Verilen Bir Sayıyı Neden Sıfıra Bölemiyoruz?

Bir sayıyı sıfıra bölemezsiniz. Diğer bir değişle sıfıra bölmek imkansızdır. Bunu tüm matematikçiler bilir. Aslında bu matematiğin yasaklar listesinde de en başta gelir. Fakat bunun neden imkansız olduğunu hiç düşündünüz mü?

Günümüzde matematik, her şe­yin matematik dünyasında derli toplu bir şekilde yerine otur­duğu bir düzene sahiptir. Bu düzeni bozan herhangi bir şey ortaya çıktığında ise, matematikçiler bu durumu basitçe ihtiyaç­larını karşılayacak şekilde tanımlayacaktır. Sıfır ile bölmede de olan aslında budur. Bu noktada hatırlamak da fayda var. Matematik, evrenin dilidir derken matematikçiler kuralların evren tarafından belirlendiğini anlatmaya çalışmazlar. Bu kuralları yine matematikçiler belirlemiştir.

Herhangi bir sayıyı sıfır ile bölmek aritmetiğin aksiyomlarıyla uyuşmaz. Çünkü bölme işlemi temelinde çarpmanın tersidir. 1/3 yazdığımızda aslında hangi sayının 3 ile çarpıldığında 1 sonucunu verdiğini bulmuş oluyoruz. Ama 1/0’ı düşündüğümüzde bir anlamsızlık olduğunu fark edebilirsiniz. Çünkü aradığımız şey hangi sayının 0 ile çarpıldığında sonucunun 1 çıktığıdır. Bu matematikçilerin tanımsız olarak kabul ettikleri bir durumdur.

Sıfır İle Bölme Tanımsız Olmasaydı Ne Olurdu?

Diyelim ki herhangi bir sayıyı sıfıra bölebiliyoruz. Aslında bunu düşünmek oldukça da yararlı olurdu. Sonuçta matematikte karşımıza çıkan sorunlardan bir tanesi de sıfır ile bölmenin tanımsız olmasıdır. Aslında matematiğin mevcut kuralları yine matematikçiler tarafından belirlenmiş ve devamında gelenler tarafından da aynı biçimde kabul edilmiştir. Yani aslında genel uyumu bozmadan bu kurallar ile oynamak ve değiştirmek her zaman mümkündür. Bu fikir size garip gelse de hemen itiraz etmeyin ve düşünün. Bunun örneklerine matematik tarihine göz attığında rastlayabilirsiniz.

Örneği Euler x2+1=0 denklem sisteminin bir çözümü olmamasından rahatsız olmuştu ve devamında matematikçilere yeni bir sayı sistemi olan karmaşık sayıları tanıtmıştı. Denklemin çözümünden elde ettiği sonuca da hayali sayı ( imaginary) anlamında i demişti. Bu i sayısının tanımıyla ilgili hiçbir sorun yoktu ve mevcut sistem ile uyumluydu. Bu nedenle kabul gördü ve aslında matematikte karşımıza çıkan önemli bir sorunu çözdü. ( i sayısının ne olduğunu bilmiyorsanız bu yazımıza göz atabilirsiniz.)

Sıfıra Bölmek Mümkün Olsaydı?

Yukarıda dediğimiz gibi sıfıra bölmek diyelim ki mümkün. Hatta bizde Euler gibi düşünelim ve 1/0 ifadesine bir harf atayalım. Diyelim ki Q. Bakalım bu Q matematiğin mevcut sistemleri ile uyumlu mu? Unutmayalım 1/0=Q bu durumda 0 ile neyi çarparsak 1 çıkar sorusunun cevabını Q olarak veriyoruz. Yani Q . 0=1.

Sıfır, herhangi bir sayı veya değişken x için “x – x” olarak tanımlanır. Bu durumda 0 yerine ( 1-1) yazabiliriz. Bu durumda Q.( 1-1)=1 sonucunda ulaşırız. Dağılma özelliğini kullanarak Q-Q=1 yani 0=1 elde ettik. Gördüğünüz gibi Q matematiksel yapıya uymadı yani bir kere daha hata verdi. Bu hatayı ortadan kaldırmak için bazı sınırlandırmalar getirseniz bile karşınıza başka bir hata çıkacaktır. Her durumda baştaki kabulünüz aritmetiğin temel aksiyomları ile uyumsuz olacaktır.

Bir örnek daha verelim. Diyelim ki sayıyı sıfıra bölebiliyoruz. Bu durumda 1 sayısının iki sayısına eşit olduğunu kolaylıkla ispatlayabiliriz.

a = b diyelim. Şimdi her iki tarafı a ile çarpalım. Bu durumda a2 = ab elde ettik. Şimdi her iki taraftan da b2 çıkartalım. Sonucumuz a2 – b2 = ab – b2 oldu. Sonuçta bu eşitliğin hem sağ hem de sol tarafı çarpanlara ayrılabiliyor. O zaman uygulayalım. (a + b)(a – b) = b (a – b) elde ettik. Eşitliğin her iki tarafında da (a – b) çarpanı ortak. Sadeleştirelim. Geriye a+b=b ifadesi kaldı. En baştan a ile b’nin birbirine eşit olduğunu kabul etmiştik. Bu durumu yerine yazalım. O zaman 2b=b sonucunu elde ettik. Son olarak b’ler de birbirini sadeleştirdiği için 2=1 cevabına ulaştık.

Saçma değil mi? Elbette. (a-b) ile böldüğümüz aşamada biz aslında sıfır ile bölme yap­maktaydık; çünkü a = b ve a – b = 0 anlamına gelir. İşte bu ve bunun gibi sorunları ortadan kaldırmak için sıfır sayısının payda da olması yasaktır.

Aslında tanımsızlığın nedenini  y = 1 / x fonksiyonunun grafiği üzerinde de çok net biçimde görebilirsiniz.

Sıfırın Sıfıra Bölümü Nedir?

Bu soruyu matematikçiler yüzyıllarca yanlış cevapladılar. Biraz önce bir sayının sıfıra bölümünün tanımsız olduğunu gördük; fakat sıfır da bir sayıdır. O halde sıfırın sıfıra bölümünün de tanımsız olması gerekmez mi? Tam olarak öyle değil. Sıfırın sıfıra bölümünün kaç olduğunu bulmak için büyük sayıları kendilerine böldüğümüzü ve bu sayıları yavaş yavaş küçülttüğümüzü düşünelim.

Örneğin; 128’i 128’e bölerek başlayalım; ardından 64’ü 64’e, sonra 32’yi 32’ye bölelim ve böyle devam edelim. Cevap 1 gibi görünüyor. Dizimizdeki sayılar gittikçe ufalarak sıfır bölüm sıfıra doğru yaklaşıyor. Sayıları hep kendilerine böldüğümüze göre sayılar sıfıra doğru yaklaşırken cevabın da bire yaklaşması gerekir (matematikte kullanılan ifadeyle bire “yakınsaması” gerekir).

Fakat şimdi dizideki sayılarda ufak bir değişiklik yaptığımızı düşünelim. Bölünen sayı bölen sayının yedi katı olsun. Sonra tekrar payı ve paydayı küçültmeye başlayalım. Ta ki yine sıfır bölü sıfıra varana kadar. Şimdi bölünen sayı bölenin 7 katı olduğuna göre dizinin sonucu 7’ye yakınsıyor! Bu mantığı kullanarak, sıfır bölü sıfırı istediğimiz her sayıya eşitleyebiliriz!

Bu yüzden cevap sonucun tanımsız (veya anlamsız) olduğu değil, sonucun belirsiz olduğudur, yani belli tek bir cevabı yoktur. Guillaume De l’Hôpital adında Fransız bir matematikçi, küçülerek sıfır bölü sıfıra yaklaşan diziler fikrini buldu ve onun onuruna kurala l’Hôpital Kuralı adı verildi. Böylece matematikçiler bir sorunla daha baş etmenin çözümünü bulmuş oldular.


Göz atmak isterseniz


Kaynaklar ve ileri okumalar:

Matematiksel

Sibel Çağlar

Merhabalar. Matematik öğretmeni olarak başladığım hayatıma 2016 yılında kurduğum matematiksel.org web sitesinde içerikler üreterek devam ediyorum. Matematiğin aydınlık yüzünü paylaşıyorum. Amacım matematiğin hayattan kopuk olmadığını kanıtlamaktı. Devamında ekip arkadaşlarımın da dahil olması ile kocaman bir aile olduk. Amacımıza da kısmen ulaştık. Yolumuz daha uzun ama kesinlikle çok keyifli.
Başa dön tuşu