Geometri

Pick Teoremi: Noktaları Sayarak Alan Hesaplamak Mümkün!

Geometride alan konusu işlenirken üçgen, dikdörtgen ve daire gibi temel şekillerin alanını öğretiriz. Ancak hesaplanması gereken alan daha karmaşık bir şekil olunca standart bir uygulama olarak şekli daha küçük temel parçalara bölerek bu alanların toplamından aranan alanı bulmaya çalışırız. Ancak aslında 1899’da onu keşfeden Avusturyalı matematikçi Georg A. Pick’in (1859–1942) adını taşıyan, Pick teoremi adında çok daha basit bir yöntem daha var. Bu yöntemi daha çok seveceğinizi düşünüyoruz. Bundan böyle alan bulmak için sadece nokta saymak yeterli olacaktır. Bir örnek üzerinden gidelim. Aşağıdaki mavi kenarlı çokgenin ( sağ tarafta gözüken) alanı kaç birim karedir?

Böyle bir soruyla karşılaştığımızda ilk aklımıza gelen çözüm az evvelde dediğimiz gibi şekli alanını kolaylıkla hesaplayabileceğimiz çokgenlere ayırarak bunları tek tek toplamaktır. ( Bunun nasıl yapıldığını solda görebilirsiniz.) Geleneksel çözümle şekli içten parçalara ayırarak alanları toplamak suretiyle; Alan=1+1+2+1+9+1,5+0,5=16 birim kare olur. Pick tarafından ortaya atılan yöntemle ise şu şekilde bulabiliriz. Çokgenin içindeki noktaların sayısı 12, çokgenin kenarları üzerindeki noktaların sayısı ise 10 dur. Alan= İç noktalar + Kenar üzerindeki noktaların yarısı -1 kadardır. Buna göre Alan= 12+5-1=16 birim kare olur.

Peki nasıl olur da herhangi! bir çokgenin alanı sadece noktalar sayılarak bulunabilir? Teoremin işlemesi için çokgenin köşeleri noktalar üzerinde olacak ve çokgenin bir kenarı diğer kenarını kesmeyecek. Bu şartlar sağlandığı sürece bu teoremi kullanabiliriz. Bu kısıtlamaların teoremin güzelliğinden ve şaşırtıcılığından bir şey eksilteceğini düşünmüyorum. Umarım aynı fikirdeyizdir.

Pick Teoremi neden doğrudur?

Elimizde var olan çokgeni temel üçgenlere ayıralım ( Temel üçgen köşeleri noktalarda olan, iç bölgesinde ve kenarlarında başka noktalar barındırmayan üçgenlerdir.)

Pick Teoremi

Çokgen N tane temel üçgenden oluşmuş olsun. Bu üçgenlerin iç açıları ölçüleri toplamı N.180 olacaktır. Şimdi bu açı toplamını bir de üçgenlerden faydalanarak yapalım. Yukarıdaki şekle dikkatlice bakarsak çokgenin içindeki noktaların (bunlara iç noktalar diyelim ve sayısını İ harfiyle gösterelim) etrafında oluşan her bir açı aynı zamanda içerideki üçgenlerin bir açısına denk gelmektedir. O halde her bir iç noktadan 360 derece gelecektir.

İ tane olduğundan toplam 360İ derece gelir. Çokgenin köşeleri ve kenarlar üzerindeki noktalara bakarsak köşe hariç her bir noktadan 180 derece gelecektir. Köşe noktaları da buna dahil ederek her birinden 180 derece gelecek şekilde hesaplayıp sonrasında fazlalık olanları çıkarmak suretiyle bu temel üçgenlerin iç açıları ölçüleri toplamına ulaşabiliriz. Köşe noktalarındaki fazlalık açıların toplamı bu çokgenin dış açıları ölçüleri toplamıdır. Bu da tüm çokgenler için sabit ve 360 derecedir. Dolayısıyla kenar  ve köşelerden toplam 180.K-360 derece gelir (K kenar ve köşe üzerindeki noktaların toplam sayısını göstersin). O halde N.180 = 360.İ + 180.K – 360 her tarafı 360’a bölersek; N/2= İ + K/2 1 formülü ortaya çıkar. Biraz daha toparlarsak bir temel üçgenin alanı 1/2 birim karedir. Tüm çokgen N tane temel üçgenden oluştuğuna göre çokgenin alanı N.1/2 birim kare olmuş olur. Buradan da çokgenin alanının; Alan: İ + K/2 – 1 olduğu sonucuna ulaşmış oluruz.

İzlemek isterseniz

Kaynakça:

  • Ball, K. (2017). Garip Eğriler, Tavşanları Saymak ve Diğer Matematiksel Keşifler. (Boğaç Karçıka)(1.baskı) Ankara: Tübitak Yayınları
  • Raman, M.,Ohman L&D. Two Beautıful Proof’s of Pıck’s Theorem. https://pdfs.semanticscholar.org/

Matematiksel

Aykut Çelikel

İzmir Anadolu Öğretmen Lisesi 2007, Dokuz Eylül Üniversitesi Matematik Öğretmenliği Bölümü 2012 mezunuyum. MEB'de görev yapmaktayım. Matematik yapmaktan ve de hakkında yazmaktan keyif alan bu adamın bir hayali de öğrencileriyle birlikte Euclid'in muhteşem eseri olan Stoikheia(Elemanlar)'ı okumak.