Matematik Felsefesinin Temelini Oluşturan Problemler Nelerdir?

Matematik ile felsefenin tarihi çoğunlukla ortaktır. Hatta bazen matematiği felsefeden ayırt edemeyiz. Bu yazımızda matematik ve felsefenin buluşma noktasına değineceğiz: Matematik felsefesi.

Matematik felsefesi neyle ilgilenir? Matematik felsefesinin ortaya çıkmasına zemin hazırlayan problemler nelerdir?

“1+1 neden 2 eder sorusu. 1+1=3 olsaydı ya da 1+1=11 olsaydı ne olurdu ki? Neden 1,2,3… diye sayıyoruz? “1” gerçekten var olan bir nesne midir? Varsa nerede ve nasıl var? ” biçimindeki soruları ele alalım. Bunlar, felsefenin çoğu sorusu gibi cevaplanması zor sorulardır. 1+1=2 gibi ifadeleri felsefi olarak anlamlandırabilmek için çok fazla felsefi araca ihtiyaç duyulmaktadır. İşte matematikle beraber ortaya çıkan bu sorular, matematik felsefesinin doğmasına yol açtı.

1+1=2 işleminin ispatı tam 360 sayfadır. Bu ispat matematik adına yazılmış en önemli kitaplardan birisi olarak kabul edilen “Principia Mathematica”da yer almaktadır. Sizin de fark etmiş olacağınız gibi bu kitap popüler bir bilim kitabına benzememektedir. Kitabın büyük çoğunluğu sembolik bir dil ile yazılmıştır.

Hem matematik hem de felsefe, çok da uzun olmayan bir sürede çok fazla değişti. Ancak eski sorular, hala yeni araştırmalara rehberlik etmektedir. Matematik filozoflarının “1” ve “daire” gibi nesnelerin ne tür bir varoluşa sahip olduğunu ve 1+1=2 gibi ifadelerin ne tür bir doğruluğa sahip olduğunu belirlemeleri gerekir.

Ancak modern matematikle beraber filozoflar, yeni ve rahatsız edici birçok soruyla karşı karşıya kalmıştır. Bu sorular o kadar çeşitli ve görünüşte uyumsuz cevaplara sahiptir ki, matematik felsefesinde birçok farklı görüş ortaya çıkmıştır. Şimdi bazılarına kısaca göz atacağız.

David Hilbert: Matematik Felsefesindeki Büyük Proje

Matematik felsefesindeki birçok kilit konuya değinen, saf felsefe ve pür matematik arasındaki etkileşimine göz atalım. Bunun için David Hilbert’in projesine ve Brouwer ile olan tartışmasını inceleyeceğiz. Pür matematik 19. yüzyılda olgunlaştıkça ve giderek daha soyut ve sezgisel olmayan kavramlar üzerine yoğunlaştıkça, matematikçiler ve filozoflar konunun temellerini ciddi bir şekilde inceleme ihtiyacı gördüler.

Bunların arasında, pratik açıdan mantıklı ve sağlam bir zemin hazırlama dürtüsünde olan Hilbert de vardı. Matematiğin pek çok filozof tarafından paylaşılan mükemmel, rasyonel bir bilim olduğu görüşünü somut bir şeye çevirmeyi umuyordu.

Hilbert’in düşüncesi, o zamanlar matematikteki modern gelişmelerle destek görüyordu. Özellikle de matematikteki sonlu nesnelere kesin bir çerçeve kazandırmaya çalışıyordu. Hilbert, Bolzano ve Cantor’un küme teorisindeki çalışmalarını gerçek sonsuzluk fikriyle titiz bir şekilde irdelemişti.

Örneğin; tüm tamsayılar kümesi kendi başına bir nesne olarak gerçek bir sonsuzdur. Yalnızca keyfi olarak büyük sayılarla uğraşırken, matematikçilerin yüzyıllardır kullandığı potansiyel sonsuz kavramına ihtiyaç vardır.

Kümeler, Sayma ve Sonsuzluk

Bir kümenin büyüklüğü hakkındaki fikrimizi basit bir saymaya indirgeyebiliriz. İki küme göz önüne alındığında, her bir kümedeki nesneleri sayarak aynı boyutta olup olmadıklarını söyleyebilir ve cevapları karşılaştırabiliriz. Örneğin; üç elma ve üç muzu birbirine eşleyerek eşit sayıda muz ve elma olduğu sonucuna varabilirsiniz.

Hilbert'in Sonsuzluk Oteli — *Matematikteki meşhur sorulardan birisi olan Hilbert’in Sonsuzluk Oteli’ni çözmek için farklı boyutlardaki sonsuzlardan yararlanılmaktadır.* Konu hakkında detaylar için: David Hilbert ve Onun Sonsuzluk Oteli Bize Ne Anlatır?

Cantor, aynı boyutta olma kavramını derinlemesine inceledi ve birebir eşleşme kavramını ortaya attı. Eğer iki kümedeki her bir eleman birbiriyle eşleşiyorsa o zaman bu iki küme aynı boyuttadır. Bu basit soyutlamayla, sonsuz kümelerin boyutu hakkında konuşmanın bir yolunu elde etmiş oldu.

Ancak bu şekilde birebir eşleştirilemeyen sonsuz kümeler vardır. Örneğin; her iki küme sonsuz olmasına rağmen, tam sayılarla reel sayılar arasında birebir eşleme yapamayız. Bu da bize reel sayıların sonsuzluğunun tam sayıların sonsuzluğundan daha büyük olduğunu söyler.

Cantor’un Teoremi: Sonsuz Sonsuzluklar

Cantor’un teoremi bize kısaca birçok farklı sonsuzluk olduğunu söyler. Yani sonsuz bir küme düşündüğünüzde her zaman düşündüğünüzden daha büyük bir sonsuzluğa sahip kümeler vardır. Sayı kavramı üzerine yeniden düşünmemizi sağlayan bu fikir kardinalite kavramının ortaya çıkmasını sağladı.

Henri Poincaré gibi birçok matematikçi, Cantor’u savunanların gerçekte bir sonsuzluğun olmadığını unutup çelişkiye düştüklerini düşünüyordu. Cantor’un fikirleri günümüzde matematiğin her alanında bulunmasına rağmen, başlangıçta hiç popüler değildi.

Fakat aralarında David Hilbert’in de bulunduğu bazı matematikçiler, sonludan kopuşun matematiğin özgürce gelişmesi için büyük bir zafer olduğu kanaatindeydi. Hilbert için, Cantor’un sonsuzluğunun matematiksel sağlamlığı, büyük estetik öneme sahip bir konuydu. Bunu şu sözüyle ifade etmişti: “Cantor’un bizim için yarattığı cennetten kimse bizi kovamaz.”

Matematiksel Realizm vs. Matematiksel Formalizm

Matematik felsefesindeki görüşler arasındaki farklılıklar, kısmen bu yeni sonsuzluk kavramına karşı olan tutumlara yorulabilir. Ancak Hilbert’in görüşü onu bir başka önde gelen düşünür L. E. J. Brouwer ile karşı karşıya getirdi.

*Luitzen Egbertus Jan Brouwer (1881-1966)*

Hilbert, matematiği sembollerin belirli kurallara göre uygulanmasıyla uğraşan bir tür oyun olarak görüyordu. Hilbert’in bu görüşüne formalizm denmektedir. Formalizm, bu formül oyununun gerçekliğe şu ya da bu şekilde bağlı olarak yorumlanmasına karşı çıkmaz. Yani “1” ve “daire” gibi matematiksel nesnelerin bizden bağımsız, kalıcı nesneler olduğunu savunur. Brouwer, matematiği bu iki perspektiften de radikal bir şekilde farklı olarak ele almıştı.

Hilbert’in Brouwer ile arasındaki anlaşmazlık Hilbert’in Temel Teoremi (ing: basis theorem)‘nden kaynaklanmaktadır. Brouwer’a göre garip olan şey, Hilbert’in bunu kanıtlama şekliydi. Hilbert’in Temel Teoremi, “en az bir X vardır” biçimindedir.

Matematikçiler, en az bir X olduğunu göstermek istediklerinde ya böyle bir X’in nasıl bulunacağını göstermeli ya da böyle bir X’in bulunmamasının imkansız olduğunu göstermelidirler. Hilbert’in Temel Teoremi ise kanıtı yapıcı değildi. Bu nedenle Brouwer, sezgicilik olarak bilinen felsefi bir yaklaşım ortaya attı ve bunu tutkuyla savundu.

Sezgicilik ve Yapılandırmacılık

Sezgiciler, matematiksel nesneleri zihnin etkinliği tarafından inşa edilmemiş şeyler olarak görmeyi reddederler. Brouwer’a göre, Hilbert tarafından kullanılan türden yapıcı olmayan ispat teknikleri ciddi şekilde sorunluydu. Bu yapıcı olmayan kanıtları reddeden daha geniş felsefi görüşse yapılandırmacılık olarak bilinir.

Yapılandırmacılar, matematikteki gerçek sonsuzun varlığını sıklıkla reddederler. Böylece Hilbert ve Brouwer sadece matematiksel nesnelerin gerçekliği ve geçerliliği hakkında farklı bakış açıları değil, aynı zamanda matematik yapmanın da farklı yollarını sundular.

Hilbert'in yayınladığı 23 problemlik liste. — *Hilbert’in yayınladığı 23 problemlik liste*. Şimdiye dek bu özgün 23 problemin 10’u çözüldü. Yedi tanesi kısmen çözülmüş durumda, iki tanesi ise hâlâ çözülmüş değil (Riemann hipotezi ve Kronecker-Weber teoremi). Esnek biçimde formüle edildiklerinden, geri kalan dördünün çözülüp çözülmediklerini saptamak ise mümkün değil.

1900’de Hilbert, o zamanki çağdaş matematiğin en ucunda olduğunu düşündüğü 23 problemlik bir liste yayınladı. Listedeki ikinci problem, aritmetik aksiyomlarının tutarlı olduğunu göstermekle ilgiliydi. Bu aksiyom sistemi, aşina olduğumuz temel aritmetik yapıları (sayılar, toplama, çıkarma, vb.) içeriyordu. Ve umulduğu gibi, matematiğin geri kalanını resmileştirecek kadar da güçlüydü. Daha fazlası için: David Hilbert ve Çözülmesi Gereken 23 Matematik Problemi

Gödel’in Eksiklik Teoremi

Kurt Gödel’in eksiklik teoremi, aritmetik içeren hiçbir aksiyom sisteminin kendi tutarlılığını kanıtlayamayacağını göstererek matematik camiasında ilgi çekmeyi başarmıştı. Eksiklik teoremi, oldukça kesin ve mantıksal bir teoremdir. Filozoflar, matematiksel gerçekçilik için sonuçlarını göz önünde bulundururken bu nedenle temkinli davranmışlardır. ( Kurt Gödel ve Eksiklik Teoremi: Cevabı Olmayan Sorular Her Zaman Vardır)

Frege ve daha sonra da Russell, matematiksel teoremleri mantık önermelerine indirgemeyi amaçlayan mantıkçı yaklaşıma öncülük etti. Russell, Frege’nin yaklaşımında ciddi bir sorun bulmuştu. Frege’nin aksiyomlarından biri, belirli bir özelliği sağlayan her şeyin kümesini toplayarak bir kümenin oluşturulmasıydı.

Ancak bu durumda karşımıza günümüzde Russell Paradoksu olarak bilinen bir çelişki ortaya çıkar. Buna karşılık, Gödel’in teoremleri Russell’ı frenlemiş gibi görünüyordu. Ve sonucunda matematikçiler daha az iddialı yaklaşımlara yönelmeye başladılar. İlerleyen yıllarda Frege ve Russell, Ludwig Wittgenstein’ın erken gelişiminin ayrılmaz bir parçası olacaktı. Ludwig Wittgenstein’ın çalışmaları, mantığın durumu ve doğal dille ilişkileri de dahil olmak üzere matematik felsefesi için çok çeşitli etkiler yaratacaktı.

Matematik Felsefesinin Geleceği

Sonunda, küme teorisinin aksiyomatizasyonu sorununa çalışan bir çözüm olarak Zermelo-Fraenkel aksiyomları bulundu. Zermelo-Fraenkel küme teorisi, felsefi spekülasyondan somut matematiksel bilgiye giden yol boyunca uzanmaktadır.

Şimdi ise kendisi mantıkçılar tarafından incelenen matematiksel bir nesnedir. Ancak Cantor’un küme kavramının filozofların matematik hakkındaki düşüncelerine meydan okuması gibi, yeni temel yaklaşımlar gelip geçtikçe yeni soyutlamalar da aynı şeyi yapmaya başlıyor. Eski sorular hala taze olmasa da matematikte oluşan her yeni fikir, yeni soruları da beraberinde getiriyor. Sonucunda matematik ve felsefe arasındaki etkileşim her geçen gün derinleşmekten asla geri kalmıyor.

Kaynaklar ve İleri Okumalar