İlginç Sorular ve BulmacalarMATEMATİK

1 Artı 1 Neden 2 Eder? Bu Durumun Açıklaması Nedir?

Enrico Bombieri, analitik sayılar teorisi, Diophantine geometrisi, karmaşık analiz ve grup teorisi alanındaki çalışmaları ile tanınan bir İtalyan matematikçidir. Kendisi aynı zamanda matematik kategorisinde verilmeyen No­bel Ödülü’nün karşılığı olan Fields madalyası sahibidir. Bombieri şu anda Princeton, New Jersey’deki İleri Araştırmalar Enstitüsü Matematik Okulu’nda Fahri Profesör. Kendisine küçük bir çocuk 1 artı bir neden 2 yapar diye sormuş. Verdiği cevabı size kısaca aktarmaya çalışalım.

1 Artı 1 Neden 2 Yapar?

Civardaki küçük dükkanlardan birinin sahibinin aklı­na bir gün bir fikir geldi. İçi şekerle dolu cam bir kavanozu tezgahının üstüne koydu. Kavanozda kaç tane şeker olduğunu doğru tahmin edene de kavanozu he­diye edeceğini söyledi. Ben bir matematikçi olarak şekerlerin tam sayısını bulmak istedim. Bunun için bir şe­kerin yaklaşık ne kadar büyük olduğunu tahmin etme­ye çalıştım. Sonrada aynı şeyi, şekerler arasındaki boşluk ve kavanozun büyüklüğü için yaptım. Sonra he­saplamaya başladım. Fakat benim hesaplamış olduğum sayı da, diğer pek çok kişi gibi, gerçek sayıdan çok uzaktı.

Biz insanlar bir meyve tabağında 4 ya da 5 elmanın olduğunu hemen görürüz. Fakat 10 taneden fazla nes­neyi aynı anda kolayca algılayamayız. Bir kavanozu kaç şekerin doldurduğunu bir bakışta fark etme şansımız yok­tur. Gözümüz şekerler arasındaki mesafeyi tam ölçemez. Yani benim şekerlerin sayısını belirleme girişimimin ba­şarı olasılığı düşüktü. Fakat bu, matematikçilerin bir soruna yaklaşma biçimi için iyi bir örnektir. Bir görevi daima temel büyüklüklere ve bu büyüklükler ara­sındaki ilişkilere dayandırarak basitleştirmek isteriz. Şekerlerin büyüklüğü, aralarındaki mesafe ve kavanozun büyüklüğü bilinseydi şekerlerin sayısı hesaplanabilirdi.

Matematik Büyüklükler Üzerine Kuruludur.

Saymak bizim için dünyanın en do­ğal şeyi olsa da, bunun arkasında da önemli prensipler yatmaktadır. Neden 1 artı 1 neden 2 diye sormuştun bana. Kavanoz­daki şekerleri nasıl sayarsın? Birini alır ve masanın üze­rine koyarsın. Sonra bir tane daha alır ve onu da ilkinin yanına koyarsın. Şimdi biri sana kaç tane şeker aldığı­nı sorsa, “2” dersin. Yani sayarken bu 2 şekeri düşünsel olarak bir araya getirirsin. Bunu 1+1=2 diye yazarız.

1 nesneden 2 nesneye geçiş adımı, saymanın temeli­dir. Kavanozdan 1 şe­ker daha aldığında, masanın üstünde 2+ 1 şeker olur. Bu­na “3 şeker” deriz ve 2+1=3 yazarız. Yani saymak, bir sayıdan hemen bir sonrakine devam etmek demektir. Bu arada biz matematikçiler 2 ‘yi 1 ‘in ardılı olarak tanım­larız, 3’ü 2’nin ardılı olarak vesaire. Buna göre 1+1=2 bir saptamadır ve 2’nin 1 ‘in ardılı olduğunu ifade eder.

Ardıl prensibinin yanı sıra, saymada başka temel kurallar da vardır. Sayarken önce 2 sonra 3 şekeri mi top­ladığın, yoksa önce 3 sonra 2 şekeri mi topladığın önem­li değildir örneğin. Sırası burada önemsizdir. Her iki yol­la da 5 şeker elde edersin. Bunun formülü şöyledir: 2+3=3+2.

Saymanın temel kurallarını bir kez anlayınca, tüm di­ğer kuralları da bundan çıkarmak mümkündür. Örneğin 2+3=5 böylece bir matematik cümlesi haline gelir. Bunu, te­mel kuralları uygulayarak ispatlamak mümkündür. Ancak ispatlamaya ne gerek var, diyebilirsin. Aslında haklısın. Çünkü hiç kimse kal­kıp da 2+3=6’dır diye iddia etmeyecektir. Fa­kat deneyimlerimiz biz matematikçilere her ifadenin ispatlanması gerekti­ğini gösterdi. Çünkü bazı büyük kuram kuleleri, sözüm ona çok açık olan ilişkilerin daha sonra aniden yanlış ol­duğu ortaya çıktığından, iskambil kağıdı kuleler gibi yı­kılmıştır. Yani matematik son derece ciddi bir iştir. Çok küçük bile olsa her adım açıklanmalıdır. Yoksa her şey kontrolden çıkar.

Matematiğin Kesinlik Üzerine Kurulu Bir Dili Vardır

Matematikçiler işleri kontrol etmek için 3000 yıldan fazla olan tarihi boyunca kesin bir dil yaratmışlardır. Bu dil sayesinde her matematikçinin başka birinin neler yaptı­ğını denetleme imkanı vardır. Ancak bu dilin, anlaşılmama gibi bir dezavantajı da vardır. Hatta bazen bir uzman bile kendini dilini bilmediği bir ülkede sanabilir.

Ney­se ki matematikte basit kelimelerle tarif edilen so­rular da vardır. Örneğin: Ardından başka hiçbir sayının gelmediği kadar en büyük sayı var mıdır? Cevap hayır! Çünkü sen üzerine her seferinde 1 ekleyebi­lir ve daha büyük bir sayı yapabilirsin! Bu sonsuzluğu tarif eder. Sayı dizisinin sonsuzluğu da tuhaf durumlara yol açar. Çünkü saymaya devam ettikçe yazmaya yetecek kadar kağıt ve mürekkep bulamayacağımız canavar sayılar çıkar. Küçük sayılarda da benzer bir durum vardır. Hemen bir cetvel al eline. Her santimetre 10 eşit parçaya bölünmüştür, milimetrelere. Her milimetre yeniden 10’a bölüne­bilir. Bu böyle sonsuza kadar sürer. Bu da bizi başka canavar sayılar ile baş başa bırakır.

Zaman içinde matematikte belirleyici olanın tek tek nesnelerin değil, onlar arasında var olan ilişkilerin olduğu anlaşılmıştır. Nesnelerin kendileri önemsizdir. Bir matematikçi bu ilişkilerin yapılarını inceler. Her zaman hangi ilişkinin esas teşkil ettiğini bulmak ister. Soyut matematiğe yaptığımız bu kısa yolculuktan sonra farklı nesnelerin birbirleri ile aynı matematiksel ilişki içinde olabilecekleri konusunda bir örnek ver­meme izin ver.

Matematiksel İlişkiler

Satürn gezegeni ve halkaları: Kaynak: https://solarsystem.nasa.gov/

Satürn gezegeninin belki daha önce bir resimde ya da televizyonda görmüş olduğun halkası, etrafında dönen pek çok küçük taş ve buz parça­sından oluşur. 100 yıldan fazla bir süre önce Fransız ma­tematikçi Laplace bu halkayı daha yakından incelemiş ve neden dağılmadığını sormuştur kendine. Laplace Sa­türn halkasının sürekliliğini araştırdı ve hesapladı. Sonunda bir denge durumunu tarif eden Laplace denklemini buldu. Daha sonra anlaşıldı ki, bu denklem yalnızca astronomide değil, bir telefon ağı kurarken de önemli bir rol oynar. Şimdi kendine, telefonların Satürn’ün halkası ile ne ilgisi olduğunu soruyorsundur mutlaka. Yok elbette. Fakat ikisini de tarif eden matematiksel ilişkiler aynı. İkisi de Laplace denklemine uyarlar.

Ben de 40 yılı aşkın bir süredir bir sırrın izindeyim. Asal sayılar neden bu kadar ilginç ol­sun ki, diye soracaksın şimdi. Çünkü onlar tüm sayıların yapıtaşlarıdır. Her sayı asal sayıların bir ürünüdür. Hatırlayacağın gibi 1, 2, 3 …… sayılarının prensibi çok basitti: 1 ‘den başla ve hep 1 ekle. Ancak bunu asal sayılar için uygulamaya çalıştığımız­ da, işe yaramaz. Herhangi bir asal sayıdan sonra gelen bir sonraki asal sayıyı bulmak için çok açık bir kural yoktur. Elbette tüm sayıları tarayıp, 1 ve kendilerinden başka bir sayıya bö­lünüp bölünmediklerini kontrol ederek asal sayıların bir listesini oluşturabiliriz. Fakat bu bir kural değildir. Ve çok da kolay olmaz.

Ancak çok zekice hazırlanmış bilgisayar programları bunu belirli za­man içinde çözebilir. Bu nedenle dev asal sayılar şifre olarak kullanılabilir. Ancak bir asal sayılar listesine sahip olmaktan da­ha ilginci ise şu sorudur. Asal sayılar tüm sayıların di­zisinde tesadüfen mi ortaya çıkar yoksa bunun arkasın­ da bir kural mı gizlidir?

Böyle bir kuralı en iyi matema­tikçiler bile uzun süre aradılar. Bernhard Riemann bunun nasıl olabileceğini orta­ya çıkardı ve onun bu hipotezini ispatlamayı henüz kim­se başaramamış olsa da, çoğu matematikçi doğru oldu­ğuna inanır. Fakat Riemann hipotezini ispatlamak ne­ den bu kadar zordur? Bu benim de çözmeye çalıştığım bir sırdır ve bunun arkasında esaslı bir yeniliğin saklı ol­duğuna dair sürekli daha fazla ipucu bulunur. Bu neden­le asal sayılar sorunu matematikte henüz çözülmemiş en önemli bilmece olarak kabul edilmektedir.

1+1 Neden 2 Eder? Sorusunun Cevabı

Matematiğin dilini bir kez kavrayınca, düşünceye ola­ğanüstü imkanlar açılmaktadır. Bir ressam resim sanatının tekniğini öğrendi mi bir kez, fırçası ile tuvale ne yapıp ne yapmayacağına kendisi karar verir artık. Matematikte teknik nedir diyorsundur belki şimdi? Şimdi sana daha önce söz verdiğim ispatı ana hatlarıyla anlatarak göstereceğim.

Önerme 2+3=5 idi. Bu önerme­yi açıklamak için yalnızca 2+3=4+1 olduğunu ispatlama­lıyız, çünkü 4+ 1, 4’ün ardılı, yani 5’tir. Bunu üç adımda yapacağız. 2’nin 1’in ardılı olduğunu biliyoruz, yani 1+1. 3’ün de 2’nin ardılı olduğunu biliyoruz, yani 2+1. Buna göre 2+3’ü istersek (1+1)+(2+1) olarak yazabiliriz. Burada parantezler ön­ce parantez içindeki sayıların toplanması gerektiğini gös­terir.

İkinci adımda kalan 2 yerine de 1+1 yazarız. Böylece (1+1)+[(1+1)+1] elde ede­riz. Devam edebilmek için sayı sayarken geçerli olan bir başka kurala ihtiyacımız vardır: Parantezleri nasıl koy­duğumuz fark etmez. Bu demektir ki (1+1)+[(1+1)+1]’i (1+1+1+1+)+1 olarak da yazabiliriz. Böylece ispatımı­zı da tamamlamış oluruz, çünkü 1+1+1+1=4’tür. Yani 2+3=4+1’dir ve böylece 4’ün ardılıdır.

Matematik, sayısız çiçek ve bitki ile dolu bir bahçe kadar zengindir. Fakat şu­nu asla unutma: Bilim ne kadar güzel olursa olsun, her şey demek değildir. Bundan daha önemli şeyler vardır dünyada, öncelikle de insanlık. Ben bir engelli kız çocu­ğunun babasıyım. O sağır ve zihinsel olarak geri kalmış olsa da harika bir yaratık. Çocukluğumdan beri üzerin­
de çalıştığım tüm matematik teorilerinin toplamından daha fazlasını öğrendim ondan. Kızım, hayatta başıma gelebilecek en güzel şeydir.

Kaynak: Bu yazı, özgün adı “Bettina Stiekel; Kinder fragen, Nobelpreistrager antworten” olan ve dilimize Elif Günçe’nin çevirisi ile “Çocuklar Soruyor Nobel’iler Cevaplıyor” olarak kazandırılan kitaptan alıntılanmıştır. Türkiye iş Bankası Kültür Yayınları; ISBN 975-458-636-5

Matematiksel

Sibel Çağlar

Yola Kadıköy Anadolu Lisesi ile başladım. Ardından gelen tesadüfler, zamanında pek de sevmediğim, matematik ile yolumu kesiştirdi. Sonucunda Marmara Üniversitesinde İng. Matematik öğretmenliğinden mezun oldum. Zaman akıp gitti; bu süreçte ben de çeşitli özel eğitim kurumlarında matematik öğretmenliği ve eğitim koordinatörlüğü yaptım. Bu esnada da bol bol matematik ile ilgili serzenişlere şahit oldum. Ne yapmalı diye düşünürken, aklıma bu site fikri geldi. 2015 yılında matematiksel.org web sitesini kurdum. Amacım bilime ve özelinde matematiğe ilgiliyi arttırmaktı. Matematiğin hayattan kopuk olmadığını kanıtlamaktı. Devamında ekip arkadaşlarının da dahil olması ile kocaman bir aile olduk. Yolumuz uzun ama kesinlikle çok keyifli.

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak.

Başa dön tuşu