Sıfır Faktöriyel Neden Bire Eşittir?

Matematikte bazı kavramları ezberler ve öylesine uygularız, bunlardan bir tanesi de karşımıza faktöriyel tanımında çıkar. Faktöriyeller konusunu lise yıllarından hatırlarsınız. Hatırlamayanlar için kısa bir giriş yapalım. Herhangi bir ders kitabını açtığınızda karşınıza şu ifade çıkacaktır. Tanım: n doğal sayı olmak üzere, 1 den n e kadar olan doğal sayıların çarpımına ‘n faktöriyel’ denir ve n! şeklinde gösterilir. Bunu n!=1.2.3……..(n-1).n şeklinde de ifade edebiliriz. 0!=1 ve 1!=1 dir. Mesela; 5!=5.4.3.2.1=120,  4!=4.3.2.1=24,  6!=6.5.4.3.2.1=720 olur.

İşte bu tanımda kafa karıştıran nokta sıfır faktöriyelin bire eşit olduğunu söyleyen 0!=1 ifadesidir. Aslında bunun farklı gösterim biçimleri olsa da bu yazıda en basit olanını açıklamaya çalışalım. Aslında bu bir ispat değil sadece gösterim biçimi baştan bunu söylemek gerekir. Tam açıklamasını öğrenmek isterseniz bu yazımıza göz atıp Gama fonksiyonu ile tanışmalısınız. Ancak biz bu yazıda işi daha sade dile getirebilmek adına “0 Faktöriyel Neden 1’e Eşittir?” sorusunun sezgisel bir çözümünü ele alacağız. İşe öncelikle faktöriyelin bilinen tanımı ile başlayacağız.

0 faktöriyel, içinde değer bulunmayan bir veri kümesini düzenleme yollarının sayısını bulmak anlamına gelmektedir. Genel olarak, bir sayının faktöriyeli, sayının kendisinden küçük ancak sıfırdan büyük her diğer sayılar ile çarpılması sonucunda bulunur. Örneğin 4! = 24 dendiği zaman 4 x 3 x 2 x 1 = 24 işleminin yapıldığını anlarız.

Sıfır Faktöriyel Nedir?

0 faktöriyelin 1’e eşit olmasının ilk nedeni tam olarak bizi tatmin edici bir açıklama olmasa da tanım gereğidir. Bu matematiksel olarak doğru bir açıklamadır. Faktöriyel tanımının, değeri orijinal sayıya eşit veya daha az olan tüm pozitif tamsayıların çarpımı olduğu unutulmamalıdır. Sıfır, ondan daha küçük bir pozitif tamsayıya sahip değildir. Faktöriyel kavramı permütasyon ve kombinasyon konularının temelini oluşturmaktadır.

n! diye tanımladığımız şey aslında n tane farklı nesneyi kendi içinde nasıl sıralayabileceğimizin sayısıdır. Yani 3 tane farklı gömleğinizi bir rafa sıraya dizmek isterseniz bunu 3!=6 kadar şekilde yapabilirsiniz. Peki gömlek sayınız iki olursa. Elbette o zaman cevabınız 2!=2 olacaktır. Bir tanecik gömleğiniz varsa da o zaman üzgünüz sadece bulunduğu biçimde kalacaktır :) Yani 1!=1 olacaktır.

Eğer hiç gömleğiniz yoksa işin içine biraz felsefe karışıyor. “Hiç gömleğim yok, bunu kaç farklı biçimde sıralayabilirim?” Cevabınız elbette sıralayamam olacaktır ama unutmayın bu cevap matematikte boş kümeye karşılık gelmektedir. Ve bununda sayısal bir karşılığı vardır.

Sıfır faktöriyel neden Bir Yapar sorusunun İkinci Olası cevabı

0! = 1 tanımı biraz da permütasyonlar ve kombinasyonlar için kullandığımız formüllerle de ilgilidir. Bu, sıfır faktöriyelin neden bir olduğunu açıklamaz. Ancak neden bu biçimde kabul edilmesi gerektiği konusunda bize bir fikir verir. Bir kombinasyon, sıraya bakılmaksızın bir kümenin öğelerinin gruplanmasıdır. Örneğin, {1, 2, 3} kümesini düşünün. Bu unsurları nasıl düzenlersek düzenleyelim, sonunda aynı üçlüye ulaşıyoruz.

Bu nedenle kombinasyon hesabı için kullandığımız formül C (n,r ) = n!/[r!(n – r)!]. biçimindedir. 3 elemanlı bir kümenin 3’lü kombinasyonlarını hesaplamaya kalktığımızda da payda da (3-3)! biçiminde bir ifade oluşacaktır. Bu da 0!=1 ifadesini kullanmaya bizi zorlayacaktır.

0 faktöriyelin 1 olmasının yukarıda da dediğimiz gibi başka tanımları da vardır. Ancak bu noktaya kadar aktardığımız tüm tanımlar yazının başında da eklediğimiz gibi aslında sezgiseldir. Aşağıdaki görselde Gama fonksiyonunu görüyorsunuz. Sıfır faktöriyel neden bire eşittir sorusunun asıl cevabı bu fonksiyondur.

Gama fonksiyonu matematikte faktöriyel fonksiyonunun karmaşık sayılar ve tam sayı olmayan reel sayılar için genelleyen bir fonksiyondur. Bu tuhaf görünümlü fonksiyonu, Yunan alfabesinden büyük harf gamma ile şuna benzer Γ(z) bir biçimde yazarız.Gama fonksiyonu yardımı ile sayılar ile ilgili bazı özellikleri tanımlarız. Bunlardan bir tanesi Γ (z + 1) = z Γ (z) biçimindedir. Yukarıdaki formül, faktöriyel ve gama fonksiyonu arasındaki bağlantıyı kurar. Bu bağlantı pozitif n tamsayısı için, Γ (n) = ( n-1)! kuralı aracılığıyla kurulur. Bu da bize sıfır faktöriyel değerinin neden 1’e eşit olduğunun cevabını verir.


İleri Okumalar: Why Does Zero Factorial Equal One?; https://www.thoughtco.

Matematiksel

Sibel Çağlar

Merhabalar. Matematik öğretmeni olarak başladığım hayatıma 2016 yılında kurduğum matematiksel.org web sitesinde içerikler üreterek devam ediyorum. Matematiğin aydınlık yüzünü paylaşıyorum. Amacım matematiğin hayattan kopuk olmadığını kanıtlamaktı. Devamında ekip arkadaşlarımın da dahil olması ile kocaman bir aile olduk. Amacımıza da kısmen ulaştık. Yolumuz daha uzun ama kesinlikle çok keyifli.
Başa dön tuşu