İlginç Sayılar

Newton ve Öpüşen Sayılar Problemi

Bu yazımızda öpüşen sayılardan bahsedeceğiz. Ancak en başta söyleyelim. Konu aklınıza gelen ilk şey ile kesinlikle ilgili değil. Uzayda sabit noktadan eşit uzaklıktaki noktaların oluşturduğu cisme küre denir. Öpüşen sayı, merkezi bir küre etrafına birbirlerine ve ortadaki küreye değecek şekilde yerleştirilebilen aynı boyuttaki kürelerin sayısıdır. İki boyutta bu sayı altıdır. Bunu bulmak için de cebinizdeki bozuk paralar ile aşağıdaki basit deneyi yapabilirsiniz. Ancak üç boyutta işler bu kadar kolay olmaz.

öpen sayılar
Bir tane bozuk parayı masanın üstüne koyun ve diğerlerini (aynı boyutta) onun çevresine, hepsi ilk paraya değecek biçimde yerleştirin. Bu biçimde ancak 6 para sığdırabilirsiniz.

Isaac Newton ve David Gregory Tartışması

1694’te, Cambridge Üniversitesinde o zamanın önde gelen iki bilim insanı olan Isaac Newton ve David Gregory arasında ünlü bir tartışma gerçekleşti. Anlaşmazlıkları yukarıda aktardığımız öpüşme sorunu ile ilgiliydi. Diğer bir deyişle, Newton ve Gregory, merkezi bir topla temas ettirilebilecek aynı yarıçapa sahip kürelerin sayısı hakkında tartışıyorlardı. Ancak tartışmaları topları değil, merkezde duran bir güneşin etrafında dönen çeşitli büyüklükteki yıldızların dağılımını içeriyordu.

Biraz önce bozuk paralar ile verdiğimiz örneği bu sefer bilardo topları ile düşünelim. Bir bilardo masasında en fazla altı top ortadaki bir topa dokunacaktır. Yedinci bir topa yer yoktur.

Müzakere sırasında, bir kürenin aynı büyüklükteki 13 başka küreyle temasa geçip geçemeyeceği sorusu ortaya çıktı. Ve fikirlerin ayrıldığı yer burasıydı. Newton öpme sayısının 12 olduğunu ileri sürdü. Gregory ise bu sayının 13 olduğunu söyledi. Aslında bu tartışmadan önce Kepler üç boyutlu uzayda merkezdeki bir küreye dokunan 12 tane küre olacağını söylemişti. Aşağıdaki şekle bakarak bu 12 küreyi görebilirsiniz. Peki ama neden 13 olmasın ki?

Bu düzenlemede tüm toplar merkezdeki topa temas eder ve birbirlerine de dokunurlar. Ancak 12 topun düzenlenme biçimi başka şekillerde de olabilir.

Aslında 12 küreyi paketlemenin başka bir yolu da vardır. Bu paketleme biçiminin nasıl olacağını kafanızda canlandırabilmek için bir futbol topunun üzerindeki siyah karelerin yerleştirilişini düşünün. Bu durumda küreler aşağıdaki gibi görünür. Bu tip bir paketlemeye ikozahedral düzenleme denir. Ancak bu tip bir düzenlemede 12 topun arasında boşluklar kalır. David Gregory bu boşluklara bir topun daha sığabileceğini düşünüyordu.

Bu düzenleme biçiminde de tüm toplar merkezdeki topa temas etmektedir.

Öpüşen Sayılar Tartışmasını Kim Kazandı?

En sonunda Newton’un haklı olduğu ortaya çıktı. Bu nedenle, merkezdeki bir topa dokunabilen en fazla sayıda top günümüzde genellikle Newton sayısı olarak adlandırılmaktadır. Ancak yaşamları boyunca bu iki adam doğru cevabı asla bilemediler. Çünkü onların tartışmalarının çözümü ancak 1953 yılında Bartel Leendert van der Waerden tarafından formüle edildi. Daha yakın zamanda, 2006 yılında, Oleg R. Musin tarafından modern bir ispat daha yapıldı. Detaylarda bulabileceğiniz bu ispatta öpüşen sayının kesinlikle 13 ten az olması gerektiği gösterildi. Anlayacağınız Newton bir kere daha kesinlikle haklıydı.

Kaynaklar ve ileri Okumalar:

  • Kissing Numbers – Numberphile; https://www.youtube.com
  • George G. Szpiro; Kepler’s Conjecture: How Some of the Greatest Minds in History Helped Solve One of the Oldest Math Problems in the World; ISBN-10: 0471086010
  • Oleg R. Musin; The Kissing Problem in Three Dimensions; https://link.springer.com/

Matematiksel

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak.

İlgili Makaleler

Başa dön tuşu