Sayılar Teorisi

Catalan Varsayımı ve 158 Yıl Sonra Gelen Çözümü

Sayılar teorisindeki problemler ilk başta oldukça masum ve kolay gözükür. Örneğin ortaokul seviyesine gelmiş her çocuk 32‘ – 23 ifadesinin sonucunun 1 olduğunu bilir. Peki, böylesine basit ve masum bir işlem hakkında yüzlerce yıl akılları karıştıracak bir denklem formüle etmek mümkün müdür? Görünüşe göre, evet. 1844’te matematik dergisi Crelle’s Journal, Belçikalı matematikçi Eugène Charles Catalan tarafından bir ortaya atılan bir soruyu yayınladı. Bu soru Catalan Varsayımı olarak bilinir.

Soru; 2 ve 3 sayılarını hesaba katmadan xu – yv = 1 denklemine bir çözüm sağlayan x, y, u ve v tam sayılarının ( bu sayılar 1’den büyük olmalıdır) olup olmadığı idi. Catalan, bunun olmadığını ancak buna kanıt sağlayamayacağını öne sürdü. Adı her ne kadar varsayım olsa da aslında yaklaşık 20 sene önce de ispatı yapılabildi. Bu ispatın detayına geçmeden önce Catalan varsayımını daha detaylı anlamaya çalışalım.

Öncelikle 1 den 100’e kadar üslü olarak ifade edilebilen sayıları düşünelim. 1, 4, 8, 9, 16, 25, 32, 36, 49, 64, 81, 100. Bu sayıları istersek 1, 22, 23, 32, 24, 52, 32, 62, 72, 26, 34, 102 biçiminde yazabiliriz. Ayrıca örneğin 16 sayısında olduğu gibi 24, 42 örneğinde olduğu gibi farklı biçimlerde de gösterebiliriz. Catalan varsayımı bu biçimde yazılabilen 2 ve 3 hariç başka ardışık sayı var mıdır diye sorar. Bu soru, son derece basit bir görünüme sahip olsa da çözümü de bir o kadar zordur. Bu nedenle uzun süre matematikçiler tarafından soruya bir cevap verilemedi. Ve olası bir cevap için 158 yıl beklenmesi gerekecekti.

Catalan Varsayımı Çözümü

Aslında Catalan’dan 500 yıl önce, Levi Ben Gerson, bu sorunun bir varyantından bahsetmişti. Dört yüzyıl sonra Leonhad Euler, formüldeki üslerin (u ve v) 2 ve 3 tamsayılarıyla sınırlı olması gerektiğini gösterdi. Ve sonra, 1976’ya kadar her şey sessizleşti. 1976’da ise Hollanda’daki Leiden Üniversitesi’nden Robert Tijdeman, ancak sınırlı sayıda çözüm olabileceğini kanıtladı ve üst sınırın 10110 olması gerektiği söyledi. 10110 akıl almaz büyüklükte bir sayıdır ve hala çözümden çok uzaktık.

O andan itibaren mesele, bu üst limiti üzerinde çalışılabilir bir sayıya indirgemek olmuştu. Fransa Louis Pasteur Üniversitesi’nden Maurice Mignotte çıtayı ilk düşüren kişi oldu. 1999’da, Catalan varsayımı için denenecek sayı aralığının 107‘den çok ve 1016‘dan az olması gerektiğini gösterdi. Aralık daralsa da bilgisayar destekli bir çözüm için bile hala denenmesi gereken çok çözüm vardı.

2002 yılında Almanya’daki Paderborn Üniversitesi’nden matematikçi Preda Mihailescu, bu varsayımın anahtarını buldu. Katalan denklemindeki üsler, Wieferich çiftleri olmalıydı. Hemen aklına yaratıcı bir çözüm geldi. İnternet kullanıcılarının Wieferich çiftlerini arayabileceği ve onları Katalan denkleminde test edebileceği bir proje başlatıldı. Ancak arama çok yavaş ilerledi. 2001’de proje iptal edildi. Bu zamana kadar alt sınır 108‘e yükseltilmişti.

Mihailescu’nun aklına ikinci bir fikir geldi. Alman matematikçi Eduard Kummer (1810-1893) tarafından Fermat’ın varsayımını ispatlamak için geliştirilen ve “siklotomik alanlar teorisi” adı verilen bir konuyu hatırladı. Böylece, bir asır sonra Mihailescu, Catalan Varsayımını çözmek için son hamleyi yaptı. Kummer’in çalışması aracılığı ile varsayımı kanıtladı. Mihăilescu’nun kanıtı 2004 yılında Crelle’s Journal’da yayınlandı. Eugène Charles Catalan haklıydı 🙂 İspat ve detay oldukça karmaşık olduğu için yazımızda yer vermeyeceğiz. Ancak konu ilginizi çektiyse aşağıdaki video ve yapacağınız ve kaynak makaleye göz atabilirsiniz.

Göz Atmak İsterseniz

Matematiksel

Sibel Çağlar

7 yıl Kadıköy Anadolu Lisesinin devamında lisans eğitimimi Marmara Üniversitesi İng. Matematik öğretmenliği üzerine tamamladım. Devamında 20 yıl çeşitli özel eğitim kurumlarında matematik öğretmenliği ve eğitim koordinatörlüğü yaptım. 2015 yılında matematiksel.org web sitesini kurdum. Amacım bilime ilgiyi arttırmak, bilimin özellikle matematiğin zihin açıcı yönünü açığa koymaktı. Yolumuz daha uzun ve zorlu ancak en azından deniyoruz.

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak.