Riemann Geometrisini Anlamak

Bu dramatik hikaye basit bir geometrik senaryoyla başlar. Bir d doğrusu ve bu doğrunun üzerinde olmayan bir P noktası alalım. P’den geçen, d’ye paralel kaç tane doğru çizebiliriz?

Sezgilerimiz bize P’den geçip de d’yi hiç kesmeyecek şekilde yalnızca bir tane doğru çizebileceğini söyler. Nitekim İskenderiyeli Öklid de böyle düşündü ve bu fikrini geometrinin temeli sayılan Elemanlar adlı kitabında bir postulat olarak belirtti: 5.Postulat (postulat kelimesi “ön doğru” olarak dilimize çevrilebilir.)

Ne var ki sezgilerimiz bazen güvenilir bir yol gösterici olmaktan uzaktır, nitekim bu durum burada da geçerlidir. Neden derseniz buraya göz atabilirsiniz

Yıl 1854’ü gösterdiğinde Alman Matematikçi Bernhard Riemann matematik dünyasını alt üst edecek yeni bir çalışma ortamını keşfetti. Bu “Riemann Geometri” idi.

Riemann teorisinin arkasındaki anahtar kavram, uzayın eğriliğiydi. Bir yüzeyin eğriliği sıfırsa, yüzey düzdü ya da Öklid geometrisiydi ve Elemanlar’ın tüm sonuçları geçerliliğini sürdürüyordu. Eğer yüzey pozitif ya da negatif eğrilikte ise, yüzey eğriydi ya da Öklid dışı geometriydi ve Elemanlar’ın sonuçları geçerliliklerini yitiriyordu.

Eğriliği anlamanın en basit yolu, üçgenlerin davranışını dikkate almaktır diye devam etti Riemann. Sıfır eğrilikteki bir yüzeyde bir üçgenin iç açılan toplamı 180 derece, Pozitif eğrilikteki bir yüzeyde açı !ar toplamı 180 dereceden büyük, negatif eğrilikli bir yüzeyde açılar toplamı 180 dereceden küçük oluyordu.

Kürenin eğriliğinin pozitif olmasını algılamak fazla zor değildir aslında. Bunu yandaki şekilde bulunan üçgenin iç açılarını toplayarak görebiliriz, bu üçgen ekvator, Greenwich meridyeni ve Greenwich’in 73 derece batısından (New York’tan) geçen boylamdan oluşmaktadır. Her iki boylam da ekvatoru 90 derecelik dik açıyla keserler yani üç iç açının toplamı 180 dereceden daha büyük olmak zorundadır.

Peki, bir yüzey negatif eğrilikte nasıl olur? Bir başka değişle açılarının toplamı 180 dereceden küçük olan üçgenler nerededir? Bir paket Pringles açın cevabı göreceksiniz. Patates cipsinin eğri kısmı üzerine bir üçgen çizin Üçgenin açılarının toplamı açık bir biçimde 180 dereceden az olacaktır. Negatif eğrilikteki yüzeylere hiperbolik yüzeyler denir. Öyleyse bir Pringle’ın yüzeyi hiperboliktir.

Küresel ve hiperbolik yüzeyler matematiksel olarak birbirlerinin tersidir, işte size neden böyle olduğunu gösteren pratik bir örnek. Küresel bir yüzeyden bir parça kesin, örneğin bir basket topundan. Elimizdeki malzemeyi düzleştirmek için uğraşırsak, yeterli malzememiz olmadığından başarılı olma şansımız yoktur. Şimdi elimizde lastik bir Pringle olduğunu düşünün. Düzleştirmek istediğimiz Pringle’da materyal fazlası bulunur ve bir kısmı kendi üzerine katlanır. Küresel yüzey kendi içine kapanırken hiperbolik yüzey genişler.

Günümüzde Lobaçevski geometrisi (hiperbolik geometri) ve Riemann geometrisi (eliptik geometri) olarak adlandırılan bu iki Öklid-dışı geometride Paralellik Aksiyomu şu şekilde yorumlanır.

  • Düz bir yüzeyde bu noktadan geçen ve doğruya paralel olan yalnızca tek bir doğru vardır.
  • Küresel bir yüzeyde bu noktadan geçen ve doğruya paralel olan hiçbir doğru yoktur.
  • Hiperbolik yüzeyde bu noktadan geçen ve doğruya paralel olan sonsuz sayıda doğru vardır.

Sezgisel olarak düz ve küresel yüzeylerin üzerindeki paralel doğruların davranışlarını anlayabiliriz ancak hiperbolik yüzeyler üzerindeki paralel doğruların davranışlarını anlamak çok daha zordur. Hiperbolik yüzeyler üzerindeki paraleller gittikçe birbirlerinden uzaklaşırlar çünkü hiperbolik yüzey de sürekli olarak eğrilerek kendisinden uzaklaşmaktadır.

Aslında tarihe daha kapsamlı bir bakış attığımızda, Öklitçi olmayan geometrinin asırlardır insanın gözünün önünde olduğunu görürüz. Örneğin, İskenderiyeli Menelaus MÖ 100 civarında  “eliptik” geometri çerçevesinde hesaplamalar yapmıştır. Ama insan bazen düz-dünyalıdır; dünyanın yuvarlak olduğunu bilinse de dünya düz görünür ve genellikle “düz” olarak deneyimlenir.

Lobaçevski’nin, Bolyai’nin ve Riemann’ın kurdukları Öklid dışı geometrilere uzun süre işe yaramaz birer matematik garibesi olarak bakıldı. Ta ki Einstein, içinde yaşadığımız üç boyutlu uzayın Öklid geometrisine değil, Öklid dışı geometriye uyduğunu gösterene kadar.

Albert Einstein’ın Riemann’ın kavrayışına çok şey borçlu olması hiç de şaşırtıcı değildir; kendisi bu kavramlarla tanışmamış olsa “Görelilik kuramını hiç geliştiremezdim,” demiştir.

Einstein’dan önce iki bin yılı aşkın bir süre boyunca Öklit geometrisi olağanüstü başarılı olmuştur ve olmaya da devam ediyordur elbette. Bulunan yeni geometriler, Öklit geometrisini “yanlış” kılmaz. Sonucunda, Öklit’i kullanarak mimari yapılar dikmeye, köprüler yapmaya devam edebiliriz. Paralel doğrulara ilişkin gündelik kavrayışımız “Öklitçi” olmayı sürdürür; düz yüzeylerle karşı karşıya kaldığımızda güvenle bu büyük geometriciye başvururuz.

Ancak, Öklid dışı geometriler, insanın geometriyi doğru bir biçimde anlama, fiziksel uzayın gerçek niteliğini keşfetme girişimleri açısından hayati önemdedir.

Kaynaklar:

Matematik Gelecegi Kestirebilir mi? ve diğer büyük sorular  – Tony Crilly

Alex Sayılar Diyarında – Alex Bellos

Matematiksel

Paylaşmak İsterseniz

Yazıyı Hazırlayan: Sibel Çağlar

Kadıköy Anadolu Lisesi, Marmara Üniversitesi, ardından uzun süre özel sektörde matematik öğretmenliği, eğitim koordinatörlüğü diye uzar gider özgeçmişim… Önemli olan katedilen değil, biriktirdiklerimiz ve aktarabildiklerimizdir bizden sonra gelenlere... Eğitim sisteminin içinde bulunduğu çıkmazı yıllarca iliklerimde hissettikten sonra, peki ama ne yapabilirim düşüncesiyle bu web sitesini kurmaya karar verdim. Amacım bilime ilgiyi arttırmak, bilimin özellikle matematiğin zihin açıcı yönünü açığa koymaktı. Yolumuz daha uzun ve zorlu ancak en azından deniyoruz.

Bunlara da Göz Atın

Matematik Henüz Sormadığımız Sorulara Nasıl Cevap Verebilir?

Matematik, evrene ilişkin sorularımıza doğru cevaplar sağlayan bir enstrüman olarak görülebilir. Örneğin, 2 elmamız olduğunu …

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.

ga('send', 'pageview');