Sorular ve Bulmacalar

Hesap Makinesinden Hızlı Toplama Yaparak Arkadaşlarınızı Şaşırtın!

Bir arkadaş ortamında hesap makinesinden daha hızlı toplama işlemi yaparak çevrenizdekileri şaşırtmak ister misiniz? Tahminimiz istersiniz. Bu nedenle size hızlı işlem yapabileceğiniz bir numara gösterelim. Bunun için bir kağıt kalem ve de bir arkadaşa ihtiyacınız olacak. Hazırsanız başlıyoruz.

Kağıda 10 satır çizin ve satırları 1’den 10’a kadar numaralandırın. Arkadaşınızdan aklından 1 ile 20 arasında iki pozitif tamsayı düşünmesini isteyin. Daha sonra düşündüğü bu sayıları kağıtta 1 ve 2 numaranın karşısına yazsın. Ardından arkadaşınızın basit bir kaç toplama işlemi yapması gerekiyor. 1 ve 2. satırı toplayıp, toplamı 3. satıra; 2 ve 3. satırı toplayıp toplamı 4. satıra yazacak. Bu biçimde en son 8. ve 9. satırı toplayıp toplamı 10. satıra yazarak kağıdı dolduracak. Örnek bir kağıdı aşağıda görebilirsiniz. Tabi ki o bu işlemleri yaparken siz hiçbir biçimde kağıdı görmeyeceksiniz.

Solda satır numaraları, sağda ise toplanması gereken sayılar var. İlk iki satırdaki sayı rastgele seçildi.

İşlem işi tamamlandıktan sonra arkadaşınızdan kağıdı size göstermesini isteyin ve kağıda bakar bakmaz yazılı olan tüm sayıların toplamını söyleyin. Örneğin yukarıdaki örnek kağıdımızda yazılı olan tüm sayıların toplamı 671’dir. Bu cevabı bulmak için de sayıları toplamanıza gerek yoktur. Arkadaşınızı daha da şaşırtmak isterseniz, ondan 10. satırdaki sayıyı bir hesap makinesi yardımı ile 9. satıra bölmesini ve bölümün ilk üç basamağını bir yere not etmesini de isteyin. Siz de cevabı başka bir kağıda yazıp kapatın. Yapacağı bölme 257/159 olacaktır. Bu bölümün ilk üç basamağı ise 1,61 dir ve bu elbette sizin yazdığınız sayı ile aynı olacaktır.

Tüm Bunlar Nasıl Gerçekleşti

Hızlı toplama işlemini gerçekleştirmek için 7. satırdaki sayıyı 11 sayısı ile çarpmanız yeterlidir. Burada 61 x11 = 671 yapar. ( 11 ile hızlı çarpma işlemi yapmak için 1. ve 2. rakamın toplamını ortaya yazabilirsiniz.) Bunun neden işe yaradığını anlamak için aşağıdaki tabloyu incelemeniz gerekir. Tabloda 1. ve 2. satırdaki sayılar sırasıyla x ve y ile gösterilmiştir.

Tabloda da fark etmiş olacağınız gibi toplamımız 55x+88y biçimindedir. Bu ise 7. satırdaki toplamın yani 5x+8y’nin tam olarak 11 katıdır. Bu nedenle bu satırdaki sayıyı 11 ile çarpmak bize her zaman genel toplamı verecektir. Şimdi gelelim ikinci tahmini nasıl yaptığımızı anlama kısmına.

Bunun için de a, b, c, d biçiminde pozitif sayıları a/b < c/d biçiminde yazdığımızı düşünelim. Şimdi kötü bir kesir toplaması yapalım. Yani pay ile payı, payda ile de paydayı toplayalım. Elde ettiğimiz bu yeni kesir her zaman ilk iki kesrin arasında bir yerlerde olacaktır. (İnanmayanlar deneme yapabilirler.) Bu durumda 10. satırdaki sayıyı 9. satırdaki sayıya böldüğümüz zaman aslında sonucumuz aşağıdaki gibi olacaktır. Bu nedenle, bölüm tahmin edildiği gibi 1.61 rakamlarıyla başlamalıdır.

Aslında, yukarıdaki hızlı toplama oyununu daha uzun süre devam ederseniz, ardışık terimlerin oranı hepimizin altın oran olarak tanıdığı sayıya giderek yaklaşacaktır. ( Konu hakkında ön bilgili okurlar muhtemelen toplama işlemi esnasında Fibonacci sayıları ile uğraştıklarını zaten fark etmişlerdir). Altın oranın ne olduğunu unutanlar için de küçük bir hatırlatma yapalım, aşağıda karşılığını paylaşalım. Matematik eğlencelidir, bunu da unutmayalım.


Göz atmak isterseniz


Kaynak: Arthur Benjamin and Michael Shermer; The Mathemagician’s Guide to Lightning Calculation and Amazing Math Tricks; eISBN: 978-0-307-34746-6


Dip Not:

Matematiksel, 2015 yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım

Matematiksel

Sibel Çağlar

Merhabalar. Matematik öğretmeni olarak başladığım hayatıma 2016 yılında kurduğum matematiksel.org web sitesinde içerikler üreterek devam ediyorum. Matematiğin aydınlık yüzünü paylaşıyorum. Amacım matematiğin hayattan kopuk olmadığını kanıtlamaktı. Devamında ekip arkadaşlarımın da dahil olması ile kocaman bir aile olduk. Amacımıza da kısmen ulaştık. Yolumuz daha uzun ama kesinlikle çok keyifli.
Başa dön tuşu