Doğanın Geometrisi: Fraktal Geometri

Matematik özellikle geometri 20 yüzyıla gelene kadar Öklid geometrisinde tanımlanan kavramları kullandı; doğrular, düzlemler, üçgenler… Ama gerçek hayatta bulutlar küresel, dağlar konik, göller de eliptik değil. Doğayı daha iyi anlamak ve modellemek için yeni bir geometriye gereksinim vardı. İşte bu da fraktal geometriydi.

Latince “fraktus (kırık taş)” kelimesinden türetilmiş olan fraktal geometrinin yarattığı evren, yuvarlak veya düz olmayan; girintili çıkıntılı, kırık, bükük, birbirine girmiş şekillerden oluşan bir evrendir. Bu evrenini isim babası ise Fransız bilim insanı Benoit Mandelbrot‘tur.

Mandelbrot boyutlar arası düzensizlikler konusundaki araştırmalara öncülük etmiş ve İngiltere kıyılarının uzunluğu nedir?” başlıklı bir meşhur makalesini yayınlamıştır.

Uzaydan dünyaya yaklaştığınızı düşünün. Yaklaştıkça kıyılar daha girintili gözükmeye başlayacaktır. Kaya şekillerini ölçmek için metreler gerekirken, çakıltaşları için santimetreler, kum tanecikleri içinse daha küçük ölçüm aletleri gerekecektir.

Mandelbrot’un iddiasına göre, her sahil  bir bakıma sonsuz uzunluktadır çünkü bu iş için kullanılan cetvel ne kadar küçük ölçekli ise tahmin edilen uzunlukta o ölçüde artar. Bu bilgi, fraktal geometrinin başlangıcı ve aynı zamanda klasik geometrinin sonudur.

Kendisinin buluşunu ve hikayesini anlattığı, Türkçeye de çevrilmiş olan aşağıdaki konuşmasını  izlemeniz onu ve konuyu daha yakından tanımanızı sağlayacaktır.

Fraktallarla ilgili en kesin kavramlar fraktallara yol açan basit basit geometrik şekiller üzerinde yapılan çalışmalarla elde edilir. Bunların en bilineni Koch kar taneciği denilen şekildir. 1904 yılında Alman matematikçi Helge van Koch tarafından açıklanan bu ilginç şekli elde etmek için bir eşkenar üçgen alınır, her kenarı üç eşit aralıkla işaretlenir ve ortadaki bölümler çıkartılır ve bu buralara kenarları çıkartılan parçalar kadar olan yeni eşkenar üçgenler konulur. Bu durumda yeni şeklimizin çevre uzunluğu öncekinin 4/3 katı olmuştur.

Bu şekilde her yeni adımda, bir önceki adımda elde edilen doğru parçalarına aynı işlem uygulanınca sonuçta fraktal bir şekil ortaya çıkar. İşleme bu şekilde devam edilip n. adıma gelinirse eğrinin toplam uzunluğu (4/3) n olacaktır. Eğer n yeterince büyük alınırsa eğrinin uzunluğu da sonsuza gidecektir. Diğer bir deyişle Koch eğrisinde iki nokta arasındaki uzaklık sonsuzdur. Eğer bu eğri yakından incelenirse şeklin tamamı ile onu oluşturan alt parçaların bir birine benzer olduğu görülür. Örneğin şeklin tamamını 3 kat küçültürseniz bir alt parçasını elde edersiniz. Bu küçültme işlemine sonsuza kadar devam edebilirsiniz.

Kock kar taneciği düzenli denilen, yani çizim kuralları belli olan fraktallara bir örnektir. Bu düzenli fraktalların ortak özellikleri, eğrinin bir bölümünü ne kadar büyütürseniz büyütün eğri tam olarak aynı şekli sürdürmeye devam etmektedir.

Koch eğrisinin ilginç bir özelliği alanının sonlu olmasıdır, çünkü onu bir daire içine sığdırmak mümkündür. Bununla birlikte her adımda uzunluğu biraz daha artar. Yani alanı sonlu ama çevresi sonsuzdur!

Bir başka ünlü fraktal ise Polonyalı matematikçi Waclaw Sierpinski’nin adını taşır. Eşkenar üçgenin içinden küçük üçgenler çıkartılarak elde edilir. Bu işlemi tekrarlamaya devam edersek Sierpinski
üçgenini elde ederiz.

Fraktal şekillerin diğer önemli bir özelliği de boyutlarıdır. Sonuçta 1,2,3 gibi boyutlar anlamlandırabildiğimiz şeylerdir ve karşılıklarını bir biçimde gösterebiliriz ancak fraktal şekiller tam sayı bir boyutla temsil edilemezler. Koch eğrisi iki nokta arasında sonsuz uzunlukta olması nedeniyle basit bir doğrunun ötesine taşmakta, diğer taraftan bir düzlemi de tam olarak dolduramamaktadır. Öyleyse Koch eğrisinin boyutu 1 ile 2 tam sayıları arasında yani kesirli bir sayı olmalıdır. Koch eğrisinin boyutu 1.26’dır.

Felix Hausdorff tarafından geliştirilen bu fikir, boyutlara farklı bir bakış açısı getirdi. Aslında düşünce biçimi oldukça basitti. Çalışmasını ölçekleri esas alarak yaptı. Kısaca açıklamak gerekirse bir çizginin ölçeğini üç kat bü­yütürsek boyu üç kat uzamış olur. 31= 3 olduğundan çizginin boyutu birdir. Eğer bir karenin ölçeğini üç kat büyütürsek alanı 9, bir başka deyişle 3kat artmış olur, dolayısıyla boyutu ikidir. Eğer bir küpün ölçeğini üç kat büyütürsek hacmi 33 yani 27 kat artmış olur, dolayısıyla boyutu üçtür. Koch eğrisinde aynı hesabı yaptığımızda, ölçeği üç kat büyütünce kendisi 4 kat büyüyor. Hausdorff boyutuna D dersek 4 =3D olması lazım. Bunu şöyle de yazabiliriz: D = log34 ve hesapladığımızda karşımıza D= 1,262 çıkar.

Fraktal boyut kavramı ikiden daha büyük değerlere de uzatılabilir. Örneğin düz bir alüminyum folyo 2 boyutludur ancak onu buruşturursanız iki artı birşey boyutunda bir fraktala dönüştürürsünüz. Bu yeni boyutun kesin değeri folyonun ne kadar kırışık olduğuna bağlıdır ve fraktal kar taneciği için kullanılan yöntemle yaklaşık olarak hesaplayabiliriz. Aradaki tek fark, cetvelle uzunluk ölçmek yerine bu sefer sürekli küçülen ölçü plakaları ile alan ölçüyor olmamızdır.

Fraktallar konusundaki çalışmalar bilimin birçok dalında yararlı fikirlere de kaynaklık yapmaktadır çünkü bu geometri doğal olayların matematiksel olarak modellenmesinde avantajlıdır. Yine de bütün bu girişimler yalnızca bir başlangıçtır çünkü fraktalların boyutsal ayrıcalıkları dışında temel özellikleri henüz tam olarak kavranmış değildir. Mandelbrot’un çalışmasının açtığı bu yeni kapının ardında keş­fedilmeyi bekleyen daha nice şey bulunuyor anlaşılan…

Sibel Çağlar

Kaynaklar:

Malcolm E. Lines – Bir Sayı Tut – Tübitak Kitapları

Tony Crilly – Gerçekten Bilmeniz Gereken 50 Matematik Fikri

Matematiksel

Yazıyı Hazırlayan: Sibel Çağlar

Kadıköy Anadolu Lisesi, Marmara Üniversitesi, ardından uzun süre özel sektörde matematik öğretmenliği, eğitim koordinatörlüğü diye uzar gider özgeçmişim… Önemli olan katedilen değil, biriktirdiklerimiz ve aktarabildiklerimizdir bizden sonra gelenlere... Eğitim sisteminin içinde bulunduğu çıkmazı yıllarca iliklerimde hissettikten sonra, peki ama ne yapabilirim düşüncesiyle bu web sitesini kurmaya karar verdim. Amacım bilime ilgiyi arttırmak, bilimin özellikle matematiğin zihin açıcı yönünü açığa koymaktı. Yolumuz daha uzun ve zorlu ancak en azından deniyoruz.

Bunlara da Göz Atın

Kalkülüs ve Optimizasyon

Optimizasyon eldeki kısıtlı kaynakları en verimli biçimde kullanmak olarak tanımlanabilir kısaca. Matematiksel olarak ifade etmek gerekirse …

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.

ga('send', 'pageview');