Sabun Köpükleri ve Geometri

Yüzyıllar boyu matematikçiler doğanın tasarım ustalığını açıklayan bir dizi kural bulmayı ummuşlardır. İşte bu umudun peşinde koşarken karşılarına çıkar sabun köpükleri…

Aslında bu serüvenin başlangıcı çok eskilere dayanır…

Roma mitolojisine göre Dido, Sur şehrinden Fenikeli bir prensestir. Kral olan kardeşi, kocasını öldürdü­ğünde şehirden kaçar ve Kuzey Afri­ka’da, ileride Kartaca adını alacak olan yere ulaşır. Bu bölgenin kralı, onun ve insanlarının yerleşebilmeleri için toprak satın almalarına izin verir. Fakat bu toprak yalnızca bir öküz derisinin kaplayabileceği büyüklükte olmalıdır…

Bunun üzerine Dido kendisine verilen deriyi ince şerit­ler halinde kestirip bunları birbirine bağlatır ve uzun bir kordon elde eder. Sıra bu kordonu, en geniş alanı kaplayacak şekilde yere yaymaya gel­miştir.

kraliçe dido problemi

Dido’nun şu problemle karşı karşıyadır artık: Ka­palı eğriler arasında, en geniş iç böl­geye sahip olanı bulmak…

Anlatılan­lara göre, Dido doğru seçimi kısa zamanda yapmış ve eşit çevre uzunluğuna sahip düzlemsel şekiller arasında en fazla alanın daireye ait olduğunu görmüştür.

Ancak matematikçiler için bu iş o kadar kolay olmaz.

M.ö. 3 yy civarında Yunanlı matema­tikçi Zrnodoros, bu konuda ilk girişi­mi yapmakla beraber, kanıtı bazı açıklar içermektedir. Bu açıklar ise an­cak 19. yüzyılda Alman matematikçi Weierstrass tarafından kapatılabilmiştir.

Bu problemin üç boyutlusu olan, verilen bir hacim için en az yüzey ala­nına kürenin sahip olduğu gerçeğini kanıtlamak daha zordur. İlk olarak Arşimet bu konuyu incelese de kanıt 1882 yılında Alman matematikçi Hermaun Amandus Sekmen tarafından yapılabilmiştir.

Konumuza dönmek için, size Pla­teau kanunlarından bahsetmemiz gerekir.

Pla­teau kanunları, aslında tek bir prensi­bin sonucunda doğmuştur: Verilen bir hacim için en küçük yüzey alanı­nı veren şekiller, sabun baloncukları­na benzerler.

sabun köğüğü

19. yüzyıl boyunca Belçikalı fizikçi Josefih Plaleau sabun baloncukları­nın yapısı ve özellikleri üzerine pek çok deney yürütmüş ve dört basit so­nuca ulaşmıştır.

  • Bir sabun köpüğünün zarı düzgün parçalar topluluğun­dan oluşur.
  • Her bir düzgün parçanın ortalama eğriliği (yani yüzeyle­rinin ortalama eğimi) sabittir.
  • Üç sabun baloncuğunun yüzeyleri, birleştikleri yerde düzgün bir eğri meydana geti­rir ve 120 derecelik bir açıyla her bir yüzeyi böler.
  • Ortaya çıkan altı eğri bir­birlerine yaklaştıkları yerde bir nokta oluştururlar ve bu nokta­da her çift eğri arasındaki açı eşittir (yaklaşık 109 derecedir).

Sabun zarlarını model alan matematiksel yüzeyler, en küçük alana sahip yüzeylerdir. Matematik­çilerin deyimiyle, minimal yüzeyler­dir. İşte bu nedenledir ki, sabun ba­loncukları “minimum-maksimum” problemleri için müthiş bir malze­medir.

Han Özsöylev

Sitemize kısaltılarak eklenmiştir. Bütün haliyle incelemek için burayı kullanabilirsiniz.

Editör

Bu yazı gönüllü yazarlarımız tarafından hazırlanmış veya sitemiz editörleri tarafından belirtilen kaynaktan aslına uygun kalınarak eklenmiştir.

İlgili Makaleler

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.

Başa dön tuşu
Kapalı