Temel Matematik

Hangi İşlem Sırası Bize Doğru Cevabı Verecek?

Sosyal medyada tartışmalar sıkça ortaya çıkar. Ancak bu tartışmanın aslında son derece basit bir matematik sorusu hakkında olması komiktir. Tartışmanın temel nedeni kapak görselinde gördüğünüz matematik işlemi. Cevap 1 mi yoksa 16 mı? Her iki cevabın da taraftarları çok ateşli. Üstelik bir hesap makinesi ile çözmek istediğiniz zamanlarda da karşınıza iki cevap çıkıyor. Sonuçta bir soru ve doğal olarak bir cevabı olması lazım. O zaman sorun nerede?

Bir işlem yapıyorsunuz ve iki farklı cevap çıkıyor, yoksa zannettiğimiz kadar kesinlik içermiyor mu bu matematik?

Sorun aslında iki tarafta da değil. Sorun sorunun iyi tanımlanmış olmamasında yatıyor. İyi tanımlanmış matematikte önemli bir terimdir. Esasen, belirli bir girdinin her zaman aynı çıktıyı verdiği anlamına gelir. Tüm matematik öğretmenlerinin hem fikir olduğu bir şey vardır. 8 ÷ 2( 2+2) işleminin cevabını farklı yerlere parantezler yazarak değiştirebiliriz.

Örneğin (8 ÷ 2) ( 2+2) biçiminde bir parantez yerleştirirsek cevabımız 16 çıkar. Ancak parantezi 8 ÷ ( 2( 2+ 2)) biçiminde yazarsak 8 ÷ 8 = 1 sonucuna ulaşırız. Fazladan parantezler belirsizliği ortadan kaldırır ve bu sayede sorumuz iyi tanımlanmış olur. Ancak asıl sorumuza geri dönersek, orijinalinde parantezimiz olmadığına göre hangi cevap doğrudur? diye soracaksınız. Aslında iki cevap da doğrudur. Yanlış cevap verilmesinin nedeni biraz da öğrenim biçiminiz ile ilişkilidir.

Sorununu Cevabı İşlem Sırasını Nasıl Öğrendiğiniz İle İlişkilidir

İngilizce dilinde eğitim veren okullarda işlem sırasını öğrencilerin akıllarında tutması için öğretmenler ders anlatırken tahtaya bazen PEMDAS ( Parantheses – Exponenets – Multiplication – Division – Additon – Subtraction / Parantez, üstler, çarpma, bölme, toplama, çıkarma ) bazen de BODMAS ( Brackets – Order – Division – Multıplication – Addition – Subtraction / Parantez, üstler, bölme, çarpma, toplama, çıkarma ) yazarlar.

Öğrencilere pratiklik kazandıracağını düşünerek yapılan bu kelimeler, ilerleyen zamanda, günümüzde gördüğünüz gibi, detaylar akıldan çıktığı için kafa karışıklığına neden olabilir. Her iki kısaltma da oldukça popülerdir ve şu anda dünya çapında bunun için bir standart yoktur. ( Türkçe ‘de böyle bir kısaltma olmaması aslında bizim için bir avantajdır. Ancak yabancı dilde eğitim veren bir okulda okuduysanız siz de bu kısaltmalardan birini muhtemel öğrenmişsinizdir.) Türkçe ‘de müfredatta işlem sırası şu şekilde verilir.

  • Eğer işlemimizde üslü ifadeler varsa önce bu üslü ifadelerin değerini bulup yerlerine yazmalıyız.
  • Devamında parantez içerisindeki işlemleri yapıp sonuçlarını bulmalıyız. Bulduğumuz sonuçları parantezli ifadelerin yerine yazmalıyız.
  • Bir sonraki sıra çarpma veya bölme işlemlerinindir. Çarpma veya bölme işlemlerinin sonuçlarını bulup, o işlemin veya işlemlerin yerlerine yazmalıyız. Eğer çarpma ve bölme işlemleri yan yana ise, aralarında başka bir işlem yoksa, soldan sağa doğru işlem yapmalıyız. Yani soldan sağa doğru çarpma ve bölmeden ilk hangisi varsa önce onu daha sonrada diğerini yapmalıyız.
  • En son sıra toplama veya çıkarma işleminindir. Toplama veya çıkarma işlemlerinin sonuçlarını bulup, o işlemin veya işlemlerin yerlerine yazmalıyız. Eğer toplama ve çıkarma işlemleri yan yana ise, aralarında başka bir işlem yoksa, soldan sağa doğru işlem yapmalıyız. Yani soldan sağa doğru toplama ve çıkarmadan ilk hangisi varsa önce onu daha sonrada diğerini yapmalıyız.

8 ÷ 2 (2 + 2) ile karşılaşan kişilerin hemen hemen hepsi önce parantez içinden başlanması gerektiğini kabul etti. Bu iyi haber :) Bu durumda parantezin içindeki sayının da 4 çıktığını düşünürsek soru 8 ÷ 2 × 4 seviyesine indi. Ve işler bu noktada karışmaya başladı elbette…

İşlem Sırasında Tanımımıza Göre Bölme Önceliklidir

Önce bölümü yaparsak, 4 × 4 = 16 alırız; önce çarpımı yaparsak, 8 ÷ 8 = 1 olur. Peki, ama hangisi doğru? Yukarıdaki 6. sınıf ders notunu anımsayalım. Ne deniyordu? “Eğer çarpma ve bölme işlemleri yan yana ise, aralarında başka bir işlem yoksa, soldan sağa doğru işlem yapmalıyız.” İşte bu sebepten dolayı cevaba 16 diyebiliriz. Ancak bu noktada yine size itiraz edenler çıkacaktır ve aslında haklılardır.

8 ÷ 2 (2 + 2) ifadesinde çarpmanın toplama üzerinde dağılma özelliğini uyguladığımızı düşünelim. Bu durumda işlemimiz 8 ÷ (4 + 4) olacaktır. İşlem sırası önce parantez der. Buna göre parantezin içini yaparsak 8 ÷ 8= 1 sonucunu elde ederiz. Bu bir sorundur. Sonucunda a(b) ifadesini (a x b) biçiminde düşünebiliriz. Ancak a(b) ifadesi için (ab) demek de yanlış değildir. Bu nedenle bir çok bilim insanı bu soruyu belirsiz olarak kabul ediyor ve bunun çözümü için de bize daha fazla parantez eklememizi öneriyor.


Sorunun Cevabını Hesap Makinaları Neden Farklı Buldu?

Son olarak akla gelen bir sorunun daha açıklamasını yapalım. Üstteki görselde gördüğünüz hesap makineleri neden iki farklı cevap verdi bize acaba? Benzer bir denemeyi biz de yaptık…

Soldaki ilk cevabın hatalı çıkmasının nedeni yazılımsal, yani bazı hesap makineleri boşluğu çarpma olarak algılamıyor ve sağda görebileceğiniz gibi illa çarpı işaretinin konmasını istiyor. Yazının başında örnek verdiğimiz iki hesap makinesi farklı markalardı. Onlar sadece problemle ilgili mevcut anlaşmazlığı yansıtıyorlardı. Bir gün matematik öğretmenlerinin hepsi bir cevap üzerinde birleşirse, programcılar da onları takip edeceklerdir.

Matematikçilerin uzlaşamadığı pek çok konu vardır. İşte size bir tartışma konusu daha en küçük doğal sayı kaçtır? İlginç bir biçimde dünyanın farklı yerlerinde bu soruya farklı cevaplar alırsınız. Kimisi için doğal sayılar 1 ile başlar, kimisi için de 0. Umarız bu açıklamalar tartışmaya son verir, hadi barışalım :)


Göz Atmak İsterseniz


Kaynaklar ve ileri okumalar için:


Dip Not:

Matematiksel, 2015 yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım

Matematiksel

Sibel Çağlar

Merhabalar. Matematik öğretmeni olarak başladığım hayatıma 2016 yılında kurduğum matematiksel.org web sitesinde içerikler üreterek devam ediyorum. Matematiğin aydınlık yüzünü paylaşıyorum. Amacım matematiğin hayattan kopuk olmadığını kanıtlamaktı. Devamında ekip arkadaşlarımın da dahil olması ile kocaman bir aile olduk. Amacımıza da kısmen ulaştık. Yolumuz daha uzun ama kesinlikle çok keyifli.
Başa dön tuşu