Temel Matematik

Sonsuz Maymun Teoremi Bize Ne Anlatmak İstiyor?

1900’lerin başında, Fransız matematikçi yeterince küçük bir olasılığa sahip olayların asla gerçekleşmeyeceğini düşünüyordu. İnsan ölçeğindeki olaylar için Borel, olasılığı 10-6‘dan (veya 0.0000001’den) daha az olan olayları imkansız olarak değerlendirdi. Ayrıca imkansızlığı göstermek için ünlü bir örnek buldu: Daktilo tuşlarına rastgele basan maymunlar eninde sonunda Shakespeare’in tüm eserlerini yazacaktı. Sonrada bu düşüncesini 1913 yılında kaleme aldığı kitabında yayınladı. Bu sonucun son derece olasılık dışı olduğunu, ancak matematiksel olarak sonsuz bir zaman içinde (veya sonsuz sayıda maymunla) gerçekleşmesi gerektiğini dile getirdi. Sonrasında Shakespeare’in eserlerini yazan bu maymun fikri, insanların hayal gücünü ele geçirdi ve Borel’in yasası sonsuz maymun teoremi olarak bilinmeye başladı.

Daha sonları Arthur Eddington, 1928’de The Nature of the Physical World isimli kitabında da aynı benzetmeyi ele almıştı. Aynı şekilde matematikçi James Jean, 1930 tarihli The Mysterious Universe adlı kitabında da konuya tekrar dikkatleri çekti. İlerleyen yıllarda teoremi test etmek için birden fazla girişimde bulunuldu. Ancak elbette hiçbirinden anlamlı sonuçlar elde edilemedi.

Bir sanat eseri rastgele üretilebilir mi? Kaynak: https://www.theodysseyonline.com/

Sonsuz Maymun Teoremini Deneyelim

Bu ilginç önermeyi gerçek hayatta test etmek mümkün olmasa da bunu bilgisayarlar sayesinde başarabiliriz. Şimdi gelin Borel’in fikrine ayrıntılı olarak bakalım. Günde sekiz saat, hiç dinlenmeden İngilizce 26 büyük harf içeren bir daktilonun tuşlarına vurabilen bir milyon varsayımsal dijital “maymunumuz” olduğunu varsayalım. Maymunlarımızın bu göreve nasıl ilgi duymasını ve odaklanmasını sağladığımız başka bir sorudur. Ancak, bu alıştırmaya katılmaktan mutlu olduklarını ve her saniye bir tuşa basabileceklerini varsayacağız. Aşağıdaki ifadeyi yeniden üretmeleri ne kadar sürer? “To be, or not to be…” yani “Olmak ya da olmamak …”. Maymunlarımıza İngilizce bir daktilo verdiğimiz için deneyimizi Shakespeare’in kaleme aldığı bu ünlü sözün İngilizce versiyonu üzerinden sürdürelim.

Elimizde 13 İngilizce harfimiz ve beş boşluğumuz var. Ancak hesaplamada boşlukları değerlendirmeye almayalım. İngilizce / Latin alfabesindeki her harfi rastgele yani şans eseri elde etmenin 26 yolu olduğunu biliyoruz. O zaman ilk harfin doğru olması 26’da 1 biçimindedir. Bunu matematiksel olarak olasılık=1/26 biçiminde yazabiliriz. 13 harfi yazma eyleminde tuşlara her basışın birbirinden bağımsız olaylar olduğunu düşünürsek her bir harfin olasılığı aynı olacaktır. Sonuç olarak tüm olasılığı hesaplamak içinde bunları birbirleri ile çarpmamız gerekecektir. Yani 13 harfin yazılma olasılığı=( 1/26)13 biçiminde olacaktır. Bu gerçekten 4×10 -19.değerine sahip çok küçük bir sayıdır. Maymunlar bu 13 harfi oluşturmak için 2,5 x 10 18 defa tuşlara basmak zorundadır.

Teoreme Farklı Bir Açıdan Bakalım

Bu sayının ne kadar büyük olduğu hakkında bir fikir edinmek için, saniyede bir harf yazan bir milyon maymuna sahip olduğumuzu düşünelim. Bu durumda bir milyon maymun 79.000 yıl boyunca sıkılmadan yazmaya devam ederse bunu başarabilecektir. Sonsuz Maymun Simülatörünü kullanarak bu deneyin bir sürümünü kendiniz deneyebilirsiniz. Bu sitede, herhangi bir karakter kombinasyonunu yazabilir ve bilgisayarın rastgele karakterlerin deneysel olasılığını hesaplamasını sağlayabilirsiniz.

Şimdi bu teoreme farklı bir bakış açısı getirelim. Maymunlar yerine, her biri saniyede 106 harf üreten bir milyon bilgisayar kullanırsak sonuç ne olur? Hesaplamalarımız elbette hızlanır ve yaklaşık 700 saatte bu işi başarabiliriz. Kulağa daha anlamlı gelmesi için 13 harfli Shakespeare’in sözü yerine 13 karakterden oluşan bir şifre oluşturmak istediğimizi düşünelim. Maymun deneyinde kullandığımız 26 büyük harf sınırını kaldıralım. Artık 26 büyük veya 26 küçük harf kullanabiliriz. Aynı zamanda şifre oluşturmak için 10 rakam ve 15 karakteri de ekleyelim. Şimdi elimizde 26+26+10+15= 77 olası karakterimiz var. Bu durumda 13 basamaklı bir şifre için tüm harfleri doğru tahmin etme olasılığı (1/77)13 biçiminde olacaktır. Bu durumda her biri saniyede bir milyon harf (veya karakter) işleyen bir milyon bilgisayarda bile, parolanın tahmin edilmesi için gereken süre yaklaşık 100.000 yıl olacaktır.

Ünlü bir düşünce deneyinin günümüzde bu kadar önemli olabileceğini kim bilebilirdi? Belki şifrelerimizi güncellemenin zamanı gelmiştir!

Kaynaklar ve ileri Okumalar:

  • Monkeys Don’t Write Shakespeare; https://www.wired.com/
  • Could an Infinite Number of Monkeys Really Reproduce the Works of Shakespeare?; https://commonplacefacts.wordpress.com
  • Shaun Comfort; How Much is that Cure in the Window? Simple Math Solutions for Complicated Problems in Biology, Medicine, and Healthcare; ISBN: 979-8-6456-5138-1; Independently Published

Matematiksel

Sibel Çağlar

Merhabalar. Matematik öğretmeni olarak başladığım hayatıma 2016 yılında kurduğum matematiksel.org web sitesinde içerikler üreterek devam ediyorum. Matematiğin aydınlık yüzünü paylaşıyorum. Amacım matematiğin hayattan kopuk olmadığını kanıtlamaktı. Devamında ekip arkadaşlarımın da dahil olması ile kocaman bir aile olduk. Amacımıza da kısmen ulaştık. Yolumuz daha uzun ama kesinlikle çok keyifli.
Başa dön tuşu