Bilinen dünyanın belki de ilk problemlerinden biri, çemberi karelemek, yani bir daire ile aynı alana sahip bir kare elde etmektir. Bu problemi ünlü ilk problemlerden biri yapan şey ise, halen British Museum’da saklanan ve bulunabilmiş en eski matematiksel metin olan Rhind Papirüsü* ‘dür.
Ahmes adlı bir tapınak katibi tarafından yazıya dönüştürülen bu metnin içinde bazı matematik problemleri ve çözümleri yer almaktadır. Fakat belki de bunların en ilginci Ahmes’in yanıtlamaya çalıştığı 48. sorudadır. “Bir çemberle aynı alana sahip bir kare elde edilebilir mi?”
Ahmes’in bu soruya verdiği yanıt da oldukça ilgi çekicidir. “Çapın 1/9’unu kes, kalanın üzerine bir kare çiz. Bu alan dairenin alanının aynısıdır”
Ahmes’in çözümünü günümüz bilgileriyle de irdelediğimizde bulmuş olduğu yaklaşık çözümün günümüzde genel kabul gören yaklaşık değere oldukça yakın bir değer olduğu görülecektir. Hele ki Eski Roma medeniyetinde dahi bu sayının 4’e yuvarlanarak işleme sokulduğunu düşünecek olursak…
Çemberi Karelemek Neden Önemlidir?
Tüm çemberlerin çevrelerinin çaplarına oranının sabit bir sayı olduğu çok eski çağlardan bu yana bilinmekteydi. Bununla beraber bu sayının tam değerine ulaşmak oldukça güçtü. Bilinen ilk yazılı kaynakta çözümü aranan çemberi kareleme problemi ise bu oranı bulma yollarından bir tanesiydi.
Nitekim kare insanların ölçme adına kullandıkları en basit ve yalın araçtı. Alanını hesaplamak oldukça kolaydı. Eğer bir kare ile aynı alana sahip bir daire elde edilirse, tüm dairelerin alanını tam olarak hesaplamak mümkün olacaktı. Çünkü tüm çemberlerde sabit olan, daire alanı hesaplamasında da kullanılan o gizemli orana yani, Pi sayısına ulaşılmış olacaktı.
Her ne kadar Ahmes’in Pi yaklaşımının günümüzdeki yaklaşıma yakınlığının hakkını vermemiz gerekse bile şunu açıkça söylemeliyiz, bu yalnızca gerçeğe yakın bir çözümdü. Ve gerçek anlamda çemberle aynı alana sahip bir kare elde edemiyordu. Elde ettiği şey birbirine çok yakın olan ama birbirine eşit olmayan iki sayıydı.
Tetragonidzeinler – Çember Kareleyicileri
Çemberi kareleme problemi bilinen ilk problem olduğu gibi matematiğin gelişim gösterdiği hemen hemen tüm kültürlerde birbirinden bağımsız olarak ortaya çıkmıştır. Eski Yunanda “çemberi kareleme” çabası o denli yaygın bir uğraş haline gelmişti ki, bununla uğraşan matematikçilere artık özel bir ünvan veriliyordu: “Tetragonidzein“.
Bu noktada bazı “Tetragonidzeinlerin” Pi sayısının yapısıyla ilgili yani dolayısıyla çemberi kareleme problemiyle ilgili bir kaç adımından da bahsetmekte fayda var. Heraclea’lı Antipton (İ.Ö.469-399) bir ilke geliştirdi; Tüketme İlkesi.
“Bir çemberin içine bir altıgen çizilir, sonra ikiye katlanır sonra tekrar ikiye. Bu böyle devam ettiğinde köşeler o kadar belirginsizleşir ki bir çember elde ederiz”. Daha sonra dostu Bryson bir çemberin içine bir altıgen yerleştirdi. Sonra da dışına bir altıgen yerleştirdi. İkisinin de alanını hesapladı. Savı şuydu, çemberin alanı bu iki değer arasında bir yerdedir. Arşimet tüketme ilkesinden yola çıkarak 96 kenarlı çokgen elde etti. Sonucunda da bu bulguyu “Çemberleri Ölçümü” kitabında yazdı: “Bir dairenin çevresinin çapına oranı 3 tam 1/7’den büyük 3 tam 10/71 den küçüktür.”
Bulduğu değerlerin ortalaması 3,1419’du. Bu adımlar Pi’nin “irrasyonel” yapısına ulaşmak adına önemli kademe taşlarıydı. Ahmes’i ve Arşimet’i takip eden binlerce yıl boyunca “çemberi kareleme” problemine yönelik sayısız çözüm ortaya çıktı. Üstelik bunlar sadece matematiksel çözümler de olmayacaktı.
Leonardo da Vinci’nin de çemberi kareleme problemine yönelik çalışmaları olduğu bilinmektedir. Ancak Leonardo da Vinci pergeli ve cetveli kullanarak matematiksel bir çözüme ulaşamamıştır. Bununla beraber bir çözüm iddiası ortaya atmıştır.
Daha çok felsefi bir çözüm gibi duran şu sözler kendisine atfedilmektedir. ” Çember doğal olandır, kare ise insanların yaratısıdır. Tanrının dünyayı düzenleme görevini verdiği insan çemberi kendi özünde kareler”. Ünlü “Vitruvian Man” adlı çiziminde belki de bu iddiasını ortaya koymaktadır. Burada “çemberi karelemek” doğayı insan eliyle düzenlemek anlamına gelen bir deyim olarak kullanılmıştır.
Bir Deyim Olarak Çemberi Karelemek
Halbuki Fransızca’ da “çemberi karelemek ” sonuçsuz bir çaba, yararsız, neticesi olmayan bir uğraş anlamına gelen bir deyim olarak kullanılmaktadır. Zira 1775 yılında Fransız Bilimler Akademisi “çemberi kareleme” problemine yönelik çözümleri artık değerlendirmeyeceğini ilan etmiştir.
İddianın yanlışlığı sezgisel olarak fark edilmekle beraber aksi ispat da ortaya konamıyordu. Bugün bile İngilizce ‘de yer alan “square the circle” deyimi çözümü mümkün olmayan bir problemi çözmeye uğraşmak anlamına gelmektedir. Ünlü İngiliz şair Alexandre Pope ise 1743’te Duncaid adlı şiirinde şöyle yazıyordu:
“Deli Mathesis hapsedilmemişti yalnız
Sadece zincirler değildi yeterli, dizginlemeye onu
Bazen bakardı semalara kendinden geçerek
Bazen koşardı peşinden çemberlerin, onu kareleyerek…”
Tarihi yaklaşık 3000 yılı bulunan çemberi kareleme yani Pi sayısının tam ve kesin değerine ulaşma problemini ünlü Alman Matematikçi Ferdinand von Lindeamann 1882 yılında çözüme kavuşturacaktı. Fakat bu hiç de öyle romantik bir çözüm olmayacaktı.
Zira Lindemann ispatında Pi sayısının transandant sayı olduğunu açıkladı. Bu sayının köküne ulaşmanın mümkün olmadığını dolayısıyla çemberi karelemenin mümkün olmadığını açıkça ortaya koyuyordu. Matematik, kendi tarihinde sorulmuş olan bu ilk soruya verdiği yanıtta, belki de şunu söylüyordu. Bazen çözümün olmaması da bir çözümdür.
Göz atmak isterseniz…
Matematiksel
