Bir sayının ( 0 hariç) sıfırıncı kuvvetinin bir çıktığını hepimiz biliyoruz. Üslü sayıları ilk öğrendiğimiz zamanlarda verilen bir kuraldır bu. Ancak bunun nedeni hakkında bir çoğumuzun bilgisi yeterince yoktur. Genellikle birileri öyle kabul etmiş der, sonrasında ezberler ve geçeriz.
Matematikçiler belli tanımlar yaparken, yapılan o tanımın içinde bulunduğu sisteme uygun ve tutarlı olmasına, sorun yaratmamasına dikkat ederler. Temel olarak sayının sıfırıncı kuvvetinin bir olmasının nedeni budur. Diğer bir deyiş ile bu bir kabuldür.
Ancak bunun nedenini tam olarak anlamak için çoğu zaman pek kullanmak zorunda kalmadığımız kavramsal bilgiye ihtiyaç vardır. Bu yazıda olası bu tarz bir soru karşısında verilebilecek bazı cevaplara göz atalım.
Bir Sayının Sıfırıncı Kuvvetinin Bir Olmasının Birinci Nedeni
Birinci neden üslü sayıların kuralları ile ilgilidir. Bildiğiniz gibi üslü sayılarda tabanlar aynı ise üstler toplanabilir. Bu durumda x tabanı ve a, b üstleri için xa . xb = x(a+b) yazılabilir. Aynı biçimde üstlerimizden biri negatif olursa da xa . x-b = x(a-b) biçiminde de gösterebiliriz. Bu ikinci gösterimde eğer a ve b değerleri birbirine eşit ise (a = b) ifademiz xa . x-b = xa . x-a = x(a-a) = x0 biçiminde olur.
Şimdi, negatif bir üssünüz varsa, bunun x-a = 1/xa biçiminde yazılabildiğini anımsayın. O zaman yukarıdaki ifadeyi xa . x-a = xa .1/xa = xa/xa biçiminde de yazabiliriz. Bir sayının kendisine bölümü her zaman 1 sonucunu vereceğinden x0 = 1 olduğunu göstermiş oluruz.
Bir Sayının Sıfırıncı Kuvvetinin Bir Olmasının İkinci Nedeni
Bir sayının kuvvetini almak taban olarak isimlendirdiğimiz alttaki sayıyı kuvvet olarak isimlendirdiğimiz üstteki sayı ile çarpmak demektir. Şimdi 34 = 3.3.3.3 = 81; 33 = 3.3.3 = 27; 32 = 3.3 = 9 ve 31 = 3 = 3 dizilimindeki sayılara dikkat edelim. Desene bakarsanız, üstü bir küçülttüğümüzde sayının değerini 3’e böldüğümüzü görebilirsiniz. Bu kalıbı kullanarak deseni devam ettirseniz 30 =1 sonucunu elde edersiniz.
Aslında örüntüyü devam ettirerek başka sonuçlara da erişebilirsiniz. 3(-1) ifadesinin 1/31, 3(-2) sayısının da aynı şekilde 1/32 olduğunu hatırlatalım. Bu durumda 3-1 = 1/3 = 0.3333…; 3(-2) = (1/3)/3 = 0.1111…biçiminde devam edecektir.
Son olarak belki de en başta söylememiz gerekeni söyleyelim. Çarpma işlemi toplama işleminin kısaltılmasıdır. 3 x 5 dediğimiz zaman 5+5+5 işlemini düşünmemiz gerekir. 3.0=0 dediğimiz zamanda 3 tane 0 toplarsak ne elde edeceğimizi sorgularız. Cevap elbette 0’dır.
Kuvvet alma işlemi de çarpma işleminin kısaltılmasıdır. 30 ifadesi 1 haricinde başka değere eşit olursa matematiğin temellerini kurduğumuz aksiyomları sağlamayacaktır. Şimdi akla gelen son bir soruya bakalım.
Sıfırın Sıfırıncı Kuvveti Kaçtır?
Şu ana kadar, sıfır dışında, herhangi bir sayının sıfırıncı kuvvetinin neden bir olması gerektiğini açıklamaya çalıştık. Peki, sıfırın sıfırıncı kuvvetini aldığımızda ne olur? Aslında bu sorumuza verebileceğiniz iki cevap vardır. Cevap ya birdir ya da sıfırdır.
Bunun nedenini anlayabilmek için bu sefer de sıfır sayısının kuvvetleri ile biraz oynayalım. Öncelikle 01 dediğimiz zaman ne demek istediğimizi düşünelim. Burada bir tane sıfır demek istiyoruz. Bunu da 01 = 1.0 biçiminde gösteriyoruz. Sonucumuz elbette sıfır çıkıyor.
Bu mantıkla devam edersek, 02 dediğimiz zamanda iki tane sıfır demiş oluyoruz ve bunu da 02 = 1.0 .0 biçiminde gösterebiliriz. Üstteki sayı sıfır dışında ne olursa olsun aynı biçimde gösterebiliyoruz.
Şimdi 00 ifadesini aynı bakış açısı ile inceleyelim. Aslında bunu düşünmenin iki yolu var. Sıfırın sıfır olmayan bütün kuvvetleri için sonucun sıfır çıktığını biliyoruz. Bu durumda sıfırın sıfırıncı kuvveti de sıfıra eşit olmalı diyebilirsiniz. Yanlış değil.
Ancak ikinci bir düşünce biçimi daha var. Az evvel herhangi bir sayının sıfırıncı kuvvetinin bir sayısına eşit çıktığını göstermiştik. Bu mantıkla sonucumuz bir sayısı da çıkabilir. Bu da yanlış değil. İşte bu nedenle matematikçiler bu konuda uzun süre tartıştıktan sonra bir karmaşıklığa neden olmaması açısında bunu tanımlamamaya karar vermişler. Bu nedenle de belirsiz olarak kabul etmişler.
Sonuç olarak;
Özetlersek, sıfır olmayan herhangi bir sayının sıfırıncı kuvveti birdir. Ancak sıfır sayısının sıfırıncı kuvveti ise belirsiz yani soru işaretidir.
Kaynaklar ve ileri okumalar:
- Why any number to the zero power always gives a one?; Bağlantı: http://scienceline.ucsb.edu
- Peter Saveliev ; Calculus Illustrated. Volume 1; ISBN-10 : 1694326977
- Zero Power Rule: Why Is A Number Raised To Power Zero Equal To One?; yayınlanma tarihi: Bağlantı: https://www.scienceabc.com/
Size Bir Mesajımız Var!
Matematiksel, 2015 yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak veya Patreon üzerinden ufak bir bağış yaparak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.
Matematiksel
