Catalan Varsayımı ve 158 Yıl Sonra Gelen Çözümü

Sayılar teorisindeki problemler ilk başta oldukça masum ve kolay gözükür. Örneğin ortaokul seviyesine gelmiş her çocuk 32‘ – 23 ifadesinin sonucunun 1 olduğunu bilir. Peki, böylesine basit ve masum bir işlem hakkında yüzlerce yıl akılları karıştıracak bir denklem formüle etmek mümkün müdür? Görünüşe göre, evet. 1844’te matematik dergisi Crelle’s Journal, Belçikalı matematikçi Eugène Charles Catalan tarafından bir ortaya atılan bir soruyu yayınladı. Bu soru Catalan Varsayımı olarak bilinmeye başladı.

Soru; 2 ve 3 sayılarını hesaba katmadan xu – yv = 1 denklemine bir çözüm sağlayan x, y, u ve v tam sayılarının ( bu sayılar 1’den büyük olmalıdır) olup olmadığı idi. Catalan, bunun olmadığını ancak buna kanıt sağlayamayacağını öne sürdü. Adı varsayım olsa da aslında yaklaşık 20 sene önce de ispatı yapıldı. Bu ispatın detayına geçmeden önce Catalan varsayımını daha detaylı anlamaya çalışalım.

Öncelikle 1 den 100’e kadar üslü olarak ifade edilebilen sayıları düşünelim. 1, 4, 8, 9, 16, 25, 32, 36, 49, 64, 81, 100. Bu sayıları istersek 1, 22, 23, 32, 24, 52, 32, 62, 72, 26, 34, 102 biçiminde yazabiliriz. Ayrıca örneğin 16 sayısında olduğu gibi 24, 42 örneğinde olduğu gibi farklı biçimlerde de gösterebiliriz. Catalan varsayımı bu biçimde yazılabilen 2 ve 3 hariç başka ardışık sayı var mıdır diye sorar. Bu soru, son derece basit bir görünüme sahip olsa da çözümü de bir o kadar zordur. Bu nedenle uzun süre matematikçiler tarafından soruya bir cevap verilemedi. Ve olası bir cevap için 158 yıl beklenmesi gerekecekti.

Catalan Varsayımı Çözümü

Aslında Catalan’dan 500 yıl önce, Levi Ben Gerson, bu sorunun bir varyantından bahsetmişti. Dört yüzyıl sonra Leonhad Euler, formüldeki üslerin (u ve v) 2 ve 3 tamsayılarıyla sınırlı olması gerektiğini göstermişti. Ve sonra, 1976’ya kadar her şey sessizleşti. 1976’da ise Hollanda’daki Leiden Üniversitesi’nden Robert Tijdeman, ancak sınırlı sayıda çözüm olabileceğini kanıtladı. Sonrasında da üst sınırın 10110 olması gerektiği söyledi. Sonucunda 10110 akıl almaz büyüklükte bir sayıdır ve hala çözümden çok uzaktık.

O andan itibaren mesele, bu üst limiti üzerinde çalışması mümkün bir sayıya indirgemek olmuştu. Fransa Louis Pasteur Üniversitesi’nden Maurice Mignotte çıtayı ilk düşüren kişi oldu. 1999’da, Catalan varsayımı için denenecek sayı aralığının 107‘den çok ve 1016‘dan az olması gerektiğini gösterdi. Aralık daralsa da bilgisayar destekli bir çözüm için bile hala denenmesi gereken çok çözüm vardı.

2002 yılında matematikçi Preda Mihailescu’nun aklına bir fikir geldi. Alman matematikçi Eduard Kummer (1810-1893) tarafından Fermat’ın varsayımını ispatlamak için geliştirilen ve “siklotomik alanlar teorisi” adı verilen bir konuyu hatırladı. Böylece, bir asır sonra Mihailescu, Catalan Varsayımını çözmek için son hamleyi yaptı. Kummer’in çalışması aracılığı ile varsayımı kanıtladı. Mihăilescu’nun kanıtı 2004 yılında Crelle’s Journal’da yayınlandı. Eugène Charles Catalan haklıydı :) (İspat ve detay oldukça karmaşık olduğu için yazımızda yer vermeyeceğiz ancak kaynaklarımızdan erişebilirsiniz)


Göz Atmak İsterseniz


Kaynaklar ve ileri okumalar:

  • Catalan’s Conjecture; BULLETIN (New Series) OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY Volume 41, Number 1, Pages 43–57; S 0273-0979(03)00993-5; https://www.ams.org/j
  • George G. Szpiro; The Secret Life of Numbers: 50 Easy Pieces on How Mathematicians Work and Think; ISBN: 0-309-65958-2,
  • Catalan’s Conjecture – Numberphile; yayınlanma tarihi: 14 şubat 2018; Bağlantı: https://www.youtube.com/watch?v=Us-__MukH9I

Dip Not:

Matematiksel, 2015 yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım

Matematiksel


Sibel Çağlar

Merhabalar. Matematik öğretmeni olarak başladığım hayatıma 2016 yılında kurduğum matematiksel.org web sitesinde içerikler üreterek devam ediyorum. Matematiğin aydınlık yüzünü paylaşıyorum. Amacım matematiğin hayattan kopuk olmadığını kanıtlamaktı. Devamında ekip arkadaşlarımın da dahil olması ile kocaman bir aile olduk. Amacımıza da kısmen ulaştık. Yolumuz daha uzun ama kesinlikle çok keyifli.
Başa dön tuşu