Pick Teoremi, sadeliğiyle dikkat çeken güzel bir sonuçtur ve bir kalemle kareli kâğıt üzerinde kolayca denenebilir. Pick teoremi, geometrik problemlerin basit sayma yöntemleriyle nasıl çözülebileceğini gösteren çarpıcı bir örnek olarak bugün hâlâ öğretilmektedir.
Geometride alan konusu anlatılırken genelde üçgen, dikdörtgen ve daire gibi temel şekillerin alan formülleri öğretilir. Daha karmaşık bir şeklin alanını bulmak gerektiğinde ise standart yaklaşım, şekli daha küçük ve bilinen parçalara bölmek ve bu alanların toplamını almaktır.
Ancak bazı durumlarda şekli uygun parçalara ayırmak pratik ya da kolay olmaz. İşte bu noktada Pick teoremi devreye girer. Kareli kâğıt üzerindeki tüm köşeleri ızgara noktalarına oturan çokgenler için Pick teoremi, içteki ve sınırdaki nokta sayılarına bakarak alanı basit bir formülle hesaplamayı sağlar.
Pick Teoremi Nedir?
Eşit aralıklı bir ızgara üzerine tüm köşeleri ızgara noktalarına denk gelen basit bir çokgen çizin. Pick Teoremi, bu çokgenin alanını şu formülle verir: A = i + b/2 − 1. Burada A alanı, i çokgenin içindeki nokta sayısını, b ise kenar üzerindeki nokta sayısını ifade eder. Ancak bu formül, delikli çokgenlerde geçerli değildir.
Avusturyalı matematikçi Georg Pick bu teoremi 1899’da yayımladı. Pick’in çalışmaları yalnızca geometriyle sınırlı değildi; 1911’de Albert Einstein’ı önemli matematikçilerle ve onların kuramlarıyla tanıştırarak genel görelilik kuramının gelişmesine dolaylı katkı sağladı. Ancak Pick’in yaşamı trajik bir şekilde sona erdi. 1938’de Avusturya’nın işgalinden sonra Yahudi kimliği nedeniyle Prag’a kaçtı, fakat 1942’de Theresienstadt toplama kampına gönderildi ve orada yaşamını yitirdi.
Matematikçiler, Pick teoreminin üç boyutlu bir karşılığının olmadığını, yani bir çokyüzlünün hacmini yalnızca içindeki ve yüzeyindeki nokta sayılarını sayarak bulmayı sağlayan benzer bir formül olmadığını ortaya koymuşlardır.
Buna karşın, Pick teoremi pratikte oldukça kullanışlıdır. Örneğin, harita üzerindeki bir bölgenin alanını yaklaşık olarak belirlemek için, bölgeyi bir çokgenle temsil edip ızgaralı kâğıt üzerinde Pick teoremini uygulayabiliriz. Bir örnek üzerinden gidelim. Aşağıdaki mavi kenarlı çokgenin ( sağ tarafta gözüken) alanı kaç birim karedir?
Geleneksel yöntemde şekil içten bölünerek alanlar toplanır: Alan = 1 + 1 + 2 + 1 + 9 + 1,5 + 0,5 = 16 birim kare. Pick teoremi ise daha farklı bir yaklaşım sunar. Alanı bulmak için yalnızca iç ve kenar noktalarını saymak yeterli olacaktır.
Formül, Alan = iç noktalar + (kenar üzerindeki noktalar / 2) – 1 biçimindedir. Bu çokgen için içte 12 nokta, kenarda 10 nokta vardır. Bu durumda, Alan = 12 + 5 – 1 = 16 birim kare olur.
Pick Teoremi Neden Doğrudur?
Elimizdeki çokgeni temel üçgenlere ayıralım. Burada temel üçgen, köşeleri ızgara noktalarında olan ve içinde ya da kenarında başka nokta bulunmayan üçgen olarak tanımlanır.
Varsayalım ki çokgen N tane temel üçgenden oluşuyor. Her bir üçgenin iç açıları toplamı 180 derece olacağı için tüm üçgenler için toplam iç açı ölçüsü N × 180 olur. Şimdi bu toplamı farklı bir şekilde hesaplayalım. Şekle dikkat edersek, çokgenin iç noktaları (sayısı İ olsun) çevresinde oluşan her bir açı, temel üçgenlerden birinin açısına karşılık gelir. Her iç nokta 360 derece katkı yapar. İ tane iç nokta olduğundan toplam katkı 360 × İ olur.
Kenarlar ve köşelerdeki noktalar (sayısı K olsun) biraz farklıdır. Kenar veya köşe üzerindeki her nokta (köşe dahil) ortalama 180 derece katkı sağlar. Ancak köşe noktalarında bir fazlalık vardır. Çünkü oradaki açıların toplamı çokgenin dış açıları toplamına eşittir ve bu da her zaman 360 derecedir.
Dolayısıyla kenar ve köşe noktalarından gelen toplam açı 180 × K – 360 olur. Bu iki parçayı topladığımızda tüm üçgenlerin açı toplamını elde ederiz: N × 180 = 360 × İ + 180 × K – 360. Her iki tarafı 360’a bölersek daha basit bir ilişki ortaya çıkar N/2 = İ + K/2 – 1.
Sonuç Olarak;
Biraz daha toparlarsak bir temel üçgenin alanı 1/2 birim karedir. Tüm çokgen N tane temel üçgenden oluştuğuna göre çokgenin alanı N.1/2 birim kare olmuş olur. Buradan da çokgenin alanının; Alan: İ + K/2 – 1 olduğu sonucuna ulaşmış oluruz.
Son yıllarda Pick teoremi farklı şekillere, daha genel çokgenlere, daha yüksek boyutlu yapılara ve kare dışındaki ızgara sistemlerine genelleştirilmeye çalışılmıştır. Bu teorem, klasik Öklid geometrisi ile modern dijital (ayrık) geometri arasında bir köprü işlevi görür.
Yazımızın sonunda göz atmak isterseniz: Gauss Ayakkabı Bağcığı Yöntemi İle Alan Hesaplamasını Öğrenelim!
Kaynaklar ve ileri okumalar:
- Ball, K. (2017). Garip Eğriler, Tavşanları Saymak ve Diğer Matematiksel Keşifler. (Boğaç Karçıka)(1.baskı) Ankara: Tübitak Yayınları
- Sundström, Manya and Lars–Daniel Öhman. “Two beautiful proofs of Pick’s theorem.” (2011).
- Dubeau, François & Labbé, Sébastien. (2005). A general form of Pick’s theorem. International Journal of Pure and Applied Mathematics. 18.
Size Bir Mesajımız Var!
Matematiksel, matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.
Matematiksel
