İlginç Sayılar

Euler Mascheroni Sabiti Ve Gizemli 0,577 Sayısı

Günümüz çocukları muhtemelen ana sınıfına gittiği andan itibaren bir şekilde Pi sayısının adını öğrenmektedir. Bunun en önemli nedenlerinden birisi elbette Pi Gününün okullarda her sene 14 Mart tarihinde kutlanması ve günün şerefine bolca Pi biçiminde kurabiye tüketilmesidir. Peki ama neden Pi sayısının bu kadar ünlü olduğunu düşündünüz mü?

Elbette bu sayı çemberleri anlamamız açısından son derece önemlidir. Hatta zaman zaman çember ile ilgili olmadığını düşündüğümüz durumlarda da karşımıza çıkar. Ancak üzerinde çalışılması kolay bir sayı değildir. Tam değerini, kaç basamaklı olduğunu, basamaklardaki sayıların dağılımının belirli bir düzen içerip içermediğini de bilemiyoruz. Ancak hantal yapısına rağmen bir biçimde bu sayı, sayılar dünyasının starı olmayı başarmış durumdadır.

Ancak matematik ve fizikte karşımıza hiç olmadık yerlerde çıkan tek sayı, Pi sayısı değildir. En az onun kadar bilinmesi gereken bir başka sayı daha vardır. Bu sayı yani 0,577 sayısı Euler sabiti veya Euler Mascheroni sabiti olarak bilinmektedir. Euler sabiti, Γ (büyük gama) ile temsil edilen gama fonksiyonu olarak bilinen önemli bir fonksiyonla (faktöriyel fonksiyonun bir genellemesi) olan yakın bağlantısı nedeniyle γ (küçük gama) ile gösterilir.

Euler Mascheroni Adı Nereden Geliyor?

Ne yazık ki bu sayının ne olduğunu göstermek bir çember çizip Pi sayısını göstermek kadar kolay değildir. Bu sayının ne olduğunu anlamak için öncelikle doğal logaritma ve harmonik seriyi hatırlamanız gerekiyor. Ancak öncelikle isminden yola çıkalım ve ünlü matematikçilere saygımızı sunalım.

Gelmiş geçmiş en büyük matematikçilerden biri olarak kabul edilen Leonhard Euler’in çalışma alanları gerçekten çok çeşitliydi. Bu nedenle onun adı matematikte birçok sonuç ve teoreme eklenmiş durumdadır. Tahmin ettiğiniz gibi yazımızın konusu olan sayı ile de uğraşmıştı. Hatta Euler sabiti olarak da bilinen bu sayının değerini beş ondalık basamağa kadar hesaplamış ve 1735’te De Progressionibus harmonicis isimli kitabında yayınlamıştı.

1781’de de bu sayının yaklaşık değerini 16 haneye kadar hesaplamayı başaracaktı. Ancak bu tarihten dokuz yıl sonra işin içince İtalyan matematikçi Lorenzo Mascheroni karıştı. Sonucunda o da bu sayının değerini yaklaşık 32 basamağa kadar hesapladı. ( Ancak son 13 basamağı yanlış hesapladığı sonradan anlaşıldı.) Bu nedenle sayımız günümüzde ikisinin adı ile birlikte Euler Mascheroni sabiti olarak adlandırılıyor.

Euler Mascheroni Sabiti Nedir?

Euler Mascheroni Sabiti
Euler Mascheroni sabiti grafik olarak çizildiği zaman karşımıza bu biçimde çıkıyor. Mor eğri, doğal log fonksiyonunun grafiğidir. Mavi çubuklar harmonik serinin değerleridir. Aralarındaki fark Euler sabitidir.

İspatına bu yazımızda yer vermesek de tanımını anlayabilmeniz açısında bazı ifadeleri hatırlatalım. ( Yazının sonundaki kaynaklarda merak ederseniz ispata erişebilirsiniz.) Bir çoğumuz pratik uygulamalarda sıkça karşımıza çıktığı için aritmetik ve geometrik serilere alışığız. Ancak harmonik serileri fazla sık hatırlamayız. Aşağıda harmonik serinin ne olduğunu görüyorsunuz. Aslına bakarsanız bunu doğal sayıların çarpmaya göre terslerinin toplamı olarak da düşünebilirsiniz.

Euler Mascheroni Sabiti

Her ne kadar kısmi toplamlar almak mümkün olsa da sizin de fark ettiğiniz gibi yukarıdaki toplamın tam değerini bulmak imkansızdır. Ancak acaba harmonik serilerin kısmi toplamlarını, yani ilk n teriminin toplamını, hesaplamaya yarayan herhangi bir fonksiyon var mı? Görünüşe göre cevap evet. Bu doğal logaritma fonksiyonu. Sonuçta n büyüdükçe aradığımız toplam ve ln(n) arasındaki fark sonlu bir sayıya yaklaşır. İşte bu sınır, Euler Mascheroni sabitidir. Gösterimi de aşağıdaki gibidir.

Euler Mascheroni Sabiti

Burada ln, doğal logaritma anlamına gelir. Örneğin, n = 1000 ise, ln(n) = 6.908 ( yaklaşık olarak) olacaktır. Harmonik serimizin değeri n arttıkça yavaş yavaş ıraksar yani limiti sonsuzdur. Aynı şey ln(n) için de geçerlidir. γ, n sonsuza giderken, yavaş yavaş birbirinden ayrılan bu iki fonksiyon arasındaki farktır.

0.57721566… ile başlayan γ değeri bilgisayarlar tarafından 100 milyar ondalık basamağa kadar hesaplanmıştır. Şaşırtıcı bir şekilde, gerçekte ne tür bir sayı olduğunu henüz bilmiyoruz. Yani rasyonel mi? İrrasyonel mi? Cebirsel mi? Bir fikrimiz yok. Peki ama o zaman bu sayının ne önemi var diye düşünmüş olabilirsiniz.

0,577 Sayısı Beklenmedik Pek Çok Yerde Karşımıza Çıkıyor

Yazının başında Pi sayısı örneğini tesadüfen vermemiştik. Pi sayısı gibi aslında bu sabit de matematikte pek çok ilgisiz yerde karşımıza çıkmaktadır. İşin ilginç tarafı sadece matematikte değil, birkaç kuantum mekaniği denkleminde de ortaya çıkıyor. Bu nedenle aslında matematikçiler tam olarak neyle karşı karşıya olduklarını henüz bilemiyorlar.

Bunlar sizin için bir şey ifade etmese bile Euler Mascheroni sabitinin olmadık yerde karşımıza çıkması hem matematikçileri hem de bilim insanlarını oldukça heyecanlandırıyor. Örneğin, Gumbel dağılımı adı verilen ve önceki uç değerler biliniyorsa gelecekteki maksimum ve minimumları tahmin etmek için kullanılabilen bir şeyin merkezinde bu sayı yer almaktadır. Bu dağımı, belirli bir zaman diliminde meydana gelen volkanik patlama veya deprem gibi bir doğal afet olasılığını tahmin etmede kullanılmaktadır.

Daha önce bahsettiğimiz Γ gama fonksiyonu ile ilişkisi sayesinde γ, kriptografi de yani güvenli işlemlerin sağlanmasının matematiğinde de yer alır. 0,577 sayısı aynı zamanda dalga benzeri sistemleri modellemek için kullanılan Bessel fonksiyonlarının çözümlerinde de ortaya çıkar. Bu da cep telefonlarının tasarımı ile de ilgili olduğunu gösterir. Tüm bunların yeterince etkileyici olduğunu düşünüyoruz.



Kaynaklar ve ileri okumalar


Dip Not:

Matematiksel, 2015 yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım

Matematiksel

Başa dön tuşu