1900’lerin başında Bertrand Russell tarafından ortaya atılan berber paradoksu günümüzde hala bizleri şaşırtmaya devam ediyor. Bu paradoksun farklı versiyonları söz konusu olsa da en iyi bilinen versiyonu aşağıda okuyacağınız biçimde bir hikaye ile başlıyor.
Diyelim ki bir gün bir berber dükkanının önünden geçtiniz ve şunu yazan bir tabela gördünüz: “Kendi kendinize tıraş olabiliyor musunuz? Eğer cevabınız hayır ise içeri gelin, bunu sizin için ben yaparım. Kendini tıraş edemeyeni tıraş ederim, başkasını tıraş etmem”. Bu garip tabelayı gördükten sonra aklınıza şu soru gelebilir. Berber kendini tıraş eder mi?
Tabelada yazanlara göre bunu yapmaması gerekir. Çünkü az önce kendi kendini tıraş eden erkekleri tıraş etmeyeceğini okumuştunuz. Ama bunu yapmazsa da aslında yapması gerekir. Çünkü kendini tıraş etmeyen her erkeği tıraş eder. Her iki olasılık da bir çelişkiye yol açar. ( Berber bir kadında elbette çelişki olmaz). Bu nedenle okuduğunuz bu hikaye Berber Paradoksu olarak bilinir.
Berber Paradoksunun Bir Çözümü Var mı?
Varsayalım ki berber kendini tıraş edenler arasında olsun, şayet böyle olursa levhaya göre ters bir durum ortaya çıkar. O halde, diğer grupta yani ” berbere tıraş olanlar” grubunda yer almaktadır. Aksi ifadeyi ele alacak olursak, “berbere tıraş olanlar” kısmında olsun. O zaman da yine ters bir önerme karşımıza çıkacak ve paradoksa düşeceğiz.
Berber Paradoksu yirminci yüzyılın başında matematikçi, filozof Bertrand Russell tarafından ortaya atılmıştır. Görünüşte anlamsız ve gereksiz gibi gözüken Berber paradoksu, büyük bir sorunu ortaya koyar. Bu nedenle de yirminci yüzyıl matematiğinin yönünü tamamen değiştirmiştir.
Berber Paradoksu Neden Önemlidir?
Küme teorisinde bir küme, yalnızca bazı koşulları sağlayan iyi tanımlanmış nesneler topluluğudur. Russell’ın Berber Paradoksu, küme teorisinin kalbinde bir çelişki olduğunu ortaya koyar. Paradoks, tüm matematiğin sarsıcı temellere dayandığı ve hiçbir kanıta güvenilemeyeceği yönündeki olasılığı ortaya çıkarır.
Örneğin, kendini tıraş eden tüm erkeklerin kümesi iyi tanımlanmış değildir. Çünkü berberin kümenin içinde mi yoksa dışında mı olacağına karar veremiyoruz. Her ikisi de çelişkilere yol açıyor. Russell’ın keşfettiği şey, bir küme kendinden söz ettiğinde bu tür bir paradoksun ortaya çıkacağıdır.
Aritmetik ve geometri yasalarının titiz bir tanımı 1800’lerde George Boole, Gottlob Frege, Georg Cantor, Giuseppe Peano ve 1899’da David Hilbert tarafından ortaya konmuştu. Bununla birlikte, 1903’te Bertrand Russell, kusuru ortaya çıkaran The Principles of Mathematics’i isimli kitabını yayınladı. Kitapta, Russell paradoksu (veya 1899’da benzer bir keşif yapan Alman matematikçi Ernst Zermelo’dan sonra Russell-Zermelo paradoksu) olarak bilinen paradoksu ortaya koydu. Paradoks, küme teorisinin bir çelişki içerdiğini ima ediyordu. Sorunu açıklamak için Russell, yukarıda aktardığımız berber paradoksunu örnek olarak kullanmıştı.
Matematikçiler bu çelişkiyle yüzleştikleri zaman paradoksun etrafından dolaşmanın yollarını bulmaya çalıştılar. Bunun sonucunda da izin verilen küme türlerini kısıtlamaya odaklandılar. Sonunda Russell kendi paradoksuna kendi yanıtını üretti. Russell, cümlelerin hiyerarşik olarak düzenlendiği “Tipler Teorisi” önerdi.
Tipler Teorisi Nedir?
Bir hiyerarşik yapı yerleşik küme teorisi modeline kısıtlamalar getiren sorunu ortadan kaldırdı. Böylece “tüm kümelerin kümesi”, kendisini oluşturan daha küçük kümelerden farklı bir şekilde ele alınmaya başlandı. Bu sayede kümelerin tanımlanmasında kullanılan ifadeler farklı kategorilere ait olmaya başladı ve paradoks ortadan kalktı.
Bu yeni mantıksal ilkeler dizisini Alfred North Whitehead ile birlikte yazdığı ve 1910’dan 1913’e kadar üç cilt halinde yayınlanan çok önemli Principia Mathematica’da kullandı. 1931’de Avusturyalı bir matematikçi ve filozof olan Kurt Gödel, eksiklik teoremini yayınladı. Sayılarla ilgili doğru olabilecek ancak asla kanıtlanamayacak bazı ifadelerin her zaman var olacağı sonucuna vardı. Bu, Russell, Hilbert, Frege ve Peano’nun matematik için eksiksiz mantıksal çerçeveler geliştirme çabalarının ne yaparlarsa yapsın mantıksal boşluklara sahip olmaya mahkum olduğu anlamına geliyordu.
Mantık ve Matematik Yakın Akrabadır
Gördüğünüz gibi mantık ve matematik çok yakın birer akrabadır. Ve bakın Russel ilişkiyi nasıl açıklıyor: “Matematik ve mantık, tarihin penceresinden baktığımızda, birbirinden tamamen ayrı disiplinler olmuştur. Matematik bilimle, mantık ise Yunanca logikos yani söz ve akıl ile bağdaştırılmıştır. Ama son zamanlarda her ikisi de gelişmiştir; mantık daha matematikselleşmiş ve matematik ise daha mantıksal bir hal almıştır.”
Russel matematiğin temelinde mantığın olduğunu savunmaktadır. Sanıyorum haklıdır da. Şunu unutmayalım ki, “bilim için harcanan zaman hiçbir zaman boşa gitmemiştir” bilimin dili matematiktir, matematiğin beyni ise mantıktır.
Kaynaklar ve ileri okumalar:
- Mathematical mysteries: The Barber’s Paradox; Yayınlanma tarihi: 1 Mayıs 2002; Bağlantı: https://plus.maths.org/
- Understanding the Mind-Boggling Barber Paradox; yayınlanma tarihi: 26 Ocak 2017; Bağlantı: https://interestingengineering.com
Dip Not
Matematiksel, 2015 yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konularda ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.
