Matematik her zaman bilinmeyenlerle doludur. Hatta matematik için bilinmeyeni bilinene çevirme ya da bilinmeyeni keşfetme işi de diyebiliriz. Çok kısa bir süre önce matematikteki bilinmeyenlerden bir tanesini daha çözmeyi başardık. Uzun uğraşlar sonucu matematikçiler, dokuzuncu Dedekind sayısını bulmayı başardılar.
Peki ama nedir bu Dedekind sayısı? Matematikçiler 42 basamaklı bir sayıyı bulmak için neden 32 yıl uğraştı? Gelin yazımızda matematikteki bu taze keşfe bir bakalım.
Julius Wilhelm Richard Dedekind Kimdir?
Richard Dedekind, 1831’de Kuzey Almanya’da bir şehir olan Braunschweig’da doğdu. Eğitiminin büyük bir kısmını bu şehirde aldı. 1850 yılında Avrupa’nın bilim adına önemli merkezlerinden biri olan Göttingen Üniversitesi’ne gitti. Burada tüm zamanların en büyük matematikçilerinden biri olan Carl Friedrich Gauss’tan dersler aldı. Ayrıca Richard Dedekind, Gauss’un son doktora öğrencisiydi.
19. yüzyılın sonlarındaki matematiksel çalışmaların çoğu, fonksiyon, sonsuzluk ve sayı kavramları gibi önceki matematiksel konular için sağlam temeller oluşturmakla ilgiliydi. Matematik tarihindeki en büyük isimlerden biri, Richard Dedekind da sayılar ve sonsuzluk üzerine yaptığı çalışmalarla aynı vizyonu devam ettirdi.
Dedekind, özellikle soyut cebir ve sayılar teorisi başta olmak üzere matematiğin birçok alanına katkı sağlamıştır. En iyi bilinen katkısı, Dedekind kesimi (ing: Dedekind cut) kavramı aracılığıyla gerçek sayıların tanımlanmasıdır. Ayrıca modern küme teorisinin ve mantıkçılık olarak bilinen matematik felsefesinin gelişiminde öncü olarak kabul edilmektedir.
Dedekind Sayıları Nedir?
1897’de Richard Dedekind tarafından tanımlanan Dedekind sayıları, hızla büyüyen bir tam sayı dizisidir. M(n) bir Dedekind sayısı olmak üzere bu sayı, n değişkeninin monoton Boole fonksiyonlarının sayısına eşittir. Bir başka deyişle, n elemanlı bir kümenin alt kümelerinin anti-zincirlerinin sayısına eşittir.
Tanımın daha anlaşılır olması adına bazı terimlere değinmekte fayda var. Boole fonksiyonu; n girişli Boole değişkenlerini alan ve çıktı olarak başka bir Boole fonksiyonu üreten bir fonksiyondur. Bahsettiğimiz bu n değişken, yanlış/doğru şeklinde veya 0 ya da 1 şeklinde ifade edilir.
Her girdi kombinasyonu için girişlerden birini yanlıştan doğruya götürmek eğer sadece çıktının doğrudan yanlışa değil, yanlıştan doğruya geçmesiyle mümkünse o zaman monotondur deriz. İşte Dedekind sayısı M(n) de, n değişkenli farklı monoton Boole fonksiyonları sayısıdır.
0, 1, 2 ve 3 boyutları için Dedekind sayılarını oluşturan kesimlerin gösterimi. Bu gösterimde doğru/yanlış ya da 1’ler ve 0’lar yok. Ancak mantık hala aynı. Kırmızı ve beyaz renkler doğru/yanlışları ya da 0-1’leri temsil ediyor.
Peki Dokuzuncu Sayıyı Neden 32 Yıl Sonra Bulabildik?
İtiraf etmek gerekirse Dedekind sayılarını anlamak ve kavramak gerçekten zor. Biraz da bu nedenledir ki Dedekind sayılarını hesaplamak fazlasıyla zordur. Ancak 32 senelik bir çalışmanın ve süper bilgisayarların yardımı sonucu matematikçiler dokuzuncu sayıyı bulmayı başardı.
Dedekind sayılarının hesaplaması öyle zor ve karmaşık ki, dokuzuncu sayının keşfedileceği kesin bile değildi. Sayıların çok büyük olması da işin daha da zor olmasına sebep oluyordu. Öyle ki 1991 yılında keşfedilen sekizinci Dedekind sayısı 23 basamaklıydı. Kısa bir süre önce keşfedilen dokuzuncu sayı ise tam olarak 42 basamaklı! Yani yeni sayımız 286 386 577 668 298 411 128 469 151 667 598 498 812 366. Sayıya şöyle bir göz gezdirmek bile birkaç saniye sürüyor.
Dedekind Sayılarını Nasıl Hesaplıyoruz?
Çok basit bir şekilde Dedekind sayısı hesaplamayı n boyutlu bir küple oynanan bir oyun gibi düşünebiliriz. Küpü bir köşesi üzerinde dengeliyor ve daha sonra kalan köşelerini kırmızı ve beyaza boyuyoruz. Oyunun tek bir kuralı var. O da beyaz köşe ile kırmızı köşe asla üst üste gelmemeli.
Böylece dikey olacak şekilde kırmızı-beyaz bir kesim oluşturmuş oluruz. Oyunun amacı da kaç farklı kırmızı-beyaz kesim olduğunu bulmak. İlk birkaç tanesini hesaplamak oldukça basittir. Birinci Dedekind sayısı yani M(1)=1’dir ve daha sonra 2, 3, 6, 20 ve 168 şeklinde devam eder.
Sekizinci Dedekind sayısını da bir süper bilgisayar yardımıyla bulmuştuk ancak daha güçlüsüne ihtiyacımız vardı. Çünkü dokuzuncu Dedekind sayısı bir öncekinin neredeyse iki katı uzunluğundaydı. Matematikçiler bu nedenle Alan Programlanabilir Kapı Dizileri (FPGA) adı verilen paralel olarak birden fazla işlem yapabilen bir süper bilgisayara başvurdu. Bunun için de Paderborn Üniversitesi’nde bulunan Noctua 2 süper bilgisayarını seçtiler.
FPGA’lar paralel olarak birden fazla işlem yapabildiği için Noctua 2’ye birlikte çözmesi için başka şeyler de verilmeliydi. Süreci daha verimli hale getirmek için formülden esinlenen araştırmacılar Noctua 2’ye 5.5×1018 terim içeren bir toplam verdiler. Bir karşılaştırma olması adına, Dünya’daki tüm kum tanelerinin sayısını 7.5×1018 olarak tahmin ediyoruz. Noctua 2’nin bu işlemleri tamamlaması ise 2 ay sürdü.
Matematikte Cevap Arayan Daha Birçok Soru Var!
32 senelik arayışın sonunda dokuzuncu sayıya ulaşmayı başardık. Ancak onuncu Dedekind sayısının bulmak da bir 32 senemizi daha alacak gibi görünüyor. Diğer cevap arayan sorulara bu yazımızda göz atabilirsiniz: Henüz Kimsenin Çözemediği 11 Matematik Problemi
Kaynaklar ve İleri Okumalar
- Mathematicians Discover The Ninth Dedekind Number, After 32 Years of Searching. Bağlantı: Mathematicians Discover The Ninth Dedekind Number, After 32 Years of Searching : ScienceAlert. Yayınlanma tarihi: 28 Haziran 2023
- Ninth Dedekind Number Discovered Using Supercomputer. Solving the Long-Standing Problem That Has Mystified Mathematicians for 32 Years. Bağlantı: Ninth Dedekind Number Discovered Using Supercomputer, Solving the Long-Standing Problem That Has Mystified Mathematicians for 32 Years | Science Times. Yayınlanma tarihi: 30 Haziran 2023
- Ninth Dedekind number discovered: Scientists solve long-known problem in mathematics. Bağlantı: Ninth Dedekind number discovered: Scientists solve long-known problem in mathematics (phys.org). Yayınlanma tarihi: 26 Haziran 2023
- Dedekind’s Contributions to the Foundations of Mathematics.Bağlantı. Dedekind’s Contributions to the Foundations of Mathematics (Stanford Encyclopedia of Philosophy) ; Yayınlanma tarihi: 23 Ekim 2020
Size Bir Mesajımız Var!
Matematiksel, 2015 yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak veya Patreon üzerinden ufak bir bağış yaparak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.
Matematiksel
