Temel Matematiksel Kavramlar

Bir Tarafta Sonluluk Bir Tarafta Sonsuzluk: Koch Eğrisi ve Cebrail’in Borusu

Hem sonsuzluğu hem de sonluluğu barındıran iki tane matematiksel yapıyı inceleyelim: Koch eğrisi ve diğeri ise Cebrail’in borusu…

Koch Eğrisi

Koch eğrisi, ilkokuldan beri gördüğümüz fraktallara çok güzel bir örnektir. İlk olarak,  bir eşkenar üçgen alırız, daha sonra bu üçgenin her kenarını üç eşit parçaya ayırırız sonra orta parçasını çıkarıp yerine eşit uzunlukta iki parça koyarız ve bu işlemi sürekli tekrarlarız. Bu oluşumu aşağıdaki aşamalardan da anlayabiliriz.

Bizim yapacağımız şey ise bu eğrinin alanını ve çevresini hesaplamak olacak. O zaman alan hesabı ile başlayalım. Bu hesabı yaparken bizim için en önemli olacak şeylerden biri her adımda kaç tane küçük üçgen eklendiğidir. Bir adımda eklenen üçgen sayısı, yukarıda çok rahat görülebileceği şekilde, bir önceki adımın kenar sayısına eşittir. Başlangıç aşamasını sıfırıncı adım olarak düşünürsek birinci adımdan itibaren her adımdaki kenar sayısı 3.4 n-1 olur. (buradaki n adım sayısını belirtir). Şimdi, başlangıç aşamasındaki eşkenarın üçgeninin bir kenar uzunluğuna x diyelim. O halde, eşkenar üçgenin alanı x2√3/4  olur. Yukarıdaki şeklin alanı içinde şöyle bir toplam elde ederiz:

Bu denklemin sağ kısmını biraz düzenlersek lise yıllarından beri gördüğümüz bir geometrik diziyi elde ederiz.

Sonunda alanımızın değerini bulduk. Bu değer x’e göre değişen bir reel sayıdır. Şimdi ise çevremizi hesaplamaya çalışalım. Yine başlangıç adımımızdaki eşkenar üçgenin kenar uzunluğunu x alalım.

Çevre hesabı yaparken yukarıdaki şekli izlemenin faydası var. Birinci adımda kenarı üç eşit parçaya bölüp bunlardan bir tanesini atıyoruz ve onun yerine iki tanesini ekliyoruz. Sonuçta elimizdeki uzunluk 4x/3 oluyor. İkinci adımda ise bu 4 küçük kenarı yine üçer parçaya bölüyoruz ve aynı işlemi uyguluyoruz ve sonuç olarak elimizdeki şeklin uzunluğu 16x/9 oluyor. Aynı işlemi yapmaya devam ediyoruz ve tahmin edebileceğiniz gibi n’inci adımda uzunluğumuz x.(4/3)n oluyor. Unutmayalım ki biz bu işleme başlarken sadece bir kenarı baz aldık. Başlangıç adımında elimizde 3 kenar olduğu için her n’inci adımda elimdeki eğrinin çevre uzunluğu 3.x.(4/3)n diyebiliriz.

Şimdiki sorumuz ise şu: Peki biz bu işlemleri sonsuza kadar devam ettirirsek elimizdeki eğrinin çevresi ne olur? Bu soruya liseden hatırladığımız limit konseptini kullanarak cevap verebiliriz. 4/3 sayısı 1’den büyük olduğu için bu limit ıraksar diyebiliriz. Bir diğer deyişle eğrimizin çevre uzunluğu sonsuzdur.

Okuma Önerisi: Doğanın Geometrisi: Fraktal Geometri

Cebrail’in Borusu

Cebrail’in borusu, y=1/x eğrisinin x’in 1’e eşit ya da büyük olduğu bölgelerde x ekseni etrafında 360 derece döndürülmesiyle oluşmuş bir üç boyutlu şekildir.

Bizim bu şekille yapacağımız şey ise yüzey alanını ve hacmini hesaplamak olacak. O zaman hacmi ile başlayalım. İntegralle hacim formülünü kullanarak bu hesaplamayı yapabiliriz. Formülü bizim eğrimize uygularsak şunu elde ederiz:

Buradaki a şu anda sadece bir reel sayıyı temsil etmekte olmakla beraber integrali aldıktan sonra bu a’nın sonsuza giderken limitini alacağız. İntegrali alırsak aşağıdakini elde ederiz.

Ve şimdi a sonsuza giderken limit alırsak karşımıza V= π çıkar. Bu da demektir ki Cebrail’in borusunun hacmi sonluymuş. Şimdi de yüzey alanımızı hesaplayalım. Yüzey alanı için uygulayacağımız integral ise biraz daha ileri bir seviye. (Analiz dersi alanların integralle yay uzunluğu bulma kısmından hatırlayacaklardır.)

Bu son integralin ıraksak mı yakınsak mı olduğunu anlamamız gerekli.

Bunun için onu yukarıda gördüğümüz ıraksak integral ile karşılaştırmamız yeterli.

olduğu için bizim integralimiz de ıraksar diyebiliriz. Bu da bize Cebrail’in borusunun yüzey alanın sonsuz olduğunu söyler. Bu yaklaşımlardan yola çıkarak Cebrail’in borusunun içini boya ile doldurabileceğimizi ama onun dış yüzeyini asla boyayamaya yetecek boyaya sahip olamayacağımızı çıkarabiliriz. Bu içlerinde hem sonsuzluğu hem de sonluluğu içeren ilginç objeler, bilimlerin kraliçesinin sahip olduğu sıra dışı objelerden sadece iki tanesi. Diğerlerini de tanımak içinse tek gereken şey biraz ilgi ve biraz merak…

Özgün Eker

Matematiksel

Övünç Özgün Eker

Boğaziçi Üniversitesi matematik bölümü öğrencisiyim. Matematikle alakalı yeni şeyler öğrenmeyi oldum olası sevmişimdir. Bu yüzden de matematik hakkında okumaya uzun süredir meraklıyım. Öğrendiklerimi paylaşmayı da çok severim bu yüzden de buradayım! İyi okumalar...

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak.

Başa dön tuşu