Sayılar Teorisi

Asal Sayıları Bulmak İçin Buğday Ve Bir Satranç Tahtası Nasıl Kullanılır!

Önemli bir strateji oyunu olan satranç sadece günümüzde değil tarihin hemen her sürecinde önem taşımaktaydı. Hatta belli bir dönem o kadar popüler hale geldi ki, matematikçiler fikirleri aktarmak için bu oyunu kullandılar. O dönemin en ünlü satranç bulmacalarından biri 1256 yılında, tarihçi ve biyografi yazarı İbn Hallikan ( Khallikan / 1211–1282) tarafından kaleme alınmıştır.

İbn Hallikan’ın Buğday ve Satranç Tahtası Sorusu

satranç oyunu

Aslında muhtemel aktaracağımız soruyu satrancın tarihi ile ilgili bir yerlerde okumuşsunuzdur. Olaya dahil olan kişiler farklı olsa da özünde verilen mesaj hepsinde aynıdır. İbn Hallikan‘ın kitabında bu hikaye, satranç ve üstel büyümeyi tartıştığı biyografilerinden birinde bulunur. Olay Hindistan’da gerçekleşmektedir. Soru şu şekildedir. “Satranç tahtasının ilk karesine 1 tane, ikinci karesine 2, üçüncü karesine 4, dördüncü karesine 8 tane buğday koyalım. 64 karelik bir satranç tahtasının son karesine kaç tane buğday tanesi konulması gereklidir? “

Buğday ve Satranç Tahtası Sorusu görseldeki gibi düşünülebilir.

İlk kareye bir tane (= 2 0), ikinciye iki tane (= 2 1), üçüncüye dört tane (= 2 2), dördüncüye sekiz tane (= 23) buğday yerleştirdiğimizi düşünürüz. Bu durumda altmış dördüncü kareye 263 buğday tanesi konulması gerektiği açıktır. Bu soru, 2n geometrik diziler için verilebilecek güzel bir örnektir. 2 63 dizideki 64. terimdir ve 2n-1 olarak gösterilir. Bu sayının değeri o kadar büyüktür ki, bu kadar çok buğdayın hasat edilmesi mümkün değildir. Toplam tahıl sayısı 18.446.744.073.709.551.615’e eşittir. (on sekiz kentilyon dört yüz kırk altı katrilyon, yedi yüz kırk dört trilyon, yetmiş üç milyar, yedi yüz dokuz milyon, beş yüz elli bir bin, altı yüz on beş).

İbn Hallikan’ın Satranç Tahtası

Peki Buğdayın Asal Sayılar İle İlgisi Nedir?

Öklid asal sayıların sonsuza dek sürdüğünü kanıtladığından beri, matematikçiler daha büyük ve daha büyük asal sayılar üretebilecek akıllı formüller arayışındaydı. Bu formüllerin en iyilerinden biri, Marin Mersenne adlı bir Fransız keşiş tarafından keşfedildi. Bu formülün sırrı, buğday ve satranç tahtası hikayesinde gizlidir. Her kareden bir tane buğday çıkartırsak sonuç Mersenne’nin formülü olan (2n −1) olur. Görünüşe göre bu, her karenin asallığını test etmek için kullanılabilir. Aşağıdaki görselde gölgeli karelerde asal sayıları görebilirsiniz. Ayrıca bu işaretli kutulara kadar olan kutulardaki sayıların toplamlarının bazıları bu asal sayıya eşit olacaktır. Örneğin ilk üç karenin toplamı 1 + 2 + 4 = 7 ( 23-1) asaldır. Aynı biçimde ilk beş karenin toplamı 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31 ( 25-1) asaldır.

Asal sayıların olduğu kareler koyu renk ile işaretlenmiştir.

Mersenne bu kuralı genelleyebileceğini düşündü. Çünkü bu genellemeyi yapabilirse büyük bir sayının asal olup olmadığını anlamanın bir yolunu bulacaktı. Mersenne ve matematik için ne yazık ki bu fikri pek işe yaramadı. Satranç tahtasında 11. kareye baktığınızda, o noktaya kadar toplam 2047 pirinç tanesi var. 2047 bir asal değil çünkü 23 × 89’a eşit. Ancak Mersenne’in fikri her sayı için işe yaramasa da keşfedilen en büyük asal sayılar bulunmasında günümüzde hala geçerliliğini koruyor.

Kaynaklar:

Göz Atmak İsterseniz

Matematiksel

Sibel Çağlar

7 yıl Kadıköy Anadolu Lisesinin devamında lisans eğitimimi Marmara Üniversitesi İng. Matematik öğretmenliği üzerine tamamladım. Devamında 20 yıl çeşitli özel eğitim kurumlarında matematik öğretmenliği ve eğitim koordinatörlüğü yaptım. 2015 yılında matematiksel.org web sitesini kurdum. Amacım bilime ilgiyi arttırmak, bilimin özellikle matematiğin zihin açıcı yönünü açığa koymaktı. Yolumuz daha uzun ve zorlu ancak en azından deniyoruz.

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak.