Matematiksel Mantık Nedir ve Neden Öğrenilmelidir?

Matematik ve mantık, tarihsel olarak, birbirinden bağımsız disiplinler olarak ortaya çıkmıştır. Zamanla mantık daha matematiksel ve matematik daha mantıksal hale gelmiştir. Sonuçta artık ikisini de birbirinden ayırmak neredeyse imkansızdır.

Mantık, mekanik bir akıl yürütme sistemidir. Kararların ve sonuçların bir sembolik bir dizi ifadeden türetildiği veya çıkarıldığı bir kurallar dizisidir. Mantıkta önemli olan anlam değildir; bunun yerine, argümanı oluşturan akıl yürütme adımlarının birbirini takip edip etmediğidir. Günümüzde mantık kelimesini muhakeme becerisi olarak düşünsek de aslında matematiksel mantık, matematiğin en eski ve en temel dallarından biridir ve genellikle matematik ile felsefe arasındaki sınırları bulanıklaştırır.

Matematiksel mantık ve muhakeme binlerce yıl öncesine, eski Mısırlı mimarlara ve Babilli astronomlara kadar uzanır. Mantıksal düşünme Hindistan ve Çin’de de bağımsız olarak gelişmiştir. Yüzyıllar sonra, çeşitli Yunan matematikçi ve filozoflar gerçeğin doğasını tartışmaya başladılar. Antik Yunanistan’da matematik ve felsefe arasında net bir ayrım yoktu. Filozoflar için önemli bir ilke, fikirlerin mantıksal bir ilerlemesini izleyen ikna edici argümanların formüle edilmesiydi. İlke, tutarsızlıkları ve çelişkileri ortaya çıkarmak için Sokrates’in varsayımları sorgulama diyalektik yöntemine dayanıyordu.

Ancak Aristoteles bu modeli tamamen tatmin edici bulmadı ve bu nedenle mantıksal argüman için sistematik bir yapı belirlemeye başladı. Mantıksal argümanlarda kullanılabilecek farklı önerme türlerini ve mantıklı bir sonuca ulaşmak için bunların nasıl birleştirilebileceğini belirledi. Bu nedenle Aristo mantıksal sistemin kurucularından kabul edilmektedir.

Mantık Türleri

Mantıksal bir düşünce çizgisinin başlangıç noktası, önerme olarak adlandırılır. Bir önerme her zaman doğru veya yanlıştır. Mantık, bir dizi adımda önermenin başlangıç noktasından sonuca doğru ilerler. Tüm adımlar ya tek bir sonuca götürür ya da götürmez. Mantığın yaptığı, bir argümana bakarak muhakemenin geçerli olup olmadığına karar vermemizi sağlamasıdır. Örneğin: “Tüm elmalar portakaldır. Tüm portakallar muzdur. O halde tüm elmalar muzdur.” hatalı bir sonuca ulaştırsa da mantık açısından geçerli bir argümandır.

Sonraki süreçte matematiksel mantık Platon, Aristoteles ve Öklid’in eserleriyle binlerce yıl boyunca gelişti. Yasalarının titiz bir tanımı 1800’lerde George Boole, Gottlob Frege, Georg Cantor, Giuseppe Peano ve 1899’da David Hilbert’in Foundations of Geometry adlı eseriyle ortaya çıktı. Bununla birlikte, 1903’te Bertrand Russell, matematiğin bir alanının mantığındaki bir kusuru ortaya çıkaran The Principles of Mathematics’i yayınladı. Kitapta, Russell paradoksu (veya 1899’da benzer bir keşif yapan Alman matematikçi Ernst Zermelo’dan sonra Russell-Zermelo paradoksu) olarak bilinen bir paradoksu araştırdı.

Mantık ve matematik, başlangıçlarından beri birbirlerine hep yakın durmuş ve çeşitli şekillerde ilişki içinde olmuşlardır. Tarihsel olarak bakıldığında, genel olarak, aralarındaki ilişkinin özellikle birinde yaşanan bir sorunun diğerinin yardımıyla aşılmaya çalışılması durumunda kendini gösterdiği görülür

İnternet, zengin ve sonsuz bir argüman kaynağıdır ve pek çok kişinin pek çok konu üzerine teorileri vardır. Bilimde “teori”, net bir çerçeveye göre titizlikle test edilen ve istatistiksel olarak doğru olma olasılığı yüksek olan bir açıklamadır. Matematikte ise, bir “teori”, mantığa göre doğru olduğu kanıtlanmış bir dizi sonuçtur. Matematikçilerin neyin doğru olup neyin yanlış olduğu konusunda hemfikir olmaları matematiğin göze çarpan bir özelliğidir. Henüz cevabını bilmediğimiz sorularımız olsa da, günümüzde 2.000 yıl önceki matematik hala doğru kabul edilmekte ve aslında hala öğretilmektedir. Bu, sürekli olarak yenilenen ve güncellenen diğer bilim dallarında farkıdır.

Matematik İle Mantık Arasındaki Çizgi Belirsizdir

Matematiksel dünya, gerçek dünyada var olan belirsizlikleri ortadan kaldırmak için özel olarak kurulmuştur. Dünya gerçekte belirsizlikler üzerine kurulu olduğu için, gerçek hayatta anlaşmazlıkların bir kısmı kaçınılmazdır. Ancak mantık kullanarak bazı anlaşmazlıkları ortadan kaldırabiliriz. Russell, Matematiksel Felsefeye Giriş isimli kitabında düşüncelerini şöyle vurgulamaktadır.

 

“Matematik ve mantık, tarihin penceresinden baktığımızda, birbirinden tamamen ayrı disiplinler olmuştur. Matematik bilimle, mantık ise Yunanca ile bağdaştırılmıştır. Ama son zamanlarda her ikisi de gelişmiştir; mantık daha matematikselleşmiş ve matematik ise daha mantıksal bir hal almıştır. Sonuçta, ikisi arasına bir çizgi çekmek artık tamamen imkansız hale gelmiştir; hatta ikisi bir olmuştur. Birbirlerinden ancak bir erkeğin gençliği ve yetişkinliği kadar farklıdırlar. Mantık matematiğin gençliği, matematik ise mantığın gelişmiş halidir.”

Bertrand Russell

Mantık Ne İşe Yarar?

Matematiksel soyut dünyaya geçiş yapmanın avantajı, şimdi her şeyin mantıklı davrandığı bir yerde olmamızdır. Burada gerçek yaşamın belirsizlikleri yoktur. Kurallar herkes için aynıdır. Soyut, mantıksal dünyaya ulaşmak, mantıklı düşünmeye doğru atılan ilk adımdır. Gerçek dünya hakkında argümanlar oluşturmak için mantığı kullanmaya çalışabiliriz, ancak argümanı ne kadar açık bir şekilde inşa edersek edelim, muğlak kavramlarla başlarsak, sonuçta muğlaklık olacaktır. Bununla birlikte, matematiksel mantığı anlamak, belirsizliği ve anlaşmazlığı anlamamıza yardımcı olur. 



Kaynaklar ve ileri okumalar:

Matematiksel 

Sibel Çağlar

Merhabalar. Matematik öğretmeni olarak başladığım hayatıma 2016 yılında kurduğum matematiksel.org web sitesinde içerikler üreterek devam ediyorum. Matematiğin aydınlık yüzünü paylaşıyorum. Amacım matematiğin hayattan kopuk olmadığını kanıtlamaktı. Devamında ekip arkadaşlarımın da dahil olması ile kocaman bir aile olduk. Amacımıza da kısmen ulaştık. Yolumuz daha uzun ama kesinlikle çok keyifli.
Başa dön tuşu