Bazı şeylerin kesin öyle olmasını düşünürüz. Örneğin gökyüzü mavidir. Alfabedeki a harfi b harfinden önce gelir. Ayrıca 1 artı 1 de her zaman 2 yapar. Gerçekten öyle mi? Son söylediğimiz şey elbette saymanın temelini oluşturur. Ancak bunun arkasında da temel prensipler yatmaktadır.
Bir kavanozdaki şekerleri saydığımızı düşünelim. Birini alır ve masanın üzerine koyarsınız. Sonra bir tane daha alır ve onu da ilkinin yanına koyarsınız. Şimdi biri size kaç tane şeker aldığınızı sorsa, “2” dersiniz. Yani sayarken bu 2 şekeri düşünsel olarak bir araya getirirsiniz.
Sonucunda bunu da 1+1=2 diye yazarsınız. Sonrasında da kavanozdan 1 şeker daha aldığınızda, masanın üstünde 2+ 1 şeker olur. Buna da “3 şeker” deriz ve 2+1=3 biçiminde yazarız. Sonucunda bir nesneden başka bir nesneye geçiş saymanın temelidir.
1 Artı 1 Neden 2 Yapar?
Bu arada matematikçiler 2 ‘yi 1 ‘in ardılı olarak tanımlar. Benzer bir biçimde de 3 sayısı da 2’nin ardılı olarak tanımlanmaktadır. Bu mantıkla ele aldığımız zaman 1+1=2 bir saptamadır ve 2’nin 1 ‘in ardılı olduğunu ifade eder. Ancak bazı kabuller çok da kolay bir biçimde gerçekleşmez.
Aslında bakarsanız apaçık öyle dediğimiz pek çok matematiksel olgu için bu durum geçerlidir. Basit bir örnek vermemiz gerekirse 1+1=2 işleminin ispatı tam 360 sayfadır. Bu ispat matematik adına yazılmış en önemli kitaplardan birisi olarak kabul edilen “Principia Mathematica”da yer almaktadır. Bu kitap 1910, 1912 ve 1913’te üç cilt olarak yayınlandı.
İlk cilt Whitehead tarafından ortaklaşa yazıldı, ancak sonraki iki kitabın neredeyse tamamı Russell’ın eseriydi. Bu kitabın İngilizce versiyonunu incelemek için bu kaynağı kullanabilirsiniz. Ayrıca ispatın yer aldığı bölümden bir sayfayı da yukarıda görebilirisiniz.
Sizin de fark etmiş olacağınız gibi bu kitap popüler bir bilim kitabına benzememektedir. Kitabın büyük çoğunluğu sembolik bir dil ile yazılmıştır. Ayrıca o dönemde kullanılan sembollerin bazıları günümüzde artık kullanılmamaktadır. 360. sayfada 54.43’te ise 1+1=2 işleminin ispatı yer almaktadır.
Basit Bir İspat Neden Bu Kadar Uzun Sürdü?
Tahmin etmiş olacağınız gibi Principia Mathematica temelde “1 artı 1 neden 2 yapar?” sorusuna bir cevap olarak yazılmadı. Yazarların amacı bundan çok daha incelikliydi. Matematiğin her dalı bazı ispatlar ve kabuller üzerine kuruludur. Bu kabul ve ispatlarda daha önceki ispat ve kabullere dayanır.
Whitehead ile Russell, bu dev eserde tüm aritmetiksel kavramların saf mantıksal kavramlarla tanımlanabileceğini göstermeye çalıştılar. Böylece aritmetik aksiyomların tamamı, saf mantıksal doğruluklar olan az sayıda temel önermeden çıkmış olacaktı.
Bu sayede daha önceki çalışmalarında bulunan paradoks ve çelişki türlerinden kaçınırken, matematiğin tamamını mantıksal aksiyomlardan türetmiş olacaklardı.
Whitehead’in projedeki rolü, Russell’la birlikte ilk üç cilde ait geniş kapsamlı ayrıntılar üzerinde çalışmaktan ziyade, geometrinin mantıksal temelleri olacak olan dördüncü cildin başlıca yazarı olmaktı. Ancak kitabın kalınlığı nedeniyle dördüncü cildi hiç ortaya çıkmadı.
İkili Ölümsüz Bir Eser Yaratsa da Çabaları Sonuçsuz Kalacaktı
Russell ve Whitehead bu çalışmaları sayesinde dünya çapında ün kazandı. Bu eserden sonra hemen herkes, konuyla ilgilenmeye başlamıştı. Sonucunda da matematiksel mantık büyük bir hızla ilerledi. Ancak matematiğin hem tutarlı hem de eksiksiz olamayacağını Avusturyalı-Amerikalı mantıkçı, matematikçi Kurt Gödel 1931 yılında meşhur eksiklik teoremi ile gösterecekti. ( Detaylar için: Kurt Gödel ve Eksiklik Teoremi: Cevabı Olmayan Sorular Her Zaman Vardır)
Gödel, Öklid zamanından beri uygulanan matematiksel yöntemlerin, doğal sayılar hakkında doğru olan her şeyi keşfetmek için yetersiz olduğunu kanıtladı
Keşfi, 20. yüzyıla kadar matematiğin üzerine inşa edildiği temellerin altını oydu, düşünürleri alternatifler aramaya teşvik etti ve gerçeğin doğası hakkında canlı bir felsefi tartışma yarattı. ( Göz atmak isterseniz: Matematik Felsefesinin Temelini Oluşturan Problemler Nelerdir?)
Kaynaklar ve ileri okumalar
- The 360-Page Proof That 1+1=2. yayınlanma tarihi: Bağlantı: https://www.youtube.com/
- The 300-Page Proof that One Plus One Equals Two. Yayınlanma tarihi: 27 Temmuz 2022; Bağlantı: https://commonplacefacts.com/
- Principia Mathematica 1+1=2; Bağlantı: https://www.storyofmathematics.com/
Size Bir Mesajımız Var!
Matematiksel, 2015 yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak veya Patreon üzerinden ufak bir bağış yaparak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.
Matematiksel
