Aritmetik

Verilen Bir Sayıyı Neden Sıfıra Bölemiyoruz?

Bir sayıyı sıfıra bölemezsiniz. Diğer bir değişle sıfıra bölmek imkansızdır. Fakat bunun neden imkansız olduğunu hiç düşündünüz mü? Öncelikle nedenini söyleyelim. Herhangi bir sayıyı sıfır ile bölmek aritmetiğin aksiyomlarıyla uyuşmaz. Çünkü bölme işlemi temelinde çarpmanın tersidir. 1/3 yazdığımızda aslında hangi sayının 3 ile çarpıldığında 1 sonucunu verdiğini bulmuş oluyoruz. Ama 1/0’ı düşündüğümüzde bir anlamsızlık olduğunu fark edebilirsiniz. Çünkü aradığımız şey hangi sayının 0 ile çarpıldığında sonucunun 1 çıktığıdır. Ama elbette böyle bir sonuç mümkün değildir. Bu matematikçilerin tanımsız olarak kabul ettikleri bir durumdur.

Diyelim ki herhangi bir sayıyı sıfıra bölebiliyoruz. Aslında bunu düşünmek oldukça da yararlı olurdu. Sonuçta matematikte karşımıza çıkan sorunlardan bir tanesi de sıfır ile bölmenin tanımsız olmasıdır. Bu noktada hatırlamak da fayda var. Matematik, evrenin dilidir derken matematikçiler kuralların evren tarafından belirlendiğini anlatmaya çalışmazlar. Aslında matematiğin mevcut kuralları yine matematikçiler tarafından belirlenmiş ve devamında gelenler tarafından da aynı biçimde kabul edilmiştir. Yani aslında genel uyumu bozmadan bu kurallar ile oynamak ve değiştirmek her zaman mümkündür. Bu fikir size garip gelse de hemen itiraz etmeyin ve düşünün. Bunun örneklerine matematik tarihine göz attığında rastlayabilirsiniz.

Örneği Euler x2+1=0 denklem sisteminin bir çözümü olmamasından rahatsız olmuştu ve devamında matematikçilere yeni bir sayı sistemi olan karmaşık sayıları tanıtmıştı. Denklemin çözümünden elde ettiği sonuca da hayali sayı ( imaginary) anlamında i demişti. Bu i sayısının tanımıyla ilgili hiçbir sorun yoktu ve mevcut sistem ile uyumluydu. Bu nedenle kabul gördü ve aslında matematikte karşımıza çıkan önemli bir sorunu çözdü. ( i sayısının ne olduğunu bilmiyorsanız bu yazımıza göz atabilirsiniz.)

Sıfıra Bölmek Mümkün Olsaydı?

Yukarıda dediğimiz gibi sıfıra bölmek diyelim ki mümkün. Hatta bizde Euler gibi düşünelim ve 1/0 ifadesine bir harf atayalım. Diyelim ki Q. Bakalım bu Q matematiğin mevcut sistemleri ile uyumlu mu? Unutmayalım 1/0=Q bu durumda 0 ile neyi çarparsak 1 çıkar sorusunun cevabını Q olarak veriyoruz. Yani Q.0=1. Sıfır, herhangi bir sayı veya değişken x için “x – x” olarak tanımlanır. Bu durumda 0 yerine ( 1-1) yazabiliriz. Bu durumda Q.( 1-1)=1 sonucunda ulaşırız. Dağılma özelliğini kullanarak Q-Q=1 yani 0=1 elde ettik. Gördüğünüz gibi Q matematiksel yapıya uymadı yani bir kere daha hata verdi. Bu hatayı ortadan kaldırmak için bazı sınırlandırmalar getirseniz bile karşınıza başka bir hata çıkacaktır. Her durumda baştaki kabulünüz aritmetiğin temel aksiyomları ile uyumsuz olacaktır.

Sıfırın Sıfıra Bölümü

Sıfırın sıfıra bölümü kaçtır? Bu soruyu matematikçiler yüzyıllarca yanlış cevapladılar. Biraz önce bir sayının sıfıra bölümünün tanımsız olduğunu gördük; fakat sıfır da bir sayıdır. O halde sıfırın sıfıra bölümünün de tanımsız olması gerekmez mi? Tam olarak öyle değil. Sıfırın sıfıra bölümünün kaç olduğunu bulmak için büyük sayıları kendilerine böldüğümüzü ve bu sayıları yavaş yavaş küçülttüğümüzü düşünelim. Örneğin; 128’i 128’e bölerek başlayalım; ardından 64’ü 64’e, sonra 32’yi 32’ye bölelim ve böyle devam edelim. Cevap 1 gibi görünüyor. Dizimizdeki sayılar gittikçe ufalarak sıfır bölüm sıfıra doğru yaklaşıyor. Sayıları hep kendilerine böldüğümüze göre sayılar sıfıra doğru yaklaşırken cevabın da bire yaklaşması gerekir (matematikte kullanılan ifadeyle bire “yakınsaması” gerekir).

Fakat şimdi dizideki sayılarda ufak bir değişiklik yaptığımızı düşünelim. Bölünen sayı bölen sayının yedi katı olsun. Sonra tekrar payı ve paydayı küçültmeye başlayalım. Ta ki yine sıfır bölü sıfıra varana kadar. Şimdi bölünen sayı bölenin 7 katı olduğuna göre dizinin sonucu 7’ye yakınsıyor! Bu mantığı kullanarak, sıfır bölü sıfırı istediğimiz her sayıya eşitleyebiliriz! Bu yüzden cevap sonucun tanımsız (veya anlamsız) olduğu değil, sonucun belirsiz olduğudur, yani belli tek bir cevabı yoktur. Guillaume De l’Hôpital adında Fransız bir matematikçi, küçülerek sıfır bölü sıfıra yaklaşan diziler fikrini buldu ve onun onuruna kurala l’Hôpital Kuralı adı verildi. Böylece matematikçiler bir sorunla daha baş etmenin çözümünü bulmuş oldular.

Kaynaklar: Why can’t we divide by zero?; https://www.math.utah.edu/~pa/math/0by0.html

Okuma Önerisi:

Matematiksel

Sibel Çağlar

7 yıl Kadıköy Anadolu Lisesinin devamında lisans eğitimimi Marmara Üniversitesi İng. Matematik öğretmenliği üzerine tamamladım. Devamında 20 yıl çeşitli özel eğitim kurumlarında matematik öğretmenliği ve eğitim koordinatörlüğü yaptım. 2015 yılında matematiksel.org web sitesini kurdum. Amacım bilime ilgiyi arttırmak, bilimin özellikle matematiğin zihin açıcı yönünü açığa koymaktı. Yolumuz daha uzun ve zorlu ancak en azından deniyoruz.

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak.