Dünyada mı daha çok kum tanesi var, yoksa evrende mi daha çok yıldız? Şehir ışıklarından uzak, açık bir gecede çıplak gözle birkaç bin yıldız görebiliriz. Dünya ise çölleri, sahilleri ve deniz tabanlarıyla akıl almaz miktarda kum barındırır. Peki sayı yarışını kim kazanır: kum taneleri mi, yıldızlar mı?
Dünya’daki kum tanelerinin sayısı için sık kullanılan tahminlerden biri yaklaşık 7,5 × 10¹⁸’dir. Bu, 75’in yanına 17 sıfır eklemek anlamına gelir. Gözlemlenebilir evrendeki yıldızların sayısı için 2003 yılında yapılan ünlü bir tahmin ise yaklaşık 7 × 10²² sonucunu vermişti. Yani yıldızların sayısı kum tanelerinin sayısından binlerce kat fazladır.
Yunan matematikçi ve bilim insanı Arşimet de bundan yaklaşık 2.300 yıl önce benzer bir sorunun peşine düşmüştü. MÖ 3. yüzyılda Siraküza Kralı Gelon’a hitaben yazdığı ve bugün Kum Sayacı (The Sand Reckoner) adıyla bilinen eserinde şu soruyu ele aldı: Evreni tamamen kumla doldursaydık kaç kum tanesine ihtiyacımız olurdu?
Arşimet’in amacı gerçekten bütün kum tanelerini tek tek saymak değildi. Asıl göstermek istediği şey, insanların “sayılamayacak kadar büyük” kabul ettiği miktarların bile matematik yardımıyla ifade edilebileceğiydi.
Arşimet Kum Tanesi Sayısını Nasıl Hesapladı?
Sorunun yanıtı iki şeye bağlıydı: bir kum tanesinin büyüklüğüne ve evrenin hacmine. Arşimet oldukça uç bir varsayım yaptı ve bir haşhaş tohumunun içine 10.000 kum tanesinin sığabileceğini kabul etti. Buna göre kum taneleri neredeyse mikroskobik büyüklükteydi.
Ayrıca yan yana dizilen 40 haşhaş tohumunun yaklaşık bir Yunan parmağı genişliği, yani 19 milimetre oluşturacağını düşündü. Bu varsayımlarla çapı bir parmak genişliğinde olan küresel bir hacme yaklaşık 640 milyon kum tanesi sığabileceğini hesapladı.
Sırada evrenin büyüklüğü vardı.
Arşimet burada kendisinden önce yaşamış Sisamlı Aristarkhos’un Güneş merkezli modelini kullandı. Aristarkhos’a göre Dünya Güneş’in çevresinde dolanıyor, yıldızlar ise çok daha uzakta bulunan büyük bir kürenin üzerinde yer alıyordu.
Bu noktada yıldız paralaksı önemliydi. Dünya, Güneş’in çevresindeki yörüngesinde hareket ederken yakın yıldızlara farklı noktalardan bakmış oluruz. Eğer yıldızlar yeterince yakın olsaydı, arka plandaki daha uzak yıldızlara göre konumlarında küçük bir kayma görmemiz gerekirdi. Ancak Antik Yunan astronomları böyle bir değişim gözlemleyemiyordu.
Bunun bir açıklaması yıldızların son derece uzakta olmasıydı. Arşimet bu düşünceden hareketle dönemin evreni için çok büyük bir boyut kabul etti. Modern birimlerle bu evrenin çapı yaklaşık iki ışık yılına karşılık geliyordu.
Bugün Arşimet’in varsaydığı büyüklükteki kum tanelerinden böyle bir küreye kaç tane sığacağını kolayca hesaplayabiliriz. Sonuç yaklaşık 8 × 10⁶³ kum tanesidir. Ancak Arşimet’in önünde başka bir sorun vardı: Böyle bir sayıyı nasıl yazacaktı?
Antik Yunan matematiğinde bugün kullandığımız 0, 1, 2, 3 gibi rakamlar ve basamak değeri sistemi yoktu. Yunanlar sayıları alfabenin harfleriyle gösteriyordu. Farklı harfler 1’den 9’a kadar sayıları, 10’dan 90’a kadar onlukları ve 100’den 900’e kadar yüzlükleri temsil ediyordu.
Sistemdeki en büyük temel birim 10.000’e karşılık gelen myriad idi. Daha büyük sayılar 10.000’in katları biçiminde ifade edilebiliyordu. Ancak birkaç yüz milyonun üzerine çıkıldığında sistem hızla kullanışsız hâle geliyordu. Arşimet’in kozmik kum hesabı ise 10⁶³ gibi devasa sayıları gerektiriyordu.
Arşimet’in Yeni Sayı Sistemi: Canavar Sayılar
Arşimet bu sorunu çözmek için yeni bir sayı adlandırma sistemi geliştirdi. Önce 10.000 × 10.000 = 100.000.000’a, yani 10⁸’e kadar olan sayıları “birinci mertebe” olarak tanımladı. Daha sonra her yeni mertebeyi bir öncekinin 10⁸ katı olacak biçimde oluşturdu.
İkinci mertebenin sınırı böylece 10¹⁶, üçüncünün sınırı 10²⁴ oluyordu ve sistem aynı biçimde devam ediyordu. Arşimet bu işlemi 10⁸’inci mertebeye kadar götürdüğünde 10⁸⁰⁰·⁰⁰⁰·⁰⁰⁰ büyüklüğünde bir sayıya ulaştı. Başka bir deyişle 1’in ardından 800 milyon sıfır gelen bir sayıdan söz ediyoruz.
Üstelik Arşimet burada da durmadı. Bu dev sayıyı yeni bir başlangıç noktası kabul ederek “dönemler” adı verilen daha üst bir sınıflandırma kurdu. Böylece geliştirdiği sistem, günümüzün ondalık gösterimiyle yazıldığında yaklaşık 80 katrilyon basamak gerektiren sayıları bile tanımlayabiliyordu.
İlginç olan, Arşimet’in kum hesabında geliştirdiği sistemin sınırlarına yaklaşmaya bile ihtiyaç duymamasıdır. İki ışık yılı çapındaki kendi evrenini doldurmak için hesapladığı yaklaşık 8 × 10⁶³ kum tanesi, sisteminin birinci dönemindeki sekizinci mertebeye denk geliyordu.
Sonuç Olarak
Bugün gözlemlenebilir evrenin çapını yaklaşık 92 milyar ışık yılı kabul ediyoruz. Arşimet’in son derece küçük kum taneleriyle bu hacmi doldursaydık bile yaklaşık 10⁹⁵ kum tanesine ihtiyaç duyardık. Bu sayı onun sisteminde hâlâ birinci dönemin yalnızca on ikinci mertebesinde kalırdı.
Arşimet’in asıl başarısı bu nedenle evrendeki kum tanelerinin sayısını tahmin etmekten daha büyüktür. İnsanların “sayılamayacak kadar çok” diyerek geçiştirdiği büyüklüklerin aslında matematiksel olarak ele alınabileceğini gösterdi.
Kaynaklar ve ileri okumalar:
- Which Is Greater, The Number Of Sand Grains On Earth Or Stars In The Sky? Kaynak site: NPR. Yayınlanma tarihi: 17 Ekim 2012. Bağlantı: Which Is Greater, The Number Of Sand Grains On. Earth Or Stars In The Sky?/
- Conselice, Christopher & Wilkinson, Aaron & Duncan, Kenneth & Mortlock, Alice. (2016). The Evolution of Galaxy Number Density at z < 8 and its Implications. The Astrophysical Journal. 830. 10.3847/0004-637X/830/2/83.
Matematiksel
