Basit Ama Hala Çözümsüz: 3n+1 Diğer Adıyla Collatz Problemi

İlginç bir problem ile sizi tanıştıralım. Ancak baştan uyaralım. Bu soruyu çözmeye uğraşmayınız. Başlangıçta sorunun basitliği, kolayca anlaşılabilir olması size cazip gelecektir. Hemen elinize kağıt kalem alıp denemek bile isteyebilirsiniz. Ancak hatırlatalım. Kimileri için “3n+1 problemi” kimileri için de onu gündeme taşıyan Lothar Collatz’a atfen Collatz Problemi ya da Collatz Sanısı olarak bilinen bu problem ile matematikçiler 1970 yılından beri uğraşıyorlar. Aslında tüm bu ilginin nedeni biraz da tanımlamanın ve hesaplamanın çok kolay olmasından kaynaklanmaktaydı.

Collatz Problemi Nedir?

1932’de, 20 yaşında bir Alman matematik öğrencisi olan Lothar Collatz, ilk bakışta basit bir hesaplamadan başka bir şey gibi görünmeyen bir muamma ile karşılaştı. Kural çok basitti. Herhangi bir sayı seçin. Eğer sayınız çift ise 2’ye bölün, tek ise 3 ile çarpıp 1 ekleyin. Sonra, sonucunuza yine aynı kuralı uygulayın. Bu işlemi istediğiniz kadar tekrar edin.

Göreceksiniz ki hangi sayıyla başlarsanız başlayın sayılar eninde sonunda 4, 2, 1, 4 … döngü­süyle devam edecek. Hemen şöyle bir örnekle başlayabiliriz. n=5 için 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1 şeklinde olacaktır. Benzer biçimde n=11 için, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1.

Collatz varsayımı, herhangi bir pozitif tamsayı için, her zaman bu döngüye gireceğinizi söylüyor. Muhtemelen onu çözmeye siz de çalışacaksınız. Basitliğinin cazibesine kapılmamak gerçekten zordur. Aslında bu nedenle matematik tarihinde hemen hemen her matematikçi bu soru ile uğraşmıştır.

Collatz Problemi Aslında Bir Çok Farklı isim Altında Karşımıza Çıkar

Lothar Collatz başta da dediğimiz gibi bu döngüyü ilk fark eden kişiydi. Ancak kendisi ne varsayımını kanıtlamayı ne de bir karşı örnek bulmayı yani 1 ile bitmeyen bir sayı döngüsü bulmayı başardı. Collatz hayatı boyunca bu varsayım hakkında kayda değer bir şey yayınlayamadı.

Collatz Problemi, ikinci Dünya Savaşı sırasında bir süre Polonyalı matematikçi Stanislaw Ulam tarafından ele alındı. Boş zamanlarında Ulam, varsayımı araştırdı, ancak bir kanıt bulamadı. Bu problem bir süre Ulam’ın ismi ile anıldı. Devamında Hamburg Üniversitesi’nden sayısal bir kuramcı olan Helmut Hasse bu tuhaf bulmacanın ile uğraşmaya başladı. Almanya’da ve yurtdışında konu ile ilgili konferanslar verdi. Bu konferanslar esnasında bu sayılar bir dinleyici tarafından dolu tanelerine benzetildi. Bu sebeple bir süre bu problemin adı “Dolu Tanesi Sayıları” diğer adıyla Hailstone dizisi olarak anılmaya başlandı.

Sonrasında Japon matematikçi Shizuo Kakutani konuyla ilgili konferanslar verdi. Problem bu esnada da Kakutani problemi olarak bilinmeye başlandı. Bu arada işin içine bilgisayar karıştı. Süper bilgisayarların yardımıyla 27 katrilyona kadar olan tüm sayılar test edildi ancak yine de bir kural bulunamadı.

Yukarıdaki isim karmaşasını ve bu soruyu çözmek için emek veren onca matematikçiyi gördükten sonra elbette size bu problemin çözümünü vermemiz mümkün değil. Ancak çözüm denemesi için bir düşünce modeli oluşturabilirsiniz.

Collatz Problemini Çözmek Mümkün mü?

Yapılması gereken sırasıyla bütün başlangıç sayılarını düşünmek yerine uygun bir model oluşturmaktır. Ancak sorun karşımızda bazen bir düzen, bazen de bir düzensizliğin var olmasıdır. Kesinlikle rast­gele değildir; ama kalıp olarak yazılması da mümkün değildir. İlk 50 sayı içerisinde 1 sayısına geri dönmek için en uzun yol alan sayı 27’dir. Tam 112 adım. Şekilde görüldüğü gibi, 67. adımda 7288, 77. adımda 9232 yüksekliğine çıkar ama sonra birden çöküşe geçer ve bir kaç çırpınışın ardından 1 sayısına geri döner.

Collatz Problemi

Bu sayılar arasında bir kaç rekortmen sayı da vardır. Mesela 703 başlangıç sayısı olarak alınırsa, dizi 170 adım sürer ve zirveye 250 504 sayısında zirve yapar. Bir diğer rekortmen ise 26 623 başlangıç sayısıdır. Bu sayıda tam 307 adım sürer ve zirveye 10 358 020 sayısında ulaşır.

Collatz Problemi
Eğer ilk yüz başlangıç sayısı için bütün dizi uzunlukları ve zirve yüksekliklerini içeren bir liste yapılırsa ilginç bir dağılım elde edilir. Kesinlikle rastgele olmayan ama anlaşılması da kolay olmayan bir dağılımdır bu.

Bir hesap makinesi desteği ile 1 den 100’e kadar olanları sizde listeleyerek bu ilginç dağılımları görebilirsiniz. Çok fazla sürer diye düşünmeyin. Örneğin 7 sayısını ele alalım. 7,22,11,34,17,52,26,13,40,20,10,16,8,4,2,1….

Bu dizi bize sadece uzunluğun 16 ve zirve değerinin 52 olduğunu söylemiyor. Aynı zamanda 22 olan ikinci sayı içinde uzunluğun 16, zirve değerinin 52 olduğunu, üçüncü olan 11 içinde uzunluğun 14 zirve değerinin 52 olduğunu söylüyor. Bu biçimde düşünürsek zaten bir tek sayı bize 16 tane sayı hakkında zaten bilgi vermekte…

Paul Erdös bu sayılar ile ilgili yorumunda, “Matematik henüz böyle problemlere hazır değil”demiştir. Bu arada yine de matematikçiler bu sözleri pek de dikkate alıyor gibi gözükmüyor. 2019’da dünyanın yaşayan en büyük matematikçilerinden biri olan Terence Tao problemim çözümü için önemli bir atılım yaptı. Bu sayede Collatz varsayımı “neredeyse” tüm sayılar için “neredeyse” doğru olarak tanımlanıyor. Dikkat etmiş olacağınız gibi varsayımın tam bir kanıtını sunamasa da bu bir ilerlemeydi. Sonucunda Collatz problemi hala çözümsüz. Şimdiden deneyenlere sabırlar dileriz…


BUNLARA DA GÖZ ATABİLİRSİNİZ


Kaynaklar ve ileri okumalar:

  • George G. Szpiro; 50 easy pieces on how mathematicians work and think; ISBN 0-309-09658-8
  • The Simple Math Problem We Still Can’t Solve; yayınlanma tarihi: 23 Eylül 2020; Bağlantı: https://www.quantamagazine.org/
  • Mathematician Proves Huge Result on ‘Dangerous’ Problem; yayınlanma tarihi:11 Aralık 2019; Bağlantı: https://www.quantamagazine.org/

Dip Not

Matematiksel, 2015 yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konularda ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.

Sibel Çağlar

Merhabalar. Matematik öğretmeni olarak başladığım hayatıma 2016 yılında kurduğum matematiksel.org web sitesinde içerikler üreterek devam ediyorum. Matematiğin aydınlık yüzünü paylaşıyorum. Amacım matematiğin hayattan kopuk olmadığını kanıtlamaktı. Devamında ekip arkadaşlarımın da dahil olması ile kocaman bir aile olduk. Amacımıza da kısmen ulaştık. Yolumuz daha uzun ama kesinlikle çok keyifli.
Başa dön tuşu