Sayı teorisindeki olağanüstü varsayımlardan biri olarak adlandırılan ABC varsayımı, akla gelen en basit denklemlerden biriyle başlar: a + b = c.
Sayı teorisyenleri için 2012 yılı, inişli çıkışlı bir yolculuk gibiydi. Japonya’daki Kyoto Üniversitesi’nden ünlü matematikçi Shinichi Mochizuki, alandaki en önemli açık bulmacalardan biri olan abc varsayımının bir kanıtını yayınladı.
Shinichi Mochizuki önemli başarılara imza atmış bir matematikçiydi. Kendisi bu varsayımın ispatına yaklaşık 20 yılını harcamıştı. Sonucunda ortaya 500 sayfalık bir çalışma çıkmıştı. Ancak bir sorun vardı. Sunduğu ispat sayfalarca tanım ve teoremlerle doluydu. Bunun sonucunda da pek çok matematikçi onun ispatını anlayamayacaktı.
Ayrıca matematikçi meslektaşlarının ispatının detaylarını anlamaları için işi de kolaylaştırmadı. Sonuçlarını yurtdışında sunmayı reddetti, bu nedenle konuyla ilgili birçok konferans onsuz düzenlendi. 2018’de matematikçi Peter Scholze ve meslektaşı Jakob Stix ” ABC Neden Hala Bir Varsayımdır?” başlıklı makaleyi yayınladığında sorun nihayet doruğa ulaştı. Kendileri Mochizuki’nin kanıtında “ciddi” bir sorun bulduklarını iddia ettiler. Hatta konuyu Mochizuki ile tartışmak için Japonya’ya bile gittiler. Ancak üç uzman ortak bir anlayışa varamadı.
2021’de Mochizuki baş editörü olduğu Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences dergisinde, çalışmasının gözden geçirilmiş bir versiyonu yayınlandı. Ancak bu yayın da tartışmaları hafifletmedi. Çünkü çalışmanın hakem değerlendirmesi bir türlü yapılamıyordu.
ABC Varsayımı İçin Milyon Dolarlık Motivasyon
Sorunu çözmek için Haziran 2023’te Japon medya ve telekomünikasyon şirketi DWANGO’nun kurucusu Nobuo Kawakami’nin aklına bir fikir geldi. Mochizuki’nin kanıtındaki doğal bir kusuru gösteren bir makale yazan ilk kişiye 1 milyon dolar para ödülü teklif etti.
Şimdi, meseleyi çözmek için 1 milyon dolarlık bir ödül veriliyor
Yani doğruluğu on yılı aşkın süredir tartışılan, anlaşılması güç bir matematik teorisini kanıtlayan veya çürüten herkes 1 milyon dolara sahip olabilir. Kawakami hangi hakemli yayının bu ödülü alacağına kendisi karar verecek. Verilen ödülün miktarı da makaleye yapılan katkılara göre değişecek. Şirket bu ödülün daha fazla matematikçiyi alanda çalışmalar yapmaya teşvik edeceğini düşünüyor. Şimdi konuya yabancı olanlar için akla takılan soruya cevap verelim.
ABC Varsayımı Nedir?
Sayı teorisindeki olağanüstü varsayımlardan biri olarak adlandırılan ABC varsayımı, akla gelen en basit denklemlerden biriyle başlar: a + b = c . Burada a , b ve c sayılarının pozitif tam sayılar olduğu varsayılır. Ayrıca bu sayıların herhangi bir ortak asal çarpanı paylaşmamaları gereklidir. Örneğin 8 + 9 = 17 veya 5 + 16 = 21 denklemini düşünebiliriz. Ancak 6 + 9 = 15 doğru değildir. Çünkü 6, 9 ve 15’in hepsi 3’e bölünmektedir.
Çok kolay diye düşündüyseniz haklısınız. ABC varsayımı gerçekten de kolay biçimde başlar. Ancak kısa sürede işler giderek karmaşıklaşır. Böyle bir denklem verildiğinde kontrol etmek için, üç sayıdan herhangi birini bölen tüm asal sayılara bakabiliriz. Örneğin 5 + 16 = 21 denklemi için asal sayılarımız 5, 2, 3 ve 7’dir. Bunları birbirleriyle çarpmak ise 210 sonucunu verir. Bu denklemdeki sayılardan çok daha büyük bir sayıdır.
Buna karşılık, 5 + 27 = 32 denkleminin asal sayıları 5, 3 ve 2 olacaktır. Bunların çarpımı ise 30’dur. Bu orijinal denklemdeki 32’den daha küçük bir sayıdır. Diğer abc üçlüleriyle oynamaya başlarsanız, bu ikinci senaryonun son derece nadir olduğunu göreceksiniz. Örneğin, a ve b’nin 1 ile 100 arasında olduğu 3.044 farklı üçlü arasında, asal sayıların çarpımının c’den küçük olduğu yalnızca yedi tane vardır.
İlk kez 1980’lerde formüle edilen ABC varsayımı, bu tür üçlüler ile daha genel olarak an + bn = cn yapısındaki denklemler ile ilgilidir. Burada n için 1’den büyük bir üs seçerseniz c’nin seçtiğiniz üsse göre asal çarpanların çarpımından daha büyük olduğu yalnızca sonlu sayıda abc üçlüsü olacağını bize söyler.
ABC Varsayımı Neden Önemlidir?
a + b = c denklemi çok basit olduğundan, birçok başka problem de onunla ilişkilidir. Örneğin, Fermat’ın son teoremi 1990’ların ortasında matematikçi Andrew Wiles tarafından kanıtlanmıştı. Ancak ABC varsayımı doğruysa Fermat teoremi çok daha kolay biçimde açıklanır. Bu varsayım aynı zamanda sayı teorisindeki bazı açık soruları da çözecektir. Özellikle eliptik eğriler kavramıyla birleştirildiğinde bu alanda önemli bir araç haline gelme potansiyeli taşır.
( ABC Varsayımı teknik bir konu olduğu için detayları bu yazının kapsamını aşmaktadır. Ancak ilgili kişiler bağlantıları takip ederek daha fazla bilgiye erişebilirler)
Yazının devamında göz atmak isterseniz: Fermat’ın İki Kare Toplamı ve 400 Yıl Sonra Gelen Tek Cümlelik Kanıtı
Kaynaklar ve ileri okumalar
- Castelvecchi D. Mathematical proof that rocked number theory will be published. Nature. 2020 Apr;580(7802):177. doi: 10.1038/d41586-020-00998-2. PMID: 32246118.
- Decade-long struggle over maths proof could be decided by $1m prize. Yayınlanma tarihi: 11 Temmuz 2023. Kaynak site: New Scientist. Bağlantı: Decade-long struggle over maths proof could be decided by $1m prize
- $1 Million Will Go to the Mathematician Who Busts the ‘ABC Conjecture’ Theory. Yayınlanma tarihi: 28 Temmuz 2023. Kaynak site: Scientificamerican. Bağlantı: $1 Million Will Go to the Mathematician Who Busts the ‘ABC Conjecture’ Theory
Matematiksel
