Günlük Hayatımızda Matematik

Sabun Köpüklerinin Matematiği ve Pla­teau Kanunları

Yüzyıllar boyu matematikçiler doğanın tasarım ustalığını açıklayan bir dizi kural bulmayı ummuşlardır. İşte bu umudun peşinde koşarken karşılarına sabun köpükleri ve onları anlamamızı sağlayan Pla­teau Kanunları çıkmıştır. Sabun köpükleri sabunlu suyun içi boş bir küre oluşturacak şekilde havayı çevrelemesiyle oluşur. Yanardöner bir yüzeye sahip olan son derece ince tabakalardır. Sabun moleküllerinin katmanları arasındaki su buharlaştığında kendiliğinden er yada geç patlarlar. Soğuk bir kış gününde oluşturulan sabun köpükleri ise daha uzun süre dayanma eğilimindedir çünkü buharlaşma daha yavaştır ve hatta kabarcıklar donabilir.

Bir baloncuğun şeklini anlamanın anahtarı yüzey gerilimidir. Yüzey gerilimi, bir sıvının molekülleri arasındaki kohezif (çekici) kuvvet nedeniyle ortaya çıkar. Bir sıvı molekülü etrafındaki değer moleküller tarafından her yönden eşit olarak çekilir, bu nedenle üzerine etki eden net kuvvet sıfırdır. Ancak yüzeyde, moleküller sadece yanlara ve aşağıya doğru çekilir. Bu durumda da sıvının yüzeyi esnek bir zar görünümünde olur. Suya suya sabun eklediğiniz zamanda da yüzey gerilimi azalır ve hava bu sabunlu su katmanında hapsolur. Ve sabunlu su katmanı her zaman küresel bir form alır.

Hava kabarcıklarında içerine hapsolmuş hava molekülleri ile dışarıdaki hava molekülleri arasında bir etkileşim vardır. Bu ikisi arasında arasında zıt dengeli bir baskı söz konusudur. İçerideki hava molekülleri dışarıdakiler ile teması minimumuma indirebilecek şekilde kümelenirler. Sonuç olarak ortaya çıkan şekil küreseldir.

Sabun Köpükleri Neden Küresel Bir Form Alır?

Üçgen ya da kare biçimli bir baloncuk yaratabilseydik izlemesi keyifli olabilirdi ama bu mümkün değildir. Doğadaki her şey gibi, sabun köpükleri de mümkün olan en düşük enerjiyi harcayacak biçimde olma eğilimi gösterirler. Yüzeydeki gerilimi en aza indirmek içinde hacmi çevreleyen yüzey alanını azaltmak gerekir. Küreden başka hiçbir şekil, daha küçük bir yüzey alanına sahip belirli bir hacmi kapsamaz. Bunu şöyle açıklayabiliriz. Elimizde hacmi santimetreküp olan bir olan bir küremiz ve aynı hacimde beş Platonik katımız olsun. Küremizin yüzölçümü 48.4 santimetrekare olacaktır. Oysa ki tetrahedron (4 yüzlü) 71.1, küp (6 yüzlü) 60.0, oktahedron (8 yüzlü) 57.2, Dodekahedron ( 12 yüzlü) 53.2 ve ikosahedron (20 yüzlü) 51.5 santimetre kare yüzey alanına sahip olacaktır. Şekil dikkat ettiyseniz küreye yaklaştıkça yüzey alanı küçülmektedir.

Baloncukların neden küreler olduğunun mantığını ve fiziği takip etmek zor değildir. Ancak kürenin belirli bir hacim için minimum alana sahip yüzey olduğunu matematiksel olarak kanıtlamak şaşırtıcı derecede zordur. Aslında tam bir kanıt 1884 gibi yakın bir tarihte gelmiştir. Bunu anlamak için öncelikle biraz tarihe yolculuk yapmak gerekir.

Kraliçe Dido Problemi

Roma mitolojisine göre Dido, Sur şehrinden Fenikeli bir prensestir. Kral olan kardeşi, kocasını öldürdü­ğünde şehirden kaçar ve Kuzey Afri­ka’da, ileride Kartaca adını alacak olan yere ulaşır. Bu bölgenin kralı, onun ve insanlarının yerleşebilmeleri için toprak satın almalarına izin verir. Fakat bu toprak yalnızca bir öküz derisinin kaplayabileceği büyüklükte olmalıdır. Bunun üzerine Dido kendisine verilen deriyi ince şerit­ler halinde kestirip bunları birbirine bağlatır ve uzun bir kordon elde eder. Sıra bu kordonu, en geniş alanı kaplayacak şekilde yere yaymaya gel­miştir. Dido’nun şu problemle karşı karşıyadır artık: Ka­palı eğriler arasında, en geniş iç böl­geye sahip olanı bulmak. Anlatılan­lara göre, Dido doğru seçimi kısa zamanda yapmış ve eşit çevre uzunluğuna sahip düzlemsel şekiller arasında en fazla alanın daireye ait olduğunu görmüştür. Ancak matematikçiler için bu iş o kadar kolay olmaz.

kraliçe dido problemi

Yukarıda aktardığımız problem çözüldüğümü çözülemedi mi emin olamasak da Dido problemi 19. yüzyılını başında Jakob Steiner’ın konuyu ele almasına kadar tam olarak cevaplanamamıştı. Devamında başka matematikçiler Steiner tarafından ortaya atılan fikirleri geliştirdiler ve sonucunda Belçikalı fizikçi Joseph Plateau konu ile ilgili bir dizi yasa geliştirdi.

Pla­teau kanunları

Pla­teau kanunları

Plateu’nun yaptığı deneysel çalışmalar onu dört basit sonuca ulaştırmıştı.

  • Bir sabun köpüğünün zarı düzgün parçalar topluluğun­dan oluşur.
  • Her bir düzgün parçanın ortalama eğriliği (yani yüzeyle­rinin ortalama eğimi) sabittir.
  • Üç sabun baloncuğunun yüzeyleri, birleştikleri yerde düzgün bir eğri meydana geti­rir ve 120 derecelik bir açıyla her bir yüzeyi böler.
  • Ortaya çıkan altı eğri bir­birlerine yaklaştıkları yerde bir nokta oluştururlar ve bu nokta­da her çift eğri arasındaki açı eşittir (yaklaşık 109 derecedir).

Bu kurallar dizisi, ne kadar karmaşık olurlarsa olsun, tüm sabun baloncuklarının geometrik özelliğini açıklamaktadır. Plateau kendi kurallarına aykırı düşen baloncuk bulmak için çok uğraşmıştı. Ancak her seferinde elde et­tiği sonuçlar, ortaya koyduğu kurallarla tam bir uyum göstermişti. Kısacası sa­bun köpükleri, her koşulda minimal ala­nı kaplayan doğanın harika oyuncak­larıydı.

Kaynaklar ve İleri Okumalar:

Matematiksel

Kaynak
Han Nazmi Özsöylev, Sabun Baloncukları İle Deneysel Matematik,Bilim Teknik Haziran 1998

Sibel Çağlar

Yola Kadıköy Anadolu Lisesi ile başladım. Ardından gelen tesadüfler, zamanında pek de sevmediğim, matematik ile yolumu kesiştirdi. Sonucunda Marmara Üniversitesinde İng. Matematik öğretmenliğinden mezun oldum. Zaman akıp gitti; bu süreçte ben de çeşitli özel eğitim kurumlarında matematik öğretmenliği ve eğitim koordinatörlüğü yaptım. Bu esnada da bol bol matematik ile ilgili serzenişlere şahit oldum. Ne yapmalı diye düşünürken, aklıma bu site fikri geldi. 2015 yılında matematiksel.org web sitesini kurdum. Amacım bilime ve özelinde matematiğe ilgiliyi arttırmaktı. Matematiğin hayattan kopuk olmadığını kanıtlamaktı. Devamında ekip arkadaşlarının da dahil olması ile kocaman bir aile olduk. Yolumuz uzun ama kesinlikle çok keyifli.

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak.

Başa dön tuşu