Sosyal medyada buna benzer başlıklarla mutlaka karşılaşmışsınızdır: “İnterneti ikiye bölen matematik sorusu” ya da “10 kişiden 9’u bu soruya yanlış cevap veriyor. Peki siz doğru yanıtı bulabilecek misiniz?”
Bu tür paylaşımların merkezinde genellikle sayılar, işlemler ve birkaç sembolden oluşan kısa bir soru yer alır. İlk bakışta basit görünürler. Hatta çoğu zaman ilkokul düzeyinde bir işlem gibi dururlar. Ancak tam da bu nedenle hızla yayılırlar. Çünkü insanlar cevabı hemen bulduklarını sanır, sonra yorumlarda bambaşka sonuçlarla karşılaşır.
Bu soruların altında genellikle uzun tartışmalar başlar. Farklı kişiler farklı sonuçlara ulaşır. Tartışma büyüdükçe mesele yalnızca işlemin cevabı olmaktan çıkar; insanların işlem önceliğini nasıl yorumladığına dair küçük bir karmaşaya dönüşür.
Bu, yıllardır internette dolaşan benzer sorulardan yalnızca biridir. Üstelik bu tür örnekler hâlâ pek çok kişinin kafasını karıştırmaya devam eder. Bu yazıda, internette sık sık karşımıza çıkan bu tür işlemlere nasıl yaklaşmanız gerektiğini mümkün olduğunca sade biçimde ele alacağız. .
İşlem Önceliği Nedir?
Türkçede soldan sağa doğru okuruz. Bu yüzden matematiksel işlemlere de aynı alışkanlıkla yaklaşmak bize doğal gelir. Ancak her dili aynı yönde ve aynı kuralla okuyamayız. Arapçayı ya da Çinceyi Türkçe okur gibi okuyamayacağımız gibi, matematiğin dilini de gündelik okuma alışkanlıklarımızla çözmeye çalışmamalıyız.
Aritmetikte bu kuralların en önemlilerinden biri işlem önceliğidir. İşlem önceliği, bir ifadede toplama, çıkarma, çarpma, bölme, parantez ya da üs alma gibi işlemler birlikte yer aldığında hangi işlemi önce yapmamız gerektiğini belirler.
Bu kuralı hatırlamak için farklı ülkelerde farklı kısaltmalar kullanılır. İngilizce konuşulan bazı ülkelerde öğrenciler BODMAS, PEMDAS, BEDMAS ya da BIDMAS gibi kısaltmalar öğrenir. Ancak bu kısaltmaların hepsi aynı temel düşünceye dayanır.
Eğer işlemde üslü ifadeler varsa önce onların değerini bulur ve yerlerine yazarız. Ardından parantez içindeki işlemleri çözeriz. Parantezlerin içini bitirdikten sonra çarpma ve bölme işlemlerine geçeriz. Bu iki işlem yan yana duruyorsa soldan sağa ilerleriz. Yani solda hangisi varsa önce onu yaparız.
Son olarak toplama ve çıkarma işlemlerini tamamlarız. Toplama ile çıkarma da yan yana gelirse yine soldan sağa doğru ilerleriz.
Bu nedenle bir işlemde hem toplama hem de çarpma varsa çarpma her zaman toplamadan önce gelir. İşlemlerin yazılış sırası bu kuralı değiştirmez. Örneğin şu iki ifadeyi düşünelim:
- (a) 3 × 4 + 2
- (b) 2 + 3 × 4
İşlem önceliğini uyguladığımızda bu iki ifade aynı sonucu verir. Her iki durumda da önce 3 × 4 işlemini yaparız ve 12 sonucunu buluruz. Ardından 12 + 2 işlemini yaparak 14’e ulaşırız.
Ancak ikinci ifade bazı kişileri yanıltır. Çünkü ifadeyi soldan sağa doğru çözmeye çalışırlar. Önce 2 + 3 = 5 yapar, sonra 5 × 4 işlemiyle 20 sonucuna ulaşırlar. Oysa bu sonuç yanlıştır. Hata, matematiksel ifadeyi günlük okuma alışkanlığıyla çözmeye çalışmaktan kaynaklanır.
İşlem Önceliğinde Parantez Her Şeyi Değiştirir
Parantezlerin kullanılması gereken yer burasıdır. Sonuçta bir dilde virgülü nereye yerleştirdiğimiz cümlenin Parantezleri, matematiğin noktalama işaretleri gibi düşünebiliriz. Parantezler, bir işlemin belirli bir bölümüne öncelik vermek için kullanılır. Bir ifadede parantez varsa, önce parantezin içindeki işlem yapılır. Yukarıdaki iki ifadeye bu kez parantez ekleyelim:
- (c) 3 × (4 + 2)
- (d) (2 + 3) × 4
Bu iki ifade artık birbirine denk değildir. Her iki durumda da parantezler bize önce toplama işlemini yapmamız gerektiğini söyler. Bu nedenle (c) ifadesinde önce 4 + 2 = 6 işlemini yapar, ardından 3 × 6 = 18 sonucuna ulaşırız. (d) ifadesinde ise önce 2 + 3 = 5 işlemini yapar, sonra 5 × 4 = 20 sonucunu buluruz.
Aslında ilk iki ifadede parantez kullanmak zorunlu değildi. Çünkü işlem önceliği zaten çarpmanın toplamadan önce yapılacağını belirtiyordu. Yine de bazen parantez kullanmak, özellikle karışıklığı önlemek için yararlıdır. Parantez, okura “buradan başlamalısın” diyen açık bir işaret gibi çalışır.
İşlem Önceliği Yetmez! Bazı Kuralları da Bilmek Lazım
İşlem önceliğini bilmek, bu tür soruları çözmek için büyük ölçüde yeterlidir. Ancak bazı durumlarda matematikteki değişme ve birleşme özelliklerini de hesaba katmak gerekir.
Bir işlemde sayıların yerini değiştirdiğimizde sonuç değişmiyorsa, bu işlem değişme özelliğine sahiptir. Toplama bu özelliği taşır. Çünkü a + b ile b + a aynı sonucu verir. Çarpma da aynı şekilde değişme özelliğine sahiptir. 3 × 4 ile 4 × 3 arasında sonuç bakımından fark yoktur.
Ancak çıkarma ve bölme böyle davranmaz. Çünkü a – b ile b – a genellikle aynı sonucu vermez. Benzer biçimde a ÷ b ile b ÷ a da çoğu zaman farklı sonuçlar üretir.
Gündelik dilde de buna benzer durumlarla karşılaşırız. “Portakal suyu ve soda” dediğimizde, sırayı değiştirmek genellikle anlamı bozmaz. Ama “önce kapıyı aç, sonra dışarı çık” cümlesinde sırayı değiştiremeyiz. Çünkü “önce dışarı çık, sonra kapıyı aç” dediğimizde anlam değişir.
Bir de birleşme özelliği vardır. Bir işlem, arka arkaya birkaç kez kullanıldığında hangi ikiliyi önce yaptığımız sonucu değiştirmiyorsa, bu işlem birleşme özelliğine sahiptir. Toplama ve çarpma bu özelliği taşır. Örneğin a + b + c ifadesinde önce a + b işlemini yapmakla önce b + c işlemini yapmak sonucu değiştirmez.
Ama çıkarma ve bölme için aynı şeyi söyleyemeyiz. Örneğin a – b – c ifadesinde işlem sırası önemlidir. Bu tür ifadelerde soldan sağa doğru ilerleriz. Basit bir örnek bunu hemen gösterir:
- (3 – 2) – 1 = 0
- 3 – (2 – 1) = 2
Gördüğünüz gibi parantezin yeri sonucu değiştirir. Bu yüzden çıkarma ve bölme içeren ifadelerde işlemleri rastgele gruplayamayız.
Peki Baştaki Sorunun Cevabı Nedir?
Bu ifade, yazılış biçimi nedeniyle birden fazla biçimde yorumlanabilir. Bazı kişiler cevabın 1 olduğunu savunur. Bazıları ise 9 sonucuna ulaşır. Sorun, ifadenin yeterince açık yazılmamış olmasıdır.
Önce parantezin içindeki işlemi yaparız: 1 + 2 = 3. Bu durumda ifade şöyle görünür: 6 ÷ 2(3). Buradan sonra bazı kişiler soldan sağa doğru ilerler. Önce 6 ÷ 2 = 3 işlemini yapar, sonra 3 × 3 = 9 sonucuna ulaşır.
Ancak başka bir yorum daha vardır. Bazı matematikçiler, 2(1 + 2) ifadesini tek bir bütün olarak görür. Bu durumda önce 2(1 + 2) hesaplanır: 2(1 + 2) = 2 × 3 = 6. Sonra işlem şu hale gelir: 6 ÷ 6 = 1
Bu yüzden asıl problem cevapta değil, sorunun yazılışındadır. ÷ işareti burada belirsizliği artırır. Matematikçiler bu tür ifadelerde genellikle ÷ işaretini kullanmaz. Onun yerine kesir çizgisi ve parantezlerle daha açık bir gösterim tercih eder.
- Eğer anlatmak istediğimiz işlem şuysa: (6 ÷ 2)(1 + 2) cevap 9 olur.
- Ama anlatmak istediğimiz işlem şuysa: 6 ÷ [2(1 + 2)] cevap 1 olur.
Sonuç Olarak
İnternette dolaşan bu tür sorular matematiksel becerilerimizi tazelemek için eğlencelidir. Ancak bazı kişiler bu soruları özellikle kafa karıştıracak biçimde hazırlar.
Bir daha sosyal medyada buna benzer bir işlem gördüğünüzde önce işlem önceliğini hatırlayın. Eğer sonuç hâlâ netleşmiyorsa hemen kendinizden şüphe etmeyin. Büyük olasılıkla biri matematiksel ifadeyi yeterince açık yazmamıştır.
Kaynak ve ileri okumalar: Your guide to solving the next online viral maths problem. Yayınlanma tarihi: 18 Haziran 2017; Bağlantı: https://doi.org/10.64628/AA.a9xp6p9kw
Matematiksel
