Geometri

Doğanın Geometrisi: Fraktal Geometri İle Tanışın!

Öklid’den sonra, bilim insanları ve matematikçiler dünyayı Öklid geometrisi ile modellemeye çalıştılar. Eğriler, çizgiler, üçgenler ve diğer geometrik şekiller. Ancak zaman içinde doğanın modellenmesi için bu şekillerin asla yeterli olmayacağını anladılar. Bununla üzerine, 1975 yılında Polonya doğumlu matematikçi Benoit Mandelbrot dikkatleri fraktallara ( Latince fraktus – kırık) yönlendirdi. Sonunda matematikçiler, girintili çıkıntılı, kırık, bükük, birbirine girmiş şekillerden oluşan fraktal geometri ile tanıştı.

Fraktalları bizlere anımsatan Mandelbrot olmasına rağmen, o da kendisinden önceki matematikçilerin bulgularını temel alıyordu. 1872’de Alman matematikçi Karl Weierstrass, sürekli fonksiyonlar kavramını tanımlamış ve kendi adıyla anılan, grafiğini aşağıda çizdiğimiz fonksiyonu oluşturmuştu. 1883’te Georg Cantor da matematikçileri rahatsız eden bir başka geometrik şekil ortaya atmıştı. ( Bakınız: Cantor set )

Weierstrass fonksiyonu. Bu fonksiyonu ne kadar büyütürseniz büyütün tamamen sivri köşelerden oluşur. Bu öz yenilemeli hali ile de fraktalların atalarından biri olarak kabul edilir.

1904’te İsveçli matematikçi Helge von Koch, Koch eğrisi veya “Koch kar tanesi” olarak bilinen aşağıdaki şekil ile konuya dahil oldu. Bunu 1916’da Polonyalı matematikçi Waclaw Sierpinski tarafından oluşturulan Sierpinski üçgeni izledi.

Koch kar taneciği ve Sierpinski üçgeni

Koch kar taneciği
Koch kar taneciği; Bu ilginç şekli elde etmek için bir eşkenar üçgen alınır. Her kenarı üç eşit aralıkla işaretlenir ve ortadaki bölümler çıkartılır. Buralara kenarları çıkartılan parçalar kadar olan yeni eşkenar üçgenler konur. Bu durumda yeni şeklimizin çevre uzunluğu öncekinin 4/3 katı olmuştur. Bu şekilde her yeni adımda, bir önceki adımda elde edilen doğru parçalarına aynı işlem uygulanınca sonuçta fraktal bir şekil ortaya çıkar. İşleme bu şekilde devam edilip n. adıma gelinirse eğrinin toplam uzunluğu (4/3) n olacaktır. Eğer n yeterince büyük alınırsa eğrinin uzunluğu da sonsuza gidecektir.

Koch eğrisinde iki nokta arasındaki uzaklık sonsuzdur. Eğer bu eğriyi yakından incelerseniz şeklin tamamı ile onu oluşturan alt parçaların birbirine benzer olduğu görülür. Örneğin şeklin tamamını 3 kat küçültürseniz bir alt parçasını elde edersiniz. Bu küçültme işlemine sonsuza kadar devam edebilirsiniz. Koch kar taneciği düzenli denilen, yani çizim kuralları belli olan, fraktallara bir örnektir. Bu düzenli fraktalların ortak özellikleri, eğrinin bir bölümünü ne kadar büyütürseniz büyütün eğri tam olarak aynı şekli sürdürmeye devam etmektedir. Koch eğrisinin ilginç bir özelliği alanının sonlu olmasıdır, çünkü onu bir daire içine sığdırmak mümkündür. Bununla birlikte her adımda uzunluğu biraz daha artar. Yani alanı sonlu ama çevresi sonsuzdur!

Sierpinski üçgeni
Sierpinski üçgeni; Eşkenar üçgenin içinden daha küçük eşkenar üçgenler çıkartın. Bu işlemi tekrarlamaya devam edersek Sierpinski üçgeni elde ederiz.

Fraktal Şekillerin Boyutları

Tanımına göre nokta-0 boyutlu, doğru-1 boyutlu, düzlem-2 boyutlu, küp-3 boyutlu olarak kabul edilir. Peki yukarıda örneğini verdiğimiz geometrik şekiller kaç boyutludur? 1918’de Alman matematikçi Felix Hausdorff bu soruya cevap olarak, kesirli boyutların varlığını önerdi. Örneğin, Koch eğrisi iki nokta arasında sonsuz uzunlukta olması nedeniyle basit bir doğrunun ötesine taşmakta, diğer taraftan bir düzlemi de tam olarak dolduramamaktadır. Öyleyse Koch eğrisinin boyutu 1 ile 2 tam sayıları arasında yani kesirli bir sayı olmalıdır. Koch eğrisinin boyutu 1.26’dır.

Aslında düşünce biçimi oldukça basitti. Çalışmasını ölçekleri esas alarak yaptı. Kısaca açıklamak gerekirse bir çizginin ölçeğini üç kat bü­yütürsek boyu üç kat uzamış olur. 31= 3 olduğundan çizginin boyutu birdir. Eğer bir karenin ölçeğini üç kat büyütürsek alanı 9, bir başka deyişle 3kat artmış olur, dolayısıyla boyutu ikidir. Eğer bir küpün ölçeğini üç kat büyütürsek hacmi 33 yani 27 kat artmış olur, dolayısıyla boyutu üçtür. Koch eğrisinde aynı hesabı yaptığımızda, ölçeği üç kat büyütünce kendisi 4 kat büyüyor. Hausdorff boyutuna D dersek 4 =3D olması lazım. Bunu şöyle de yazabiliriz: D = log34 ve hesapladığımızda karşımıza D= 1,262 çıkar.

Fraktal boyut kavramı ikiden daha büyük değerlere de uzatılabilir. Örneğin düz bir alüminyum folyo 2 boyutludur ancak onu buruşturursanız iki artı birşey boyutunda bir fraktala dönüştürürsünüz. Bu yeni boyutun kesin değeri folyonun ne kadar kırışık olduğuna bağlıdır ve fraktal kar taneciği için kullanılan yöntemle yaklaşık olarak hesaplayabiliriz. Aradaki tek fark, cetvelle uzunluk ölçmek yerine bu sefer sürekli küçülen ölçü plakaları ile alan ölçüyor olmamızdır.

Doğada fraktal özelliğine sahip olan yapılardan biri brokolidir. Brokolinin bir parçası brokolinin tamamına çok fazla benzemektedir.

Dinamik Sistemler ve Fraktallar

İlerleyen süreçte Fransız matematikçi Henri Poincaré, dinamik sistemlerin (zaman içinde değişen sistemler) aynı zamanda kendine benzerliğin fraktal özelliklerine sahip olduğunu buldu. Bu da konuya farklı bir bakış açısı ile yaklaşmamıza neden oldu. Dinamik sistemleri aslında bizler daha çok kelebek etkisi terimi ile tanıyoruz. Doğaları gereği, bu tarz sistemlerde başlangıç koşullarında oluşan küçük bir değişiklik nihai durumda büyük farkların ortaya çıkmasına neden olabilir. Poincare tarafından teorisini kanıtlamak için geliştirilen diferansiyel denklemler, fraktal yapılara çok benzer şekilde kendi kendine benzerliğe sahip dinamik durumların varlığını ortaya koydu.

1918’de, Poincaré’nin eski bir öğrencisi olan Fransız matematikçi Gaston Julia, kendine benzerlik kavramını araştırmaya başladı. Bu sırada benzer araştırmaları George Fatou’da yapmaya başlamıştı. Sonuçta o sırada çalışmaları fazla ilgi görmese de ikili aslında günümüzde Julia kümesi olarak bilinecek kavramı bulmuşlardı. Bir fonksiyonun Julia kümesi, o fonksiyonun dinamiğini incelemek için kullanılan kümedir. Karmaşık fonksiyonlar, karmaşık düzlemi kendi dinamiklerine göre iki ayrık kümeye bölerler. Bu kümeler, Julia ve Fatou kümeleridir. Fonksiyon, Julia kümesi üzerinde kaotik davranış sergilerken, Fatou kümesinde normal davranış sergiler. Bunun bir örneğini aşağıda görebilirsiniz.

Mandelbrot Kümesi

1970’lerin sonlarında Benoit Mandelbrot “fraktal” terimini ilk kez kullandı. Mandelbrot, IBM’de çalışırken Julia ve Fatou’nun çalışmalarıyla ilgilenmeye başlamıştı. IBM’de bulunan bilgisayar olanaklarıyla, Julia kümesini ayrıntılı bir şekilde analiz edebildi. Devamında bu küme üzerinde bazı değişkenler ile oynayarak kendi kümesini inşa etti. Bu kümeye yakında bakmak isterseniz verdiğimiz bağlantıdaki animasyona göz atmalısınız. Zooming into the Mandelbrot set

Sonuç olarak Fraktal geometri, matematikçilerin gerçek dünyanın düzensizliğini tanımlamasına izin verdi. Dağlar, nehirler, kıyı şeritleri, bulutlar, hava sistemleri, kan dolaşım sistemleri ve hatta karnabaharlar dahil olmak üzere birçok doğal nesne kendine benzerlik gösterir. Bu tarz fenomenleri fraktal geometri kullanarak modellemek, onların davranışlarını ve değişimlerini daha iyi anlamamızı sağlar. Nihayetinde, çok çeşitli kullanım alanları ile fraktallar içinde yaşadığımız görünüşte kaotik dünyayı anlamamızın artık ayrılmaz bir parçasıdır.

Fraktal geometri ile yapılan sanatsal bir çalışma örneği: Katsushika Hokusai (1760–1849) – Under the Wave off Kanagawa

Kaynaklar ve İleri Okumalar:

Matematiksel

Sibel Çağlar

Merhabalar. Matematik öğretmeni olarak başladığım hayatıma 2016 yılında kurduğum matematiksel.org web sitesinde içerikler üreterek devam ediyorum. Matematiğin aydınlık yüzünü paylaşıyorum. Amacım matematiğin hayattan kopuk olmadığını kanıtlamaktı. Devamında ekip arkadaşlarımın da dahil olması ile kocaman bir aile olduk. Amacımıza da kısmen ulaştık. Yolumuz daha uzun ama kesinlikle çok keyifli.

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

Başa dön tuşu