Aritmetik

0 Faktöriyel Neden 1’e Eşittir?

Matematikte bazı kavramları ezberler ve öylesine uygularız, bunlardan bir tanesi de karşımıza faktöriyel tanımında çıkar. Faktöriyeller konusunu lise yıllarından hatırlarsınız. Hatırlamayanlar için kısa bir giriş yapalım. Herhangi bir ders kitabını açtığınızda karşınıza şu ifade çıkacaktır.

Tanım: n doğal sayı olmak üzere, 1 den n e kadar olan doğal sayıların çarpımına ‘n faktöriyel’ denir ve  n! şeklinde gösterilir.

n!=1.2.3……..(n-1).n

0!=1 ve 1!=1 dir.

Mesela; 5!=5.4.3.2.1=120,  4!=4.3.2.1=24,  6!=6.5.4.3.2.1=720 olur.

İşte bu tanımda kafa karıştıran nokta 0!=1 ifadesidir. Aslında bunun farklı gösterim biçimleri olsa da bu yazıda en basit olanını açıklamaya çalışalım. Aslında bu bir ispat değil sadece gösterim biçimi baştan bunu söylemek gerekir. Tam açıklamasını öğrenmek isterseniz bu yazımıza göz atıp Gama fonksiyonu ile tanışmalısınız. Biz bu yazı da işi daha sade dile getirebilmek adına “0 Faktöriyel Neden 1’e Eşittir?” sorusunun sezgisel bir çözümünü ele alacağız. İşe öncelikle herkes tarafından bilinen tanımı ile başlayacağız.

0 faktöriyel, içinde değer bulunmayan bir veri kümesini düzenleme yollarının sayısını bulmak anlamına gelmektedir. Genel olarak, bir sayının faktöriyeli, sayının kendisinden küçük ancak sıfırdan büyük her diğer sayılar ile çarpılması sonucunda bulunur. Örneğin 4! = 24 dendiği zaman 4 x 3 x 2 x 1 = 24 işleminin yapıldığını anlarız.

0 Faktöriyel Nedir?

0 faktöriyelin 1’e eşit olmasının ilk nedeni tam olarak bizi tatmin edici bir açıklama olmasa da tanım gereğidir. Bu matematiksel olarak doğru bir açıklamadır. Faktöriyel tanımının, değeri orijinal sayıya eşit veya daha az olan tüm pozitif tamsayıların çarpımı olduğu unutulmamalıdır. Sıfır, ondan daha küçük bir pozitif tamsayıya sahip değildir. Faktöriyel kavramı permütasyon ve kombinasyon konularının temelini oluşturmaktadır. n! diye tanımladığımız şey aslında n tane farklı nesneyi kendi içinde nasıl sıralayabileceğimizin sayısıdır. Yani 3 tane farklı gömleğinizi bir rafa sıraya dizmek isterseniz bunu 3!=6 kadar şekilde yapabilirsiniz. Peki gömlek sayınız iki olursa. Elbette o zaman cevabınız 2!=2 olacaktır. Bir tanecik gömleğiniz varsa da o zaman üzgünüz sadece bulunduğu biçimde kalacaktır 🙂 Yani 1!=1 olacaktır. Eğer hiç gömleğiniz yoksa işin içine biraz felsefe karışıyor. “Hiç gömleğim yok, bunu kaç farklı biçimde sıralayabilirim?” Cevabınız elbette sıralayamam olacaktır ama unutmayın bu cevap matematikte boş kümeye karşılık gelmektedir. Ve bununda sayısal bir karşılığı vardır.

0! = 1 tanımı biraz da permütasyonlar ve kombinasyonlar için kullandığımız formüllerle de ilgilidir. Bu, sıfır faktöriyelin neden bir olduğunu açıklamaz. Ancak neden bu biçimde kabul edilmesi gerektiği konusunda bize bir fikir verir. Bir kombinasyon, sıraya bakılmaksızın bir kümenin öğelerinin gruplanmasıdır. Örneğin, {1, 2, 3} kümesini düşünün. Bu unsurları nasıl düzenlersek düzenleyelim, sonunda aynı üçlüye ulaşıyoruz. Bu nedenle kombinasyon hesabı için kullandığımız formül C(n,r ) = n!/[r!(n – r)!]. biçimindedir. 3 elemanlı bir kümenin 3’lü kombinasyonlarını hesaplamaya kalktığımızda da payda da (3-3)! biçiminde bir ifade oluşacaktır. Bu da 0!=1 ifadesini kullanmaya bizi zorlayacaktır.

0 faktöriyelin 1 olmasının yukarıda da dediğimiz gibi başka tanımları da vardır ancak bu yazıda ele aldıklarımız en kolay olanlarıdır. Anlatılanlar inandırıcı gelmedi ise aşağıdaki videoya da göz atabilirsiniz. (Türkçe altyazı seçenekleri mevcut)

İleri Okumalar: Why Does Zero Factorial Equal One?; https://www.thoughtco.com/why-does-zero-factorial-equal-one-3126598

Matematiksel

Sibel Çağlar

7 yıl Kadıköy Anadolu Lisesinin devamında lisans eğitimimi Marmara Üniversitesi İng. Matematik öğretmenliği üzerine tamamladım. Devamında 20 yıl çeşitli özel eğitim kurumlarında matematik öğretmenliği ve eğitim koordinatörlüğü yaptım. 2015 yılında matematiksel.org web sitesini kurdum. Amacım bilime ilgiyi arttırmak, bilimin özellikle matematiğin zihin açıcı yönünü açığa koymaktı. Yolumuz daha uzun ve zorlu ancak en azından deniyoruz.

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak.