Matematik, bilgisayar bilimi, felsefe ve dil bilimini birleştirdiğinizde ne elde edersiniz? Cevap matematiksel mantık olacaktır. Peki ama matematiksel mantık nedir ve daha da önemlisi neden okullarda hala öğretilmektedir?
Matematiksel mantığın amacı insanın konuşma dilini ve düşünme sürecini matematikle ilişkilendirmektir. Günümüzde mantık kelimesini muhakeme becerisi olarak düşünsek de aslında matematiksel mantık, bundan çok daha fazlasıdır.
Mantığın konusu akıl yürütme dediğimiz düşünme biçimidir. Bildiğiniz gibi, hayal kurmak ve plan yapmak gibi diğer düşünme türleri de vardır ancak bu düşünme türleri, mantığın doğrudan konusunu oluşturmazlar.
Akıl yürütmek, birtakım doğrulardan veya kabullerden hareket ederek, bir sonuca varmak demektir. Bu nedenle de mantığın birinci amacı düzgün akıl yürütme biçimlerini belirlemektir. Yani birine “mantıklı düşün” dediğimiz zaman temelinde mantığın ortaya koyduğu düzgün akıl yürütme biçimlerine uygun olarak düşünmesini söylemiş oluruz.
Matematiksel mantık, biçimsel mantığın matematiğe uygulamalarını araştıran matematiğin bir alt alanıdır. Konu olarak matematiğin temelleriyle ve teorik bilgisayar bilimiyle yakın bağlantılar taşır. Matematiksel mantık genellikle küme teorisi, model teorisi, yineleme teorisi ve ispat teorisi alanlarına ayrılmıştır.
Matematiksel mantık nerede ve ne zaman ortaya çıktı?
Mantık alanındaki ilk düşünürlerden biri Aristoteles’tir. Bu nedenle de kendisi mantık biliminin kurucusu olarak da bilinmektedir. Mantıksal argümanlarda kullanılabilecek farklı önerme türlerini ve mantıklı bir sonuca ulaşmak için bunların nasıl birleştirilebileceğini belirleyen ilk kişi odur.
İslam dünyasında mantık çalışmaları Aristoteles’in eserlerinin Arapçaya çevrilmesi ile başlamıştır.
Farabi, İbni Sinâ, Fahrettin Razî ve Seyit Şerif Cürcani ünlü İslam mantıkçıları arasında kabul edilmektedir. Rönesans’a kadar Aristoteles mantığı Avrupa’da egemenliğini devam ettirmiştir. Rönesans’tan sonra, doğa bilimlerinde görülen gelişmeler Aristoteles mantığının yöntem olarak yetersizliğini ortaya çıkarmıştır.
19. yüzyılın ikinci yarısında sembolik mantık alanında gelişmeler başlamıştır. Modern mantık alışık olmadığımız bu yüzden bize garip gelen birtakım özel sembolleri çokça kullandığı için, “sembolik” veya “matematiksel” diye nitelendirilmiştir. Gottfried Leibniz, mantık için bugün kullandığımıza benzer sembolik dili kullanan ilk matematikçilerden biridir.
Tüm gelişmelere rağmen, başlangıçta matematiksel mantık Aristoteles’in mantığına oldukça benziyordu. Kelimeler yerine sadece semboller kullanıyordu. Her ne kadar matematikçiler çoğunlukla bu yeni fikrin güçlü ve etkili olduğu konusunda hemfikir olsalar da, sembollerin yeni dili üzerinde anlaşmaya varmakta zorluk yaşadılar. George Boole 1800’lerde Boole mantığını icat edene kadar matematikçiler evrensel bir mantık dili üzerinde anlaşamadılar. Boole mantığı yalnızca bir ve sıfır ile ilgilenmektedir. Bir, “doğru”, sıfır ise “yanlış” anlamına gelir.
Boole cebiri günümüzde olasılıklar kuramı, kümeler ve bilişim için son derecede değerlidir. Ayrıca, elektronik sayısal bilgisayarlarda kullanılan devrelerin tasarımı için gerekli olan temeli oluşturmaktadır. Sizin de tahmin edebileceğiniz gibi bilgisayar çağını başlatan da Boole cebiri olmuştur.
Matematiksel Mantık İle İlgili Bilinmesi Gereken Temel Kavramlar
Akıl yürütmenin doğrulardan ya da kabullerden hareket ederek sonuç çıkarmak olduğunu söylemiştik. Ancak neler için “doğru” ya da “yanlış” diyebiliriz? Mantıkta “doğru” ve “yanlış” değerleri “doğruluk değerleri” olarak, doğruluk değeri alan şeyler ise “önerme” olarak adlandırılır.
Önermenin bildirdiği yargı gerçeklikle uyuşuyorsa önerme doğru, aksi takdirde önerme yanlıştır. Bir önerme hem doğru hem de yanlış olamaz. Ayrıca bir bilgi vermeyen, bir hüküm bildirmeyen ifadeler önerme değildir.
Bir veya daha fazla sayıda önermeden hareketle bir başka önermeye ulaşmak bir çıkarımda bulunmaktır. Bir çıkarımda bulunduğumuzda ulaştığımız önerme sonuç önermesi, sonuç önermesine ulaşmak için başlangıç noktası olarak aldığımız önermeler öncül önermedir.
Çıkarımlar akıl yürütme biçimlerine göre değerlendirilir. Hangi akıl yürütme biçimine başvuracağımız ise koşullara bağlı olarak değişir. Tümdengelimli ya da tümevarımlı akıl yürütme yöntemleri kullanılabilir. Akıl yürütme her zaman bir dil aracılığı ile gerçekleşir. Bu nedenle akıl yürütürken hangi dili kullandığımız önemlidir. Gündelik düşünme bakımından gündelik dil yeterlidir.
Biz akıl yürütmelerimizi Türkçe ifade ederiz. Ancak bilimsel akıl yürütme söz konusu olduğunda, gündelik dilin yetersiz kaldığı görülür. Gündelik dilde ifade edilmiş bir önermeyi sembolik bir dilde ifade ederek bu sorunu çözeriz. Sembolik bir dil ile başka bir önermeden türetilmemiş olan önermeler basit önermelerdir. Basit önermeler “değil” ve “ve” ya da “veya” gibi ifadelerle birleştirilerek bileşik önermeler elde edilir.
Mantık soruları iki şekilde çözülebilir: Cebirsel yolla ve Doğruluk Tablosu yaparak. Tercih edilen yöntem cebirsel yoldur ama bu yolla her soruyu çözemeyebiliriz. Bu nedenle de doğruluk tablosu yapmamız gerekecektir. Doğruluk tabloları, VE, VEYA ve DEĞİL’e dayalı olarak iki mantıksal koşulu nasıl birleştirdiğimizi özetler.
Matematik İle Mantık Arasındaki Çizgi Belirsizdir
Matematiksel dünya, gerçek dünyada var olan belirsizlikleri ortadan kaldırmak için özel olarak kurulmuştur. Dünya gerçekte belirsizlikler üzerine kurulu olduğu için, gerçek hayatta anlaşmazlıkların bir kısmı kaçınılmazdır. Ancak mantık kullanarak bazı anlaşmazlıkları ortadan kaldırabiliriz. Russell, Matematiksel Felsefeye Giriş isimli kitabında düşüncelerini şöyle vurgulamaktadır.
“Matematik ve mantık, tarihin penceresinden baktığımızda, birbirinden tamamen ayrı disiplinler olmuştur. Matematik bilimle, mantık ise Yunanca ile bağdaştırılmıştır. Ama son zamanlarda her ikisi de gelişmiştir; mantık daha matematikselleşmiş ve matematik ise daha mantıksal bir hal almıştır. Sonuçta, ikisi arasına bir çizgi çekmek artık tamamen imkansız hale gelmiştir; hatta ikisi bir olmuştur.”
Okuduğunuz bu yazı sadece matematiksel mantığa giriş niteliğindedir. Konunun devamında bu yazımıza göz atabilir (Matematikte Akıl Yürütme ve Sezgilerimiz Bizi Yanıltabilir!) ya da Mantık Sorularını Çözerken Doğruluk Tablosu Yapmanın Kısa Yolu başlıklı yazıdan konuya devam edebilirsiniz.
Kaynaklar ve ileri okumalar:
- How Abstract Mathematical Logic Can Help Us in Real Life; Bağlantı: https://lithub.com
- Mathematical logic; https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_logic
Size Bir Mesajımız Var!
Matematiksel, 2015 yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak veya Patreon üzerinden ufak bir bağış yaparak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.
Matematiksel
