Matematik Öğrenelim

Newton ve Gregory Tartışması: Öpüşen Sayılar Problemi

1694 yılının Mayıs ayında, Cambridge Üniversitesi’nde bir ders salonunda, Isaac Newton ve astronom David Gregory, yıldızların hareketi ve doğası üzerine fikir alışverişine giriştiler. Ancak bu tartışma, evrenin sırlarını aydınlatmanın ötesine geçerek, yüzyıllar boyunca matematikçileri meşgul edecek bir matematik probleminin temelini attı.

Uzayda sabit noktadan eşit uzaklıktaki noktaların oluşturduğu cisme bildiğiniz gibi küre denir. Öpüşen sayı, merkezi bir küre etrafına birbirlerine ve ortadaki küreye değecek şekilde yerleştirilebilen aynı boyuttaki kürelerin sayısıdır.

Konu, farklı büyüklükteki yıldızların merkezi bir güneşin etrafında nasıl döneceğine dairdi. Ne yazık ki konuşmalarının detayları tam olarak kaydedilmediği için kesin bir bilgiye sahip değiliz. Ancak günümüze ulaşan, bu tartışmanın ilham verdiği daha genel bir sorudur. Merkezi bir küre etrafına, birbirine çakışmadan kaç tane özdeş küre yerleştirilir?

Üç boyutlu uzayda, merkezi bir kürenin etrafına 12 küreyi yerleştirerek her birinin merkezi küreye tek bir noktada dokunmasını sağlamak kolaydır. Ancak bu düzenleme, küreler arasında boşluklar bırakır. Peki, bu boşluklara bir 13. küre sığar mı? Gregory bunun mümkün olduğunu düşündü. Newton ise bunun imkansız olduğunu söyledi.

Daha sonra “öpüşen sayılar problemi” olarak adlandırılan bu soru, bilardo toplarının birbirine çarparken “öpüşmesi” metaforundan ilham almıştır. Bu problem, atomik yapıların analizinden hata düzeltme kodlarının oluşturulmasına kadar birçok farklı alanda kritik bir öneme sahiptir. Aynı zamanda, çözüme ulaşmanın zorluğu nedeniyle matematikçiler için oldukça meydan okuyucu bir problem olarak da ün kazanmıştır.

Öpüşen Sayılar Tartışmasını Kim Kazandı?

Matematikçilerin Newton’un haklı olduğunu kanıtlaması 1952 yılına kadar sürdü: Üç boyutlu uzayda maksimum “öpüşme sayısı” 12’dir. Ancak öpüşme problemi, yalnızca üç boyutla sınırlı değildir. Farklı boyutlardaki küreler için de aynı soruyu sormak mümkündür.

İki boyutta cevap oldukça basittir. Bir masanın üzerine bir madeni para koyun ve etrafına altı madeni parayı yerleştirin. Bu düzenleme, papatyaya benzer bir desen oluşturur ve madeni paralar birbirine sıkıca oturur. Ancak daha yüksek boyutlara geçildiğinde, problem çok daha karmaşık hale gelir.

Isaac Newton ve David Gregory Tartışması: Öpüşen Sayılar Problemi
Bu biçimde ancak 6 para sığdırabilirsiniz.

Bu problem, dört boyutta ve matematikçilerin küreleri kusursuz simetrik kafes yapılarında düzenleyebildikleri sekiz ve yirmi dört boyutta çözüme kavuşturulmuştur. Ancak diğer boyutlarda, küreler arasında daha fazla boşluk bulunması nedeniyle problem hâlâ çözülememiştir.

Bu boyutlarda matematikçiler, öpüşme sayısını kesin olarak belirlemek yerine alt ve üst sınırlar tahmin etmişlerdir. Ancak bu sınırlar genellikle birbirinden oldukça uzaktır.

Isaac Newton ve David Gregory Tartışması: Öpüşen Sayılar Problemi
Bu düzenleme biçiminde de tüm toplar merkezdeki topa temas etmektedir.

Matematikçiler, öpüşme sayısı tahminlerini geliştirmek için genellikle sekiz ve yirmi dört boyutta çözüme ulaşmalarını sağlayan sezgilere dayanır. Bu sezgiler, küreleri mümkün olduğunca simetrik bir şekilde düzenlemenin yollarını aramayı içerir. Ancak, en iyi düzenlemelerin daha karmaşık ve düzensiz olabileceği ihtimali de vardır. Bu, matematikte bazen geleneksel yaklaşımların ötesine geçmenin gerekliliğini ortaya koyar.

2022 yılının baharında, Massachusetts Teknoloji Enstitüsü’nde (MIT) matematik öğrencisi Anqi Li, bu karmaşık yapıların peşine düşerek farklı bir yaklaşım denemeye karar verdi. Bir ders projesi üzerinde çalışırken, şaşırtıcı derecede basit bir fikir ortaya attı. Bu fikir, kendisi ve profesörü Henry Cohn’un, 17 ile 21 arasındaki boyutlarda öpüşen sayıları tahmin etmede önemli bir ilerleme kaydetmesini sağladı.

Bu boyutlarda problem üzerinde 1960’lardan bu yana kaydedilen ilk ilerleme olarak kabul edilen bu çalışma, geleneksel simetrik yaklaşımların dışına çıkarak daha fazla düzensizlik eklemenin çözüm yollarına katkıda bulunabileceğini ortaya koydu. Anqi Li’nin bu çığır açan yöntemi, matematikte alışılmışın dışında düşünmenin ne kadar değerli olabileceğini bir kez daha kanıtladı.

Öpüşen Sayılar Problemi Neden Önemlidir?

Bir hata düzeltme kodu, bir mesajın iletimi sırasında bozulması veya bazı kısımlarının zarar görmesi durumunda bile, mesajın alıcı tarafından doğru bir şekilde anlaşılmasını sağlar. Bu kodlar, temel olarak bir dizi “kod kelimesinden” oluşur ve olası mesajların bir sözlüğü olarak düşünülebilir. Alıcı, bu sözlüğü bir anahtar gibi kullanarak bozulmuş mesajdan orijinal içeriği kurtarabilir.

Ancak kod kelimelerinin dikkatlice seçilmesi gerekir. Hata düzeltme işleminin başarılı olabilmesi için bu kod kelimeleri birbirinden yeterince farklı olmalıdır. Bu farklılık, alıcının hangi kod kelimesinin doğru mesaj olduğunu belirlemesine olanak tanır.

Matematikçiler, bu problemi genellikle küreler üzerinden görselleştirirler. Her bir kod kelimesini, yüksek boyutlu bir kürenin merkezinde yer alan bir nokta olarak düşünebilirsiniz. Ancak bu kürelerin birbirleriyle örtüşmemesi çok önemlidir.

Aksi takdirde, alınan bir mesaj birden fazla şekilde yorumlanabilir ve doğruluk kaybolabilir. Aynı zamanda, kürelerin birbirinden çok uzak olmaması da gereklidir. Küreleri mümkün olduğunca sıkıca yerleştirmek, iletişimin verimliliğini artırır ve hata düzeltme kapasitesini güçlendirir.

Sonuç olarak

Öpüşme problemi hâlâ pek çok gizemi barındırıyor. Son yıllarda matematikçiler, 5, 10 ve 11 boyutlarda simetri kurallarını esneterek veya tamamen kırarak yeni yapılar keşfettiler. Bu alışılmadık düzenlemeler, öpüşme probleminin gizemlerini çözmek için umut verici bir yol sunuyor.


Kaynaklar ve ileri Okumalar:

  • Mathematicians Discover New Way for Spheres to ‘Kiss’ Yayınlanma tarihi: 15 Ocak 2025. Kaynak site: Quanta Magazine. Bağlantı: Mathematicians Discover New Way for Spheres to ‘Kiss’
  • George G. Szpiro; Kepler’s Conjecture: How Some of the Greatest Minds in History Helped. Solve One of the Oldest Math Problems in the World; ISBN-10: 0471086010
  • Musin, Oleg. (2006). The Kissing Problem in Three Dimensions. Discrete & Computational Geometry. 35. 375-384. 10.1007/s00454-005-1201-3.
  • Twelve’s Company, Thirteen’s a Crowd; yayınlanma tarihi: 1 Ocak 2003; Bağlantı: https://plus.maths.org/

Size Bir Mesajımız Var!

Matematiksel, matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.

Matematiksel

Sibel Çağlar

Temel eğitimimi Kadıköy Anadolu Lisesinde tamamladım. Devamında Marmara Üniversitesi İngilizce Matematik Öğretmenliği bölümünü bitirdim. Çeşitli özel okullarda edindiğim öğretmenlik deneyiminin ardından matematiksel.org web sitesini kurdum. O günden bugüne içerik üretmeye devam ediyorum.

İlgili Makaleler

Bir yanıt yazın

E-posta adresiniz yayınlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

Başa dön tuşu