1900’lerin başında Bertrand Russell tarafından ortaya atılan berber paradoksu günümüzde hala bizleri şaşırtmaya devam ediyor.
Birçoğumuzun ilköğretim yıllarında tanıştığı kümeleri nesnelerden oluşan bir topluluk olarak düşünürüz. Ancak bir daire ( Venn şeması) içinde elmalar, armutlar çizerek gösterdiğimiz küme kavramı bu kadar basite indirgenebilecek bir şey değildir.
Bu kavramın hak ettiği felsefi değer, Bertrand Russell tarafından verilmiş ve bu süreçte 20. yüzyılın en etkili matematikçilerinden, mantıkçılarından ve filozoflarından biri olan Russell, modern dönemin en ünlü ve etkili mantıksal paradokslarından birine adını vermiştir. Bu paradoks Russell paradoksudur.
Ancak algılanması çok da kolay olmayan Russell Paradoksu, matematiğin temelleri ile ilgili bilindik tanımları yer ile bir ettiği için bilimsel çevrede bir kriz çıkmasına neden olacaktı. Bu nedenle Bertrand Russell, Russell paradoksunu kümeler cinsinden anlatmak yerine gerçek dünyayla ilişkilendiren örnekler vermişti. Verdiği örneklerden birisi de Berber paradoksu idi.
Berber Paradoksu Nedir?
Bir kasaba düşünelim ve bu kasabada bir tane berber olsun. Diyelim ki bir gün bu berber dükkanının önünden geçtiniz ve şunu yazan bir tabela gördünüz: “Kendi kendinize tıraş olabiliyor musunuz? Eğer cevabınız hayır ise bunu sizin için ben yaparım. Kendini tıraş edemeyeni tıraş ederim, başkasını tıraş etmem”. Bu garip tabelayı gördükten sonra aklınıza şu soru gelebilir. Berber kendini tıraş eder mi?
Eğer tıraş etmezse, tanımı gereği kendisini tıraş etmek zorundadır çünkü berber kendisini tıraş etmeyenleri tıraş ediyor. Ancak eğer kendisini tıraş ederse, o zaman aslında bunu yapmaması lazım. Çünkü az önce kendini tıraş eden erkekleri tıraş etmeyeceğini okumuştunuz. Ortaya çıkan çelişkili durum nedeniyle de bu hikaye Berber Paradoksu olarak bilinmektedir.
Berber paradoksundan kurtulmanın başka yolları olabilir. Örneğin, berber zaten keldir ya da berber bir kadındır demeniz mümkündür. Ancak bunlar formel olmayan ve sadece doğal dile bağlı çözüm önerileridir.
Berber Paradoksu Neden Önemlidir?
Günümüzde kümeler konusunu okullarda öğretirken alışılagelmiş bir biçimde tanımıyla başlarız. Yaygın olarak da “iyi tanımlanmış nesneler topluluğu” biçiminde bir tanım yaparız. Peki ama iyi tanımlanmış ne anlama gelir?
Georg Cantor ve diğer erken küme teorisyenleri, kümeler teorisini icat ederken, kümenin ne olduğu konusunda oldukça belirsiz bir fikirle yola çıkmışlardı. Örneğin, kendini tıraş eden tüm erkeklerin kümesi iyi tanımlanmış değildir. Çünkü berberin kümenin içinde mi yoksa dışında mı olacağına karar veremiyoruz. Her ikisi de çelişkilere yol açıyor.
Russell’ın keşfettiği şey, bir küme kendinden söz ettiğinde bu tür bir paradoksun ortaya çıkacağıdır. Henüz tanımlanmamış nesneleri sanki tanımlanmış ve bu nesneler bir şekilde varmış gibi kabul ederek yeni nesneler tanımlamak matematikte bu tip paradokslara neden olacaktır. Bertrand Russell, Russell’ın paradoksunu Alman matematikçi, mantıkçı ve filozof Gottlob Frege’nin çalışmalarına bir yanıt olarak geliştirdi.
“Analitik,” tanımı gereği doğru anlamına gelir. Dolayısıyla sözgelimi “tüm adamlar erkektir” ifadesi tanımı gereği doğrudur. Bunun anlamı, bu cümlenin doğru olduğunu herhangi bir gözlem yapmadan bilebilmenizdir. Analitik kelimesinin tam karşısında da sentetik yer alır.
Sentetik bilgi, deneyim ve gözlem gerektirir ve bize yeni bilgi verir. Örneğin limonların ekşi bir tadı olduğunu biliriz; ne var ki bunu ancak onları tattıktan sonra öğrendik. Yani limonların ekşi bir tadı olduğu, tanımı gereği doğru değildir. Bu, deneyim aracılığıyla öğrenilen bir şeydir.
On yedinci ve on sekizinci yüzyıllarda, bilginin doğası ile ilgili bu iki kavram filozofları karşı karşıya getirmişti. Bu nedenle 1800’lerin sonlarında Gottlob Frege, aritmetiğin nesnel bir bilim olduğunu göstermeye çalışacaktı. Aritmetiğin Temelleri’nde Frege, sayıları mantıksal olarak analiz ederek işe başladı.
Russel Paradoksu ile Küme Kavramına Yeni Bir Bakış Açısı Kazandırdı
Frege çalışmasında, matematikte sınıf ve sınıfların sınıfları fikrini de geliştirmişti. Küme teorisini kullanarak belli bir sınıftan asal sayıları, benzeri türden tüm sınıfların sınıfı olarak tanımlamıştı. Bertrand Russell ‘de kendisinin çalışmalarını yakından takip ediyordu. Ancak Frege’nin sembolik mantık üzerine temel bir çalışmasını incelerken garip bir durumu keşfetti.
Bazı kümeler kendilerinin üyesidir, bazılarıysa değildir. Örneğin, felsefeciler kümesi kendisinin bir üyesi değildir çünkü bahsedilen şey bir filozoftur. Ancak filozof olmayanlar kümesi kendisinin bir üyesidir. Dolayısıyla, kendilerinin üyesi olmadığı tüm kümelerin kümesi kendinin bir üyesi midir? Eğer öyleyse, demek ki değildir. Eğer değilse, demek ki öyledir. İşte Russell paradoksunun ve bir benzeri olduğunu fark ettiğiniz Berber paradoksunun karşımıza çıktığı nokta da burasıdır.
Matematikçiler bu çelişkiyle yüzleştikleri zaman paradoksun etrafından dolaşmanın yollarını bulmaya çalıştılar. Bunun sonucunda da Russell paradoksuna bir dizi yanıt sunuldu. Bunlardan birini de Russell’in kendisi önerdi.
Russell, Alfred North Whitehead (1861–1947) ile birlikte Principia Mathematica’da kapsamlı bir tipler sistemi geliştirdi. Bu sistem zahmetli paradokslardan kaçınmasına ve tüm matematiğin inşasına izin vermekteydi. Ancak hiçbir zaman geniş çapta kabul görmedi. ( Ancak ilerleyen yıllarda bilgisayar bilimde kendine bir yer buldu.)
Bunun yerine, bugün kullanılan ve kümeler evrenini belirli aksiyomlar kullanılarak verilen kümelerden oluşturulabilecek kümelerle sınırlayan Zermelo-Fraenkel küme teorisi yaygınlaştı.
Sonuç olarak
1931’de Avusturyalı bir matematikçi ve filozof olan Kurt Gödel, eksiklik teoremini yayınladı. Sayılarla ilgili doğru olabilecek ancak asla kanıtlanamayacak bazı ifadelerin her zaman var olacağı sonucuna vardı. Bu, Russell, Hilbert, Frege ve Peano’nun matematik için eksiksiz mantıksal çerçeveler geliştirme çabalarının ne yaparlarsa yapsın mantıksal boşluklara sahip olmaya mahkum olduğu anlamına geliyordu.
Kaynaklar ve ileri okumalar:
- Mathematical mysteries: The Barber’s Paradox; Yayınlanma tarihi: 1 Mayıs 2002; Kaynak site: Plus Math. Bağlantı: Mathematical mysteries: The Barber’s Paradox/
- Understanding the Mind-Boggling Barber Paradox; yayınlanma tarihi: 26 Ocak 2017; Kaynak site: Interesting Engineering. Bağlantı: Understanding the Mind-Boggling Barber Paradox
- Raclavsky, Jiri. (2014). The Barber Paradox: On its Paradoxicality and its Relationship to Russell’s Paradox. Prolegomena: Casopis za filozofiju/Journal of Philosophy. 13. 269-278.
