Matematikçileri birçok meslek grubundan ayıran özelliklerden biri, elde edilen sonuçlar konusunda çoğu zaman birbirleriyle anlaşmalarıdır. Buna rağmen matematik tarihinde, matematikçilerin çeşitli konularda, hatta bir işlemin sonucu üzerinde bile anlaşamadığı örnekler vardır.
0, 1, 2, 3 gibi en temel sayılarla yapılan temel işlemlerin böyle bir anlaşmazlığa yol açmasını pek beklemeyiz. Üstelik bugün hepimiz bir sayının sıfıra bölünemeyeceğini biliriz. Matematik öğretmenleri örneğin 24 ÷ 0 = tanımsız yazar. Ardından bunun olağan bir sonuç olduğunu, var olan bir şeyi hiçliğe bölmenin olası olmadığını anlatır.
Öte yandan sıfırla çarpabilir, sıfırı toplayabilir ya da çıkarabiliriz. Ayrıca sıfırın gerçekte “hiçlik” olmadığını, kendine özgü özellikleri bulunan bir sayı olduğunu da öğreniriz. O hâlde neden sıfıra bölemiyoruz?
Matematikçiler Bir Zamanlar Sıfıra Bölüyordu
Aslında geçmişte birçok matematikçi bunu yaptı. Antik Yunan’da Aristoteles, sıfır ile bir sayı arasında bir oran bulunamayacağını savunuyordu. Buna karşılık Hintli matematikçi ve astronom Brahmagupta, MS 628 yılında “sıfırın sıfıra bölümünün sıfır olduğunu” ileri sürdü.
Yaklaşık MS 850’de bir başka Hintli matematikçi Mahavira ise herhangi bir sayının sıfıra bölündüğünde değişmeden kaldığını öne sürdü. Buna göre örneğin 24 ÷ 0 = 24 olmalıydı. Yaklaşık 1150 yılında Bhaskara bu işlemler için başka bir sonuç önerdi: Ona göre bir sayı sıfıra bölündüğünde sonsuz bir büyüklük ortaya çıkıyordu. Bu düşünce yüzyıllar boyunca varlığını sürdürdü.
Örneğin İngiliz matematikçi John Wallis de 1656 yılında 24 ÷ 0 işleminin sonucunun sonsuz olduğunu savundu ve sonsuzluğu göstermek için daha önce kullanmaya başladığı ∞ sembolünden yararlandı. Wallis’in gerekçesi ilk bakışta oldukça ikna ediciydi. 24’ü gittikçe küçülen pozitif sayılara bölersek sonuç giderek büyür:
- 24 ÷ 3 = 8
- 24 ÷ 2 = 12
- 24 ÷ 1 = 24
- 24 ÷ 0,5 = 48
- 24 ÷ 0,1 = 240
- 24 ÷ 0,0001 = 240.000
Bu örüntüye bakıldığında, bölen sıfıra yaklaştıkça sonucun giderek büyüdüğü görülür. Wallis de buradan hareketle sıfıra bölmenin sonucunun sonsuz olması gerektiğini düşündü.
Sıfıra Bölmeyi Kim Yasakladı?
Bugün bu eski görüşlere bakıp geçmişteki matematikçilerin açıkça yanıldığını söylemek kolaydır. Fakat bu yaklaşım, son derece yetkin matematikçilerin bu fikirleri ciddi biçimde savunduğu gerçeğini gözden kaçırır.
Bunların en dikkat çekici örneklerinden biri Leonhard Euler’dir. İsviçreli matematikçi Euler, matematik tarihinin en büyük isimlerinden biridir. Matematiğin, fiziğin ve astronominin birçok alanına olağanüstü katkılarda bulunmuştur.
Euler’in 1770 yılında Almanca yayımlanan Complete Introduction to Algebra adlı cebir kitabı, cebir tarihinin en yaygın basılan eserlerinden biri oldu. Euler bu kitabında sıfıra bölme konusunu ele aldı. Ancak o da bir sayının sıfıra bölünmesi sonucunda sonsuzluk elde edileceğini savundu.
Bugün buna karşı ileri sürülen temel itiraz oldukça açıktır. Eğer sıfırdan farklı her sayının sıfıra bölümü sonsuzluksa, 3 ÷ 0 = ∞ ve 4 ÷ 0 = ∞ olmalıdır. Bu eşitlikleri tersinden düşünürsek ∞ × 0 = 3 ve aynı zamanda ∞ × 0 = 4 sonucuna ulaşırız. Böylece aynı işlem iki farklı sonuç vermiş olur. Buradan da 3 = 4 gibi açıkça kabul edilemez bir sonuç çıkar.
Nitekim 1828 yılında Alman matematikçi Martin Ohm konuya farklı bir yaklaşım getirdi. Ohm, a sıfırdan farklı ve b sıfır olduğunda a/b ifadesinin hiçbir anlam taşımadığını savundu. Çünkü herhangi bir sayı sıfırla çarpıldığında sonuç yine sıfır olur.
Dolayısıyla sıfırla çarpılarak sıfırdan farklı bir a sayısına ulaşmak mümkün değildir. Ohm ayrıca 0/0 ifadesinin “sonsuz sayıda anlama”, başka bir deyişle tamamen belirsiz bir anlama sahip olduğunu belirtti.
Sıfıra Bölmek Gerçekten Tanımsız mı?
19. yüzyıl boyunca bu yaklaşım giderek yaygınlaştı ve matematikçiler sıfıra bölmenin olağan sayı sistemleri içinde anlamlı bir işlem olmadığı konusunda büyük ölçüde uzlaştılar. Daha sonra bölme işlemi, a/b bölümünün a = bx eşitliğini sağlayan x sayısı olması biçiminde tanımlandı. Bu tanım, sıfıra bölmeyi daha en baştan kapsam dışında bırakıyordu.
Bugün sıfıra bölmenin sonucunu sonsuzluk olarak değil, tanımsız olarak kabul ediyoruz. “Tanımsız” sözcüğü tarihsel açıdan da oldukça yerindedir. Çünkü matematikçiler bu işlemi geçmişte açıkça tanımladı. Daha sonra bu tanımlardan vazgeçtiler ve sıfıra bölmeyi olağan aritmetiğin dışında bıraktılar.
Ancak matematikçiler gerektiğinde bu tanımları yeniden düzenler ya da değiştirir. Bu durum da şu soruyu gündeme getiriyor: Sıfıra bölme konusunda bugün benimsediğimiz yaklaşım gelecekte yine değişir mi?
Sıfıra bölme meselesi yalnızca matematik tarihinde kalmış bir tartışma değildir. Bilgisayarlar ve hesap makineleri de bölenin sıfır olduğu işlemlerle karşılaşabilir. Böyle bir durumda ne yapacaklarına önceden karar verilmesi gerekir.
Bu nedenle farklı cihazlar aynı işleme farklı yanıtlar verebilir. Bazıları “tanımsız” ya da “hata” mesajı gösterirken, bazıları sonucu “sonsuzluk” olarak verir. Özellikle kayan nokta aritmetiğinde bazı sistemler bu durumu +∞ veya −∞ gibi özel değerlerle temsil eder.
Bu fark, matematikçilerin sıfıra bölme konusunda yeniden anlaşmazlığa düştüğü anlamına gelmez. Burada söz konusu olan, kullanılan sayı sistemi ve yazılımın bu özel durumu nasıl ele aldığıdır.
Sonuç Olarak
Bilgisayar biliminde bu tercih önemlidir. Bir programın sıfıra bölmeyle karşılaştığında tamamen durması, özellikle sürekli çalışması gereken sistemlerde istenmeyen sonuçlara yol açabilir. Bu nedenle bazı hesaplama sistemleri işlemi kesmek yerine sonsuzluk gibi özel değerler üretir.
Bununla birlikte aritmetikte sıfıra bölme hâlâ tanımsızdır. Bilgisayarların verdiği farklı yanıtlar, matematiksel bir sonuçtan çok, bu tanımsız durumun hesaplama sistemlerinde nasıl temsil edildiğini gösterir.
Konu ile ilgili bir başka içeriğimize göz atabilirsiniz. Bir Sayının Sıfırıncı Kuvveti Neden Birdir?
Kaynaklar ve ileri okumalar:
- The Secret Magic of Dividing by Zero. Yaınlanma tarihi: 6 Aralık 2016. Kaynak site: Popular Mechanics. Bağlantı: The Secret Magic of Dividing by Zero
- Martínez, A. A. (2012). The cult of Pythagoras: Math and myths. University of Pittsburgh Press
Matematiksel
