Sorular ve Bulmacalar

David Hilbert ve Onun Sonsuzluk Oteli Bize Ne Anlatır?

Bu yazımızda matematikçi David Hilbert tarafından ortaya atılan ve sonsuzluğa dair düşüncelere meydan okuyan ünlü bir paradoks olan Hilbert Sonsuzluk Oteli paradoksundan bahsedelim. David Hilbert verdiği bu otel örneği ile sonsuzlukla oynayabileceğiniz sezgisel olmayan oyunları bizlere göstermek istemişti.

Diyelim ki bir otel yöneticisisiniz ve oteliniz tamamen dolu. Bu elbette sizin için harika bir durum ama her zaman daha fazla misafir sıkıştırmanın bir yolunu bulabilirsiniz. Bu sonrasında, Trip Advisor’da kötü yorumlar almak anlamına gelecektir. Ancak matematik dünyasında bu sorun olmaz. Ancak bunun için elbette otelinizin sonsuz sayıda odası olması gerekmektedir. Diyelim ki otelinizde 1, 2, 3 vb. numaralandırılmış sonsuz sayıda oda var. Yeni bir misafir geldiğinde ve yerleştirilmesini istediğinde tüm odalar dolu. Ne yaparsınız?

. Konukları Hilbert Sonsuzluk Otelinde farklı odalara taşırken, mevcut odalar kümesi ile diğer kümeler arasında birebir eşlemeler yapıyoruz.

Eğer mevcut misafirlerinizden biraz işbirliği alabilirseniz aslında çözüm kolay. 1. odadaki misafirden 2. odaya, 2. odadaki misafirden 3. odaya, 3. odadaki misafirden 4. odaya taşınmasını isteyin. Sonlu sayıda oda olsaydı, son odadaki misafirin gidecek yeri olmazdı, ama sonsuz sayıda olduğu için herkes yeni bir yer bulur. Bu durumda da ilk oda boşalmış olur. Sonucunda problem çözülmüştür!

Bu numarayı kullanarak, herhangi bir sınırlı sayıda yeni misafiri gerçekten ağırlayabilirsiniz. Yani n yeni misafir gelirse, mevcut her misafirden, n artı mevcut odasının numarası olan odaya taşınmasını isteyin. Örnek olarak, 8 yeni misafir varsa, şu anda 10 numaralı odada bulunan misafirin 10+8=18 numaralı odaya taşınması gerekir. Sonsuz sayıda odanız olduğu müddetçe bu hiçbir zaman sorun olmayacaktır.

Ama işler daha da iyiye gidiyor. Sonsuz sayıda yeni misafirin geldiğini ve otelin dışında düzenli bir kuyruk oluşturduğunu varsayalım. Bu durumda, mevcut her misafirden, mevcut oda numarasının iki katı olan odaya taşınmasını isteyin. Yani x odasında kalan bir misafir 2x odasına taşınsın. Bu durumda geriye kalan tüm tek numaralı odalar sizin yeni misafirlerinizi ağırlamaya yetecektir.

Hilbert Sonsuzluk Otelinde Neler Oluyor?

Burada gördüğümüz şey, bazıları diğerlerinin altkümeleri gibi görünse bile, bir anlamda tüm ‘sayılabilecek’ sonsuz kümelerin eşdeğer olduğudur. Peki şimdi işleri biraz karıştıralım. Her biri sonsuz sayıda yeni misafir taşıyan sonsuz sayıda otobüs geldiğini varsayalım. Kolaylık olması açısından, otobüslere 1, 2, 3 biçiminde bir numara verelim. Her bir otobüsteki koltukları da 1, 2, 3 olarak numaralandıralım. Bu durumda ne yapabiliriz? Sonuçta artık elimizde uğraşmak zorunda olduğumuz iki tane sonsuz durum var.

Az önce yaptığımız gibi, mevcut her misafirden, mevcut odasının iki katı olan odaya taşınmasını isteyerek işe başlarsınız. Bu sayede de tek numaralı odalar boşa çıkmış olacaktır. Şimdi, 1. otobüsün, 1 numaralı yolcusuna 3. odaya geçmesini söyleyin. Aynı biçimde, 1. otobüsün 2. koltuğunda oturan kişi de 32 = 9 numaralı odaya, 1. otobüsün 3. koltuğundaki kişi 33 = 27 numaralı odaya geçsin. Bu sayede birinci otobüsteki herkes bir odaya yerleşmiş oldu.

Hilbert’in sonsuz odalı otelinde herkes için bir yer vardır.

Peki, ikinci otobüs ne olacak? Aslında dert değil. Yukarıda aktardığımız gibi çalışmaya devam edelim. 2. otobüsün 1 numaralı yolcusuna 5. odaya geçmesini söyleyin. Aynı biçimde, 2. otobüsün 2. koltuğunda oturan kişi de 52 = 25 numaralı odaya, 1. otobüsün 3. koltuğundaki kişi 53 = 125 numaralı odaya geçsin. Peki, üçüncü otobüs ne olacak. Dikkat etmiş olacağınız gibi 3 ve 5 ardışık asal sayılardır. Sıradaki asal sayı ise 7’dir. Bir sonraki asal sayı ise 11. Bu sayede aynı biçimde tüm yolcuları bir odaya yerleştirmeniz mümkün olacaktır.

Sonsuz Otelde Her Zaman Boş Bir Oda Olacağı Kesin mi?

Yukarıda aktardığımız biçimde misafirlerinizi yerleştirirken aklınıza şu soru gelebilir. Acaba bu asal sayıların kuvvetlerini içeren odalar her zaman boş mudur? Cevap Evet. Sonuçta yeni konukların tüm oda numaraları asal sayıların kuvvetleridir. Aritmetiğin temel teoremi olarak bilinen, her tam sayının benzersiz bir şekilde asal sayıların çarpımı olarak yazılabileceğini söyleyen güzel bir sonuç vardır. Bu, eğer oda numarası x bir asalın kuvvetiyse, o zaman başka bir asalın kuvveti olamaz der. Bu yüzden konuklarınızın birbiri ile çakışmayacağından emin olabilirsiniz.

İşi bir seviye daha öteye taşıyalım. Her biri sonsuz sayıda yolcu taşıyan, sonsuz sayıda otobüsü taşıyan sonsuz sayıda yolcu gemisinin limana yanaştığını düşünün. Artık her misafir, kendisine bağlı üç numara ile temsil edilmeli. Gemilerinin numarası, otobüslerin numarası ve otobüsteki koltuk numarası. Örnek olarak bu durumda 1 numaralı gemideki, 1 numaralı otobüste bulunan 2 numaralı koltukta oturan yolcu (33 )2 = 3 9 = 19683 numaralı odaya yerleşmelidir. Bu oda kesinlikle boş olacaktır. Kısacası teoride bu sonsuz otelde konukları her şekilde ağırlamak mümkündür.

Şimdiye kadar, üç ayrı sonsuzluk ile aynı anda baş edebileceğimizi gördük. Daha da ileri gidebilir miyiz? Cevap Evet. Ancak yapamayacağımız şey, sonsuz sayıda sonsuz yolcu ile baş etmektir. Neyse ki bunun olması asla mümkün değildir. Hilbert’in böyle bir paradoks sunmasının ana nedeni, bizim sonsuz anlayışımızda bir sıkıntı olmasıdır. Bir çoğumuz sonsuzluktan bahsederken sadece büyük sayıları düşünürüz. Ancak sonsuzluk bundan çok daha fazlasıdır. Bu nedenle sonsuz kelimesini kullanırken dikkatli olmak gerekmektedir.


Göz atmak isterseniz:


Kaynaklar ve ileri okumalar için:

Matematiksel

Sibel Çağlar

Merhabalar. Matematik öğretmeni olarak başladığım hayatıma 2016 yılında kurduğum matematiksel.org web sitesinde içerikler üreterek devam ediyorum. Matematiğin aydınlık yüzünü paylaşıyorum. Amacım matematiğin hayattan kopuk olmadığını kanıtlamaktı. Devamında ekip arkadaşlarımın da dahil olması ile kocaman bir aile olduk. Amacımıza da kısmen ulaştık. Yolumuz daha uzun ama kesinlikle çok keyifli.
Başa dön tuşu