Matematikte kurallarla oynadığınızda ilginç sonuçlara ulaşabilirsiniz. Ancak değiştirmemeniz gereken temel bir kural vardır: Bir sayıyı sıfıra bölemezsiniz. Peki neden?
Bir sayıyı giderek daha küçük sayılara böldüğünüzde sonucun büyüdüğünü görürsünüz. Örneğin 20 ÷ 2 = 10 iken, 20 ÷ 0,0001 = 200.000 olur. Bu da doğal olarak şu düşünceyi doğurur: Bölen sıfıra yaklaştıkça sonuç sonsuza yaklaşır. Bu yüzden birçok öğrenci, 1 ÷ 0 işleminin sonucunu “sonsuz” olarak düşünür.
Ancak burada önemli bir ayrım vardır. Sonsuza yaklaşmak ile sonsuza eşit olmak aynı şey değildir. Sonsuzluk bir sayı değil, bir kavramdır. Bu nedenle onu sıradan bir sayı gibi kullanamayız.
Eğer 1 ÷ 0 = ∞ gibi bir eşitlik kabul edersek, matematikte ciddi tutarsızlıklar ortaya çıkar. Çünkü sonsuz, aritmetik işlemlere normal sayılar gibi girmez.
Bölme Nedir?
Sıfıra bölmenin neden sorunlu olduğunu anlamak için önce bölmenin ne olduğunu düşünelim. 100’ü 10’a bölmek, aslında 100’den 10’u kaç kez çıkarabileceğimizi sormaktır. 10’u on kez çıkarırız ve sonuç sıfır olur. Bu yüzden 100 ÷ 10 = 10 deriz.
Şimdi aynı fikri 20 ÷ 0 için deneyelim. Bu, “20’den 0’ı kaç kez çıkarabiliriz?” sorusu olur. Ama 0 çıkarmak hiçbir şeyi değiştirmez. Ne kadar çıkarırsanız çıkarın sayı hep 20 olarak kalır. Yani işlem hiçbir zaman sona ulaşmaz.
Matematiğin kurallarını insanlar belirler ve zamanla geliştirir. Bu yüzden, sistemi bozmadan yeni kurallar eklemek mümkündür. Bunun iyi bir örneğini Euler’in yaklaşımında görürüz. denkleminin reel sayılar içinde çözümü yoktur. Euler bu durumu sorun olarak görür ve yeni bir sayı tanımlar: yani . Bu tanım, mevcut matematiksel yapı ile çelişmez. Aksine sistemi genişletir ve eksik görünen bir durumu tamamlar.
Şimdi sıfıra bölmenin mümkün olduğunu kabul edelim. Bölme işlemi aslında ters bir çarpma işlemidir. Örneğin demek, demektir. Şimdi olduğunu varsayalım. Bu durumda olmalıdır. Ama sıfırla hangi sayıyı çarparsak çarpalım sonuç her zaman 0 olur. Yani ise böyle bir c sayısı yoktur.
Daha da önemlisi, sıfıra bölmeye izin verirsek matematikte çelişkiler ortaya çıkar. Kurallar çöker ve doğru ile yanlış birbirine karışır. Bu yüzden sıfıra bölme “yasak” değildir; aslında tanımsızdır. Çünkü böyle bir işlem anlamlı bir sonuç vermez.
Sıfıra Bölmek Mümkün Olsa Ne Olurdu?
Sıfıra bölmenin neden tanımlanmadığını göstermek için en ikna edici yol, bunun kabul edilmiş bir gerçekle çelişkiye yol açtığını göstermektir. Örneğin, eğer sıfıra bölmeye izin verilseydi 1 = 2 sonucuna ulaşabilirdik ki bu açıkça saçmadır. İşte 1 = 2 “ispatı”:
- a = b olsun
- a² = ab (her iki tarafı a ile çarp)
- a² − b² = ab − b² (her iki taraftan b² çıkar)
- (a − b)(a + b) = b(a − b) (çarpanlara ayır)
- a + b = b ((a − b)’ye böl)
- 2b = b (a yerine b yaz)
- 2 = 1 (her iki tarafı b’ye böl)
(a − b)’ye böldüğümüz adımda aslında sıfıra bölme yaptık. Çünkü a = b olduğundan a − b = 0’dır. Bu da bizi saçma bir sonuca götürür. Bu nedenle sıfıra bölme tanımlanmaz.
Sonuç olarak
Ancak işin ilginç yanı şu: Bazı durumlarda “sıfıra bölüyormuşuz” gibi görünür ve bu durum aslında matematiğin en güçlü fikirlerinden birine kapı açar.
Newton’un geliştirdiği kalkülüste amaç, bir eğrinin belirli bir noktadaki eğimini bulmaktır. Yani o noktada eğriye sadece dokunan teğet doğrunun eğimini. Bunu doğrudan bulmak zor olduğu için daha pratik bir yol izlenir: Eğri üzerinde iki nokta seçilir ve bu iki noktadan geçen doğrunun eğimi hesaplanır.
Sonra bu iki nokta yavaş yavaş birbirine yaklaştırılır. Noktalar yaklaştıkça doğru, gerçek teğete daha çok benzemeye başlar. En sonunda noktalar neredeyse üst üste gelir. İşte bu noktada ortaya çıkan ifade 0/0 biçimine yaklaşır.
Ama burada kritik fark şudur: Gerçekten sıfıra bölme yapılmaz. Bunun yerine limit alınır. Yani iki nokta çakışırken eğimin hangi değere yaklaştığı incelenir. 0/0 tek başına bir sonuç vermez. Ama bu yaklaşma süreci içinde tek ve anlamlı bir değere ulaşırız.
Kısacası kalkülüs, sıfıra bölmeyi “yapmaz”. Onu anlamlı bir sürecin içine yerleştirir. Ve tam da bu sayede hız, ivme, değişim gibi kavramları hesaplayabiliriz. Matematiğin en güçlü araçlarından biri buradan doğar.
Sıfır sayısı ile ilgili anlatacak aslında anlatacak çok fazla şey var. Konu ile ilgili bir başka içeriğimize göz atabilirsiniz. Bir Sayının Sıfırıncı Kuvveti Neden Birdir?
Kaynaklar ve ileri okumalar: The Secret Magic of Dividing by Zero. Yyaınlanma tarihi: 6 Aralık 2016. Kaynak site: Popular Mechanics. Bağlantı: The Secret Magic of Dividing by Zero
Size Bir Mesajımız Var!
Matematiksel, matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.
Matematiksel
