok keyifli.

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

Başa dön tuşu