GEOMETRİ

Düğüm Düğüm Bir Dünya

Matematik öğrencilerinin bile bazen güçlükle anladığı alanlarından biri olan Topoloji ile ilgili eğlenceli bir yazı hazırladık. Düğüm ve matematiğin ne ilgisi var, düğümler hem atomlarda, kasırgalarda, uzayda hem de bir kalp atışında ya da hücrede görülebilir mi?

Denizciler bulunmadan çok önce, doğa düğümleri bağlamayı ve çözmeyi öğrendi. Bazı DNA tipleri, proteinler, manyetik alanlar, sıvı girdapları ve diğer çeşitli doğa fenomenleri, bazen karışık hale gelen ilmekler şeklinde ortaya çıkabilir(1).

ATOM TEORİLERİ           

Bilim insanlarının elektron mikroskobunun olmadığı, maddenin temel yapı taşını sezgisel olarak açıklamaya çalıştığı yıllarda çıplak gözle veya başka herhangi bir cihazla doğrudan gözlem yapmak imkansız olsa da, araştırmacılar maddenin temel miktarının sahip olması gerektiğini düşündükleri özellikleri sergileyecek matematiksel nesneleri arıyordu.

1800’lerin sonunda, William Thomson (biz onu mutlak sıfır noktasının keşfi ve termodinamik alanındaki çalışmaları ile Lord Kelvin olarak tanıyoruz) tarafından önerilen önde gelen teorilerden biri, atomların eterde dönen girdap düğümleri olmasıydı (11).

W. Thomson’ın meslektaşı ve arkadaşı İskoç matematikçi Peter Guthrie Tait, girdap atom teorisinden etkilendi ve çeşitli unsurları sistematik hale getirme umuduyla, 10 geçişe kadar olanların sistematik bir sınıflandırmasını üreten, düğümler üzerine öncü bir çalışma yaptı (16). Thomson ve Tait çifti “T&T” olarak tanındı. T&T ’ nin teorisinde, farklı düğümler farklı atomlara karşılık gelir. Hidrojen: bilinmeyen, Karbon: 3_1, Oksijen: 4_1.

Şekil  1: Düğümlerin periyodik tablosu

Sonrasında Matematikçi ve Fizikçi Joseph John Thomson, 1883 yılında tamamladığı yüksek lisans tezinde, girdap halkalarının hareketini matematiksel olarak tanımladı (12,13).

J.J. Thomson daha sonra (Nobel ödülü aldığı) elektronu keşfettiğinde, girdap atom teorisine dayanan “bulutsu atom” hipotezini terk etti. Girdap atom teorisi yanlış olmasına rağmen, T&T ve Thomson’ın bu çalışmaları bugün akışkan dinamikleri, DNA’nın yapısı ve kiralite kavramı gibi çeşitli bilim alanlarında kullanılan Düğüm Teorisi (Knott Theory) adı verilen topoloji dalını başlattı(6).

Matematik ve Fiziğin Birlikte Evrimi hakkında daha fazlası için bu yazıyı okuyabilirsiniz.

Şekil 2:  Şekil 1’deki 0_1 e karşılık gelen “halka” şeklinin doğada görülmesi

MANYETİK KASIRGALAR

Düğüm teorisindeki temel problem, üç boyutlu uzayda gömülü kapalı bir ilmeğin düğümlenip düğümlenmediğini belirlemektir. Bu çözülmemiş problem ve daha genel olarak düğümlerin tanımlanması, kuantum alan teorisinden biyolojiye, doğa bilimlerinde derin matematiksel bağlantılara yol açar(5).

İngiltere Durham Üniversitesi’nden Matematiksel Fizik Profesörü Paul Sutcliffe, teorik olarak manyetik skyrmions* adı verilen nano-parçacıkların farklı manyetik özelliklere sahip çeşitli düğüm türlerine bağlanabileceğini gösterdi.

Sutcliffe göre, bu nano-düğümler bir bakıma “Kelvin’in düğümlü alan rüyasının nano ölçekli dirilişini” temsil ediyor. “En önemli nokta, bu nano-düğümlerin kararlı olması, çünkü genellikle alanlar kendilerini çözerek düğümlenmekten kaçınırlar” (6).

* Bir skyrmion, düzgün bir mıknatıstaki mümkün olan en küçük değişikliktir: dönen bir düğüm ile çevrili  ters mıknatıslamanın noktasal bir bölgesi(10).

Şekil 3: Kararlı yüksek şarj solitonları(çevrimli dalgaları)(7)

2021 yılında bilinen veri depolamadaki fiziksel kapasitenin sınırına gelineceği ve artık veri depolama aletlerinin daha fazla küçülemeyeceği öngörülüyor. Manyetik yapılandırma ise, yeni nesil bellek cihazlarında potansiyel bir veri taşıyıcı olarak dikkat çekiyor. “Bunların, her skyrmion parçacığının bir bilgi taşıyıcısı gibi davrandığı gelecekteki manyetik bellek cihazları için geçerli olması bekleniyor.” (10)

Şekil 4: Manyetik Skyrmion boyut < 100nm, elektron mikroskobu kullanılarak görüntüleniyor (Yu et al -2010)

Araştırmacılar, girdap lazerin gelecekteki daha güçlü bilgisayarlar ve veri merkezleri inşa etmeye devam etmek için ihtiyaç duyulacak olan gelişmiş vericiler ve alıcılar gibi birçok bileşen arasında bir bileşen olduğuna inanıyorlar(17).

Şekil 5: Girdap lazer, bilgiyi farklı bükülmelere kodlayarak geleneksel lineer lazerlerden 10 kat daha fazla bilgi taşıyabilir(17).

KALPTEKİ ELEKTRİK DALGALARI

Normalde, insan kalbi saniyede bir kez atarak tüm vücuda kan pompalar. Bu, kalp boyunca kasın yüksek derecede koordine edilmiş senkronize kasılmasıyla elde edilir. Her bir kalp hücresinin kasılması, hücre zarı boyunca elektrik potansiyelinin değişmesi ile tetiklenir.

Kalp normal bir şekilde çalıştığında, kalbin küçük bir bölgesi (sinüs düğümü) senkronize kasılmayı oluşturarak kalpten hızla yayılan bir elektriksel dürtü üretir. bazen kalbin normal elektrik fonksiyonu bozulur ve her ikisi de tehlikeli olan normalden daha hızlı (taşikardi) veya daha yavaş (anormal ritimler) (yani aritmiler) meydana gelir.

En ölümcül aritmi, birden fazla kararsız dönen elektriksel aktivite dalgası ile ani kardiyak ölüme neden olan, sanayileşmiş dünyada başta gelen ölüme nedenlerinden olan fibrilasyondur(8).


Spiral dalgaların bazı kardiyak aritmilerde hayati bir rol oynadığına inanılır. Spiral dalga girdapları, uyarma dalgalarını düzenleyen çizgisel bir filament ile genişletilmiş girdap telleri haline gelir. Kapalı dairesel bir halka oluşturan filaman, halkanın ekseni boyunca çeviri halindedir ve hareketi bir duman halkasının bilinen hareketine benzer(8).

Şekil 7: Spiral dalga girdabı, düğüm 7_1

DNA DÜĞÜMÜ

DNA ünlü bir “çift sarmal” dır – bükülmüş bir merdiven şekli oluşturan iki uzun polimer şeridi. Düğüm teorisi perspektifinden bakıldığında, DNA’nın sarmal doğası önemli değildir; önemli olan çift sarmalın nasıl düğüm ve bağlantı oluşturduğudur. Bununla birlikte, DNA’nın moleküler yapısı hücreler içinde dolaşmaya direnir, bu nedenle sistemin biyomekaniği onu en basit topolojiye doğru iter(1).

Şekil 8: DNA düğümünden matematiksel düğüme.

DNA’nın açılması ve yeniden bağlanması, yani ilmek sayısını ve/veya birbirlerine geçme şekillerini değiştirir. Düğüm teorisi, bu bükülmeleri zincirlerin uzunluğundan veya onları yöneten fiziksel güçlerden bağımsız olarak açıklar. Düğüm teorisini bu yapılara uygulamak, araştırmacıların gerçek dünya sistemlerinin enerji ve gerginliği en aza indirmek için topolojilerini nasıl basitleştirdiğini anlamalarına yardımcı olur(1).

Ayrıca, DNA, radyasyon veya kimyasallar gibi dış etkilerden ve ayrıca normal hücresel süreçlerden her zaman zarar görür. Onarılmamış DNA hasarı, kansere veya doğum kusurlarına yol açabilir.

Hasar, DNA çift sarmalının her iki telinde ise, eşleşen kromozomda aynı DNA dizisini kullanan karmaşık bir onarım işlemi etkinleştirilir. Tellerden biri, açıkta kalan tek bir tel bırakarak geriye doğru soyulur. Eşleşen kromozom yan yana getirilir ve kısmen çözülür ve kırık parçayı onarmak için bir şablon görevi görür.

İki kromozomdan gelen DNA iplikleri birbirine geçerek “Holliday kavşakları” olarak adlandırılan yapılara bağlanır. İşlemi bitirmek için kromozomların ayrılması gerekir – sihirbazın birbirine geçen halkaları gibi, biri diğerinden geçmek zorundadır.

Bu noktada bir protein kompleksi, Holliday kavşağında eşleştirilmiş DNA’ya bağlanır, bir iplikçikte bir boşluk açar ve diğerini içinden geçirerek iki kromozomun temiz bir şekilde ayrılmasına ve kavşağı çözmesine izin verir(18).

Şekil 9: DNA’nın bağlantısının aşamalı olarak modeli(4)

DÜĞÜMÜ ÇÖZMEK

Düğümler, bükülmeler ve dolaşıklık, meydana geldikleri sistem için genellikle istenmeyen bir durumdur; örneğin, düğümlenmiş DNA, hücresini öldürebilir. Bu gibi durumlarda, doğa düzeni yeniden sağlamak için yollar bulur. DNA, manyetik alan veya bükülmüş/düğümlenmiş başka bir gerilim altındadır ve bu nedenle daha yüksek, istenmeyen bir enerji konfigürasyonundadır. Çeşitli sistemlerin gerilimi gidermek için zincirleri kırmak veya başka şekilde yeniden düzenlemek gibi “yeniden bağlanma” mekanizmaları vardır(1).

düğüm teorisi
Şekil 10: Düğümü çözmek

Örneğin, güneşin manyetik alanları, bir topun etrafına dolanan bir lastik bant gibi, 11 yıllık bir süre boyunca sarılır. Bu “alan çizgileri” birbirini iter, böylece çizgiler arasındaki gerginlik arttıkça artar. Manyetik yeniden bağlanma hatları aniden “yeniden düzenleme” yaparak güneş atmosferine enerji salar ve güneş patlamasına neden olur(1).

VE SONUÇ OLARAK

Günümüzün en belirsiz ve büyüleyici teorisi olan Sicim Teorisi (String Theory), T&T çalışmalarının öğelerini dönüştürüyor. Sicim teorisinde yer çekimi ile kuantum boyutta ilişkilendirilen graviton, kapalı bir iplikçiğin titreşimsel bir modudur. Tanıdık geliyor mu?

Biyolojinin ötesinde, topolojik yaklaşım, yeniden bağlanmanın diğer sistemlerde de gerçekleşmesinin güzel bir gösterimini sağlayabilir. Birçok süreç, maksimum verim elde etmek için bir enerji minimizasyonu yolu takip eder, düğüm teorisi yöntemi, bu yolların karmaşıklığını azaltabilir.

Ayrıca, son deneylerde, bilim adamları Kelvin girdabını teorikleştirilmesinden bir yüzyıl sonra gözlemlediler. Süper sıvı olarak bilinen şeyi oluşturmak üzere sıvıyı neredeyse mutlak sıfır sıcaklığa kadar soğutup (bir tür eter gibi) girdap tüplerinin titreşimlerini bir akışkanda gözlemlediler! https://www.youtube.com/watch?v=SlXIOeOkKxU

Öyle görünüyor ki bilim adamları Vortex Atomun arkasındaki matematiksel çalışmaları yani düğümleri, dalgaları, dönen girdapları bırakmıyorlar. Dönmekten bahsetmişken “Semâ’nın ne olduğunu biliyor musun?” der Mevlana “Kendindeki varlıktan geçmek, mutlak yoklukta, zevalsiz, devamlı varlık tadını tatmaktır”.

Şekil 11: Semazenler(19)

TEŞEKKÜR

Durham Üniversitesi’nden Matematiksel Fizikçisi Dr. Paul Sutcliffe’e ilham veren sunumu ve gerekli dökümanları paylaştığı için teşekkür ederim.

KAYNAKÇA

  1. Matthew R. Francis, Untangling DNA with Knot Theory, 2018, Siam News, 2018 SIAM Annual Meeting, held in Portland, Ore..
  2. https://sinews.siam.org/Details-Page/untangling-dna-with-knot-theory.
  3. Fell, A. (2017). Knotty Problems: Mariel Vazquez Shares How E. Coli Reconnects Tangled DNA. UC Davis College of Biological Sciences. Retrieved from https://biology.ucdavis.edu/news/knotty-problems-mariel-vazquez-shares-how-e-coli-reconnects-tangled-dna.
  4. Shimokawa, K., Ishihara, K., Grainge, I., Sherratt, D.J., & Vazquez, M. (2013). FtsK-dependent XerCD-dif recombination unlinks replication catenanes in a stepwise manner. PNAS, 110(52), 20906-11.
  5. Fabian Maucher and Paul Sutcliffe, Untangling knots via reaction-diffusion dynamics of vortex strings, https://arxiv.org/pdf/1604.04542.pdf
  6. https://phys.org/news/2017-06-magnetic-nanoknots-evoke-lord-kelvin.html
  7. Sutcliffe, Paul (2017) ‘Skyrmion knots in frustrated magnets.’, Physical review letters., 118 (24). p. 247203.
  8. A. Cincotti, F. Maucher ,et al., Threaded Rings that Swim in Excitable Media, Physical review letters 123, 258102 (2019)
  9. https://www.youtube.com/watch?v=eV9ajG-PGXg
  10. F. X. Witkowski et al, Spatiotemporal evolution of ventricular fibrillation, Nature, Vol. 392(5), 1998.
  11. Wm. Thomson (1867), On Vortex Atoms, Proceedings of the Royal Society of Edinburgh 6: 94–105
  12. J. J. Thomson. 1883. A Treatise on the Motion of Vortex Rings: An essay to which the Adams Prize was adjudged in 1882, in the University of Cambridge. London: Macmillan and Co., pp. 146. Recent reprint: ISBN 0-543-95696-2.
  13. Kim, Dong-Won (2002). Leadership and creativity : a history of the Cavendish Laboratory, 1871–1919. Dordrecht: Kluwer Acad. Publ. ISBN 978-1402004759. Retrieved 11 February 2015.
  14. Silliman, Robert H. (1963) William Thomson: Smoke Rings and Nineteenth-Century Atomism, Isis 54(4): 461–474. JSTOR link
  15. Helge Kragh (211) Higher Speculations, Grand Theories and Failed Revolutions in Physics and Cosmology, Oxford University Press
  16. https://www.mit.edu/~kardar/research/seminars/knots/history/Tait.html
  17. https://www.wired.co.uk/article/wired-awake-240616
  18. https://www.ucdavis.edu/news/dna-and-magic-rings-trick
  19. https://pbs.twimg.com/media/DTXKSW8WkAAlSTa.jpg

Daha ileri okumalar için;

Nesibe Manav

Öğrendikçe büyüyoruz, hayallerimiz ve dünyamız güzelleşiyor. Öğrenmek, hayatı anlamak için pek çok pencere açıyor. Matematiğin öğrettiği şeylerden biri de ne kadar bilirsen o kadar az şey bildiğini farketmen. Öğrenmeyi seviyorum ve öğrendiklerini paylaşmak beni mutlu ediyor. O yüzden paylaşalım ki bilgimiz artsın.

2 Yorum

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

Başa dön tuşu