Bu yazıya küçük bir uyarıyla başlayalım: Bu matematik problemini çözmeye kalkışmayın. Ancak yine de insanın eli gidecektir. Çünkü problem çok basit görünür. Oysa ki Collatz Problemi, diğer adıyla 3n+1 Problemi, matematikçileri onlarca yıldır meşgul eden çözülmesi zor bir muammadır.
Collatz Problemi Nedir?
Bir sayı seçiyorsunuz. Sayı çiftse ikiye bölüyorsunuz. Tekse üçle çarpıp 1 ekliyorsunuz. Sonra çıkan sayıya aynı işlemi uyguluyorsunuz. Böyle devam edince, er ya da geç aynı küçük döngüye düşüyorsunuz. En azından bugüne kadar görünen bu.
Mesela 10’dan başlayalım. 10 çift, yarısı 5. 5 tek, üç katına 1 ekleyince 16 ediyor. 16’dan sonra 8, 4, 2 ve 1 geliyor. 1’e gelince işlem bizi yeniden 4’e götürüyor. Sonrası hep aynı: 4, 2, 1, 4…
11’de de durum değişmiyor. 11 tek olduğu için üçle çarpıp 1 ekliyoruz; 34 çıkıyor. 34’ün yarısı 17. 17’den 52’ye, oradan 26’ya, sonra 13’e geçiyoruz. 13 bizi 40’a götürüyor. Ardından 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2 ve 1 geliyor. Yani yine aynı döngüye giriyoruz.
Collatz varsayımı da tam olarak bunu söylüyor: Hangi pozitif tam sayıyla başlarsanız başlayın, sonunda bu döngüye ulaşırsınız. Problem bu kadar sade olunca insan “bir deneyeyim” demeden duramıyor. Belki de bu yüzden, bu problemle hiç oyalanmamış bir matematikçi bulmak zordur.
Okuldan parçalı tanımlı fonksiyonları hatırlıyor olabilirsiniz. Bu fonksiyon da aynı mantıkla çalışır. Girdi olarak aldığı sayının tek ya da çift olmasına göre iki kuraldan birini uygular. Az önce anlattığımızız işlem dizisini matematiksel olarak ifade eden de bu fonksiyondur. Collatz varsayımı, bu fonksiyonun oluşturduğu yörüngeleri inceler.
İlginin nedeni yalnızca problemin sade yapısı değildir. Collatz varsayımı, matematiğin başka alanlarıyla da bağlantı kurar. Yinelemeli fonksiyonlar dinamik sistemlerde, örneğin gezegenlerin yörüngelerini açıklayan modellerde karşımıza çıkar. Varsayım ayrıca sayı kuramının en eski ve önemli problemlerinden biri olan Riemann varsayımıyla da ilişkilidir.
Collatz Problemini Çözmek Mümkün mü?
Bugüne kadar hiç kimse bu varsayımın bütün pozitif tam sayılar için geçerli olduğunu kanıtlayamadı. Buna rağmen elde güçlü kanıtlar var. Bilgisayarlarla yapılan hesaplamalar, 268 ‘den küçük tüm sayılar için Collatz varsayımının geçerli olduğunu gösteriyor.
Başka bir deyişle, yaklaşık 295 kentilyon (295.147.905.179.352.825.856) başlangıç değeri denendi ve hepsi sonunda 1’e ulaştı.
Yine de bu sonuç kesin bir kanıt değildir. Çünkü bu sınırın ötesinde farklı davranan bir sayı bulunmadığını henüz kimse gösteremedi. Bu yüzden varsayımı çürütmek isteyen birinin, 268 ‘den büyük sayıları incelemesi gerekir. Belki de bu büyük sayıların arasında bir yerde bir tane kurala uymayan sayı mevcuttur. Ancak istatistiksel açıdan da bu olasılık oldukça zayıftır.
Bunun nedeni, işlemin sayıları büyütmekten çok küçültmeye eğilimli olmasıdır. Tek bir sayı önce 3n+1 kuralıyla büyüse de ortaya çıkan sonuç her zaman çifttir. Bu yüzden bir sonraki adımda mutlaka ikiye bölünecektir.
Bazı durumlarda sayı bir kez bölündükten sonra tek olur ve işlem yeniden başlar. Bazı durumlarda ise çift kalır ve ikiye bölünmeye devam eder. Dolayısıyla birçok adımda sayı, büyümekten çok küçülür.
Matematikçi Jeffrey Lagarias, 1985’te bu süreci istatistiksel olarak inceledi. Yaptığı hesaplamalar, Collatz dizisindeki sayıların uzun vadede ortalama olarak küçülme eğilimi gösterdiğini ortaya koydu.
Lagarias’ın hesaplamasına göre sayıların büyüklüğü uzun vadede ortalama olarak her adımda yaklaşık dörtte bir azalır. Bu sonuç, dizinin sonsuza kadar büyümesinin beklenmediğini gösterir. Ancak bu yalnızca güçlü bir istatistiksel bulgudur; Collatz varsayımını kanıtlamaz.
Collatz Problemi Çözümsüz Olabilir mi?
Collatz varsayımı önümüzdeki yıllarda kanıtlanabilir ya da yanlışlanabilir. Ama üçüncü bir ihtimal daha var: Belki de mevcut matematiksel araçlarla çözülemeyen bir problemdir. John Horton Conway, 1987’de Collatz varsayımının daha genel bir biçimini inceledi ve bazı yinelemeli fonksiyonların kanıtlanamaz özellikler taşıdığını gösterdi.
Bu durum Collatz varsayımı için de geçerli olabilir. Problem dışarıdan çok basit görünür. Ama belki de bu sadeliğin arkasında, çözümsüz kalmaya mahkûm bir yapı vardır.
Collatz varsayımı uzun yıllardır matematikçilerin ilgisini çekiyor. Hatta bu problemi kanıtlayan ya da geçersiz olduğunu gösteren kişiye 120 milyon Japon yeni ödül verileceği söyleniyor. Böylesine basit kurallara sahip bir problemin onlarca yıldır çözülememiş olması, Collatz varsayımını matematiğin en ilgi çekici bilmecelerinden biri hâline getiriyor.
Yazının devamında göz atmanızı öneririz: Bugüne Kadar Çözülmüş En Zor 9 Matematik Problemi
Kaynaklar ve ileri okumalar:
- The Simple Math Problem We Still Can’t Solve. Yayınlanma tarihi: 23 Eylül 2020; Bağlantı: The Simple Math Problem We Still Can’t Solve/
- Mathematician Proves Huge Result on ‘Dangerous’ Problem; yayınlanma tarihi: 11 Aralık 2019; Bağlantı: Mathematician Proves Huge Result on ‘Dangerous’ Problem/
Matematiksel
