Yüzyıllar boyu matematikçiler doğanın tasarım ustalığını açıklayan bir dizi kural bulmayı ummuşlardır. İşte bu umudun peşinde koşarken karşılarına çıkar sabun köpükleri ve onları anlamamızı sağlayan Plateau Kanunları. Aslında bu serüvenin başlangıcı çok eskilere dayanır…
Kraliçe Dido Problemi
Roma mitolojisine göre Dido, Sur şehrinden Fenikeli bir prensestir. Kral olan kardeşi, kocasını öldürdüğünde şehirden kaçar ve Kuzey Afrika’da, ileride Kartaca adını alacak olan yere ulaşır. Bu bölgenin kralı, onun ve insanlarının yerleşebilmeleri için toprak satın almalarına izin verir. Fakat bu toprak yalnızca bir öküz derisinin kaplayabileceği büyüklükte olmalıdır…
Bunun üzerine Dido kendisine verilen deriyi ince şeritler halinde kestirip bunları birbirine bağlatır ve uzun bir kordon elde eder. Sıra bu kordonu, en geniş alanı kaplayacak şekilde yere yaymaya gelmiştir. Dido’nun şu problemle karşı karşıyadır artık: Kapalı eğriler arasında, en geniş iç bölgeye sahip olanı bulmak…
Anlatılanlara göre, Dido doğru seçimi kısa zamanda yapmış ve eşit çevre uzunluğuna sahip düzlemsel şekiller arasında en fazla alanın daireye ait olduğunu görmüştür. Ancak matematikçiler için bu iş o kadar kolay olmaz.
Bu problemin üç boyutlusu olan, verilen bir hacim için en az yüzey alanına kürenin sahip olduğu gerçeğini kanıtlamak daha zordur. İlk olarak Arşimet bu konuyu incelese de kanıt 1882 yılında Alman matematikçi Hermann Amandus Sekmen tarafından yapılabilmiştir. Konumuza dönmek için, size Plateau kanunlarından bahsetmemiz gerekir.
Plateau kanunları
Plateu kanunları, 19. yüzyılda Belçikalı fizikçi Joseph Plateau tarafından ortaya konmuştur. Plateu’nun yaptığı deneysel çalışmalar onu dört basit sonuca ulaştırmıştır.
- Bir sabun köpüğünün zarı düzgün parçalar topluluğundan oluşur.
- Her bir düzgün parçanın ortalama eğriliği (yani yüzeylerinin ortalama eğimi) sabittir.
- Üç sabun baloncuğunun yüzeyleri, birleştikleri yerde düzgün bir eğri meydana getirir ve 120 derecelik bir açıyla her bir yüzeyi böler.
- Ortaya çıkan altı eğri birbirlerine yaklaştıkları yerde bir nokta oluştururlar ve bu noktada her çift eğri arasındaki açı eşittir (yaklaşık 109 derecedir).
Bu kurallar dizisi, ne kadar karmaşık olurlarsa olsun, tüm sabun baloncuklarının geometrik özelliğini açıklamaktadır. Plateau kendi kurallarına aykırı düşen baloncuk bulmak için çok uğraşmıştır. küp, sekizyüzlü gibi çok sayıda şekli sabun köpüklerine batırarak farklı zarlar elde etmiştir.
Ancak her seferinde elde ettiği sonuçlar, ortaya koyduğu kurullarla tam bir uyum göstermiştir. Plateau kanunları, aslında tek bir prensibin sonucunda doğmuştur: Verilen bir hacim için, en küçük yüzey alanını veren şekiller, sabun baloncuklarına benzerler.
Kısacası, sabun zarlarını model alan matematiksel yüzeyler, en küçük alana sahip yüzeylerdir. Diğer bir deyişle, minimal yüzeylerdir. Yani sabun zarları, her koşulda minimal alanı kaplayan doğanın harika oyuncaklarıdır.
Matematiksel
