Matematik Öğrenelim

Berber Paradoksu Nedir Ve Neden Önemlidir?

1900’lerin başında Bertrand Russell tarafından ortaya atılan berber paradoksu günümüzde hala bizleri şaşırtmaya devam ediyor. Bu paradoksun farklı versiyonları söz konusu olsa da en iyi bilinen versiyonu aşağıda okuyacağınız biçimde bir hikaye ile başlıyor.

Diyelim ki bir gün bir berber dükkanının önünden geçtiniz ve şunu yazan bir tabela gördünüz: “Kendi kendinize tıraş olabiliyor musunuz? Eğer cevabınız hayır ise içeri gelin, bunu sizin için ben yaparım. Kendini tıraş edemeyeni tıraş ederim, başkasını tıraş etmem”. Bu garip tabelayı gördükten sonra aklınıza şu soru gelebilir. Berber kendini tıraş eder mi?

Berber Paradoksu Nedir Ve Neden Önemlidir?
Varsayalım ki berber kendini tıraş edenler arasında olsun. Bu durum da levhaya ters bir durum ortaya çıkar. O halde berber, diğer grupta yani ” berbere tıraş olanlar” grubunda yer almaktadır. Aksi ifadeyi ele alacak olursak da bir paradoksa düşeceğiz.

Tabelada yazanlara göre bunu yapmaması gerekir. Çünkü az önce kendi kendini tıraş eden erkekleri tıraş etmeyeceğini okumuştunuz. Ama bunu yapmazsa da aslında yapması gerekir. Çünkü kendini tıraş etmeyen her erkeği tıraş eder. Her iki olasılık da bir çelişkiye yol açar. ( Berber bir kadın ise elbette bir çelişki olmaz). Ortaya çıkan çelişkili durum nedeniyle de bu hikaye Berber Paradoksu olarak bilinir.

Berber Paradoksunun Bir Çözümü Var mı?

Bertrand Russell
Bertrand Arthur William Russell (1872 – 1970), Britanyalı filozof, matematikçi, tarihçi ve toplum eleştirmenidir. Kendisi dönemindeki düşünürler arasında farklı bir yere sahiptir. Sonucunda 20. yüzyılda çok az filozof Bertrand Russell kadar eser yayımlamıştır. Bu çalışmalardan bazıları türünün en iyi örnekleri arasında yer almaktadır.

Berber Paradoksu yirminci yüzyılın başında matematikçi, filozof Bertrand Russell tarafından ortaya atılmıştır. Görünüşte anlamsız ve gereksiz gibi gözüken Berber paradoksu, büyük bir sorunu ortaya koyar. Bu nedenle de yirminci yüzyıl matematiğinin yönünü tamamen değiştirmiştir. Aslına bakarsanız Russell bu paradoks ile kümeler ile ilgili bir çelişkiyi ortaya koymaya çalışmıştır.

Günümüzde kümeler konusunu okullarda öğretirken alışılagelmiş bir biçimde tanımıyla başlarız. Yaygın olarak da “iyi tanımlanmış nesneler topluluğu” biçiminde bir tanım yaparız. Peki ama iyi tanımlanmış ne anlama gelir?

 Georg Cantor ve diğer erken küme teorisyenleri, kümeler teorisini icat ederken, kümenin ne olduğu konusunda oldukça belirsiz bir fikirle yola çıkmışlardı. Georg Cantor‘’un “iyi tanımlanmış her nesneler topluluğu bir kümedir” tanımı da bu paradoksa yol açmıştı.

Örneğin, kendini tıraş eden tüm erkeklerin kümesi iyi tanımlanmış değildir. Çünkü berberin kümenin içinde mi yoksa dışında mı olacağına karar veremiyoruz. Her ikisi de çelişkilere yol açıyor. Russell’ın keşfettiği şey, bir küme kendinden söz ettiğinde bu tür bir paradoksun ortaya çıkacağıdır.

Berber Paradoksu Neden Önemlidir?

Berber Paradoksu Nedir Ve Neden Önemlidir?

Aritmetik ve geometri yasalarının titiz bir tanımı 1800’lerde George Boole, Gottlob Frege, Georg Cantor, Giuseppe Peano ve 1899’da David Hilbert tarafından ortaya konmuştu. Bununla birlikte, 1903’te Bertrand Russell, kusuru ortaya çıkaran The Principles of Mathematics’i isimli kitabını yayınladı.

Kitapta, Russell paradoksu (veya 1899’da benzer bir keşif yapan Alman matematikçi Ernst Zermelo’dan sonra Russell-Zermelo paradoksu) olarak bilinen paradoksu ortaya koydu. Ancak hatırlatalım. Russell paradoksu İngilizcesi “naive set theory” olan sezgisel kümeler kuramı ile ilgilidir. Bu küme kuramı alışageldiğimiz aksiyomatik küme kuramından farklıdır.

Farkı kısaca özetlemek gerekirse aksiyomatik kuram adından da anlaşıldığı gibi mantık çerçevesinde biçimlenen aksiyomlar ile ilerler. Oysa ki sezgisel küme kuramı resmi olmayan tanımlamalar ile başlar. Bu küme teorisi, matematikçiler tarafından 19. yüzyılın sonunda geliştirilen orijinal küme teorisidir.

Bu bağlamda ele almamız gereken Russell Paradoksu hem kendilerinin üyesi gibi görünen hem de kendilerinin üyesi olmayan kümelerle ilgilidir. Sorunu açıklamak için Russell, yukarıda aktardığımız berber paradoksunu örnek olarak vermiştir.

Bertrand Russell ve Alfred North Whitehead. İkisi de matematiksel mantık ve küme teorisi alanlarında önemli katkılarda bulundu. Whitehead, 1890’larda Cambridge’deki Trinity College’da Russell’ın hocası olmuştu. Daha sonrasında eski öğrencisi ile anıtsal çalışmaları “Principia Mathematica” üzerinde işbirliği yaptı. İlk cilt Whitehead tarafından ortaklaşa yazılacaktı. Ancak sonraki iki kitabın neredeyse tamamı Russell’ın eseriydi. 

Russel Paradoksu ile Küme Kavramına Yeni Bir Bakış Açısı Kazandırdı

Matematikçiler bu çelişkiyle yüzleştikleri zaman paradoksun etrafından dolaşmanın yollarını bulmaya çalıştılar. Bunun sonucunda da Russell paradoksuna bir dizi yanıt sunuldu. Bunlardan biri Russell’ıi kendisi tarafından önerildi. Russell, Alfred North Whitehead (1861–1947) ile birlikte Principia Mathematica’da kapsamlı bir tipler sistemi geliştirdi. Bu sistem zahmetli paradokslardan kaçınmasına ve tüm matematiğin inşasına izin vermekteydi. Ancak hiçbir zaman geniş çapta kabul görmedi.

Bunun yerine, bugün kullanılan aksiyomatik küme teorisinin en yaygın versiyonu, tip kavramından kaçınan ve kümeler evrenini belirli aksiyomlar kullanılarak verilen kümelerden oluşturulabilecek kümelerle sınırlayan Zermelo-Fraenkel küme teorisi yaygınlaştı.

Matematikte yapılması mümkün olan her şeyin büyük bir kutunun içinde olduğunu hayal edin. Matematiğin yapısı gereği bu kutunun içinde adına aksiyomlar dediğimiz, kanıtlanamayan veya çürütülemeyen bir dizi şey de olmak zorundadır.

1931’de Avusturyalı bir matematikçi ve filozof olan Kurt Gödel, eksiklik teoremini yayınladı. Sayılarla ilgili doğru olabilecek ancak asla kanıtlanamayacak bazı ifadelerin her zaman var olacağı sonucuna vardı. Bu, Russell, Hilbert, Frege ve Peano’nun matematik için eksiksiz mantıksal çerçeveler geliştirme çabalarının ne yaparlarsa yapsın mantıksal boşluklara sahip olmaya mahkum olduğu anlamına geliyordu. Göz atmak isterseniz: Kurt Gödel ve Eksiklik Teoremi: Cevabı Olmayan Sorular Her Zaman Vardır

Mantık ve Matematik Yakın Akrabadır

Gördüğünüz gibi mantık ve matematik çok yakın birer akrabadır. Matematiksel dünya, gerçek dünyada var olan belirsizlikleri ortadan kaldırmak için özel olarak kurulmuştur. Dünya gerçekte belirsizlikler üzerine kurulu olduğu için, gerçek hayatta anlaşmazlıkların bir kısmı kaçınılmazdır. Ancak mantık kullanarak bazı anlaşmazlıkları ortadan kaldırabiliriz.

Russell, Matematiksel Felsefeye Giriş isimli kitabında düşüncelerini şöyle vurgulamaktadır. “Matematik ve mantık, tarihin penceresinden baktığımızda, birbirinden tamamen ayrı disiplinler olmuştur. Matematik bilimle, mantık ise Yunanca logikos yani söz ve akıl ile bağdaştırılmıştır. Ama son zamanlarda her ikisi de gelişmiştir; mantık daha matematikselleşmiş ve matematik ise daha mantıksal bir hal almıştır.”

Russel matematiğin temelinde mantığın olduğunu savunmaktadır. Sanıyorum haklıdır da. Şunu unutmayalım ki, “bilim için harcanan zaman hiçbir zaman boşa gitmemiştir” bilimin dili matematiktir, matematiğin beyni ise mantıktır.


Kaynaklar ve ileri okumalar:


Size Bir Mesajımız Var!

Matematiksel, 2015 yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak veya Patreon üzerinden ufak bir bağış yaparak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.

Matematiksel

Bir yanıt yazın

E-posta adresiniz yayınlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

Başa dön tuşu