“Nasıl olur da ölçekli bir kağıda çizilen bir çokgenin alanı sadece noktalar sayılarak bulunabilir?” diye merak ederseniz size Pick Teoremini anlatmaya çalışalım…
***
Aşağıdaki mavi kenarlı çokgenin alanı kaç birim karedir?
Böyle bir soruyla karşılaştığımızda ilk aklımıza gelen çözüm;
- Şekli içten alanını kolaylıkla hesaplayabileceğimiz çokgenlere (üçgen, kare, dikdörtgen gibi) ayırarak bunları tek tek toplamak,
- Ya da şekli bir dikdörtgenin içine alarak bu dikdörtgenin alanından bu şeklin dışında kalan bölgelerin alanını çıkarmak şekillerinde olacaktır.
Artık bunlara alternatif bir yol daha ekleyeceğiz. Ve bu yol Georg Pick tarafından 1899 yılında ortaya atılmıştır. Bundan böyle alan bulmak için sadece nokta saymak yeterli olacaktır.
Geleneksel çözümle şekli içten parçalara ayırarak alanları toplamak suretiyle; Alan=1+1+2+1+9+1,5+0,5=16 birim kare olur.
Pick tarafından ortaya atılan yöntemle ise şu şekilde bulabiliriz. Çokgenin içindeki noktaların (kırmızı) sayısı 12, çokgenin kenarları üzerindeki noktaların (yeşil) sayısı ise 10 dur.
Alan= İç noktalar + Kenar üzerindeki noktaların yarısı -1
dir. Buna göre Alan= 12+5-1=16 birim kare olur. Bu formülü sözel ifadelerden kurtararak şu şekilde yazalım:
Alan: İ + K/2 – 1
Peki nasıl olur da herhangi! bir çokgenin alanı sadece noktalar sayılarak bulunabilir? Teoremin işlemesi için çokgenin köşeleri noktalar üzerinde olacak ve çokgenin bir kenarı diğer kenarını kesmeyecek. Bu şartlar sağlandığı sürece bu teoremi kullanabiliriz. Bu kısıtlamaların teoremin güzelliğinden ve şaşırtıcılığından bir şey eksilteceğini düşünmüyorum. Umarım aynı fikirdeyizdir.
Pick Teoremi neden doğrudur?
Elimizde var olan çokgeni temel üçgenlere ayıralım (Temel üçgen köşeleri noktalarda olan, iç bölgesinde ve kenarlarında başka noktalar barındırmayan üçgenlerdir.)
Çokgen N tane temel üçgenden oluşmuş olsun. Bu üçgenlerin iç açıları ölçüleri toplamı N.180 olacaktır. Şimdi bu açı toplamını bir de üçgenlerden faydalanarak yapalım.
Yukarıdaki şekle dikkatlice bakarsak çokgenin içindeki noktaların (bunlara iç noktalar diyelim ve sayısını İ harfiyle gösterelim) etrafında oluşan her bir açı aynı zamanda içerideki üçgenlerin bir açısına denk gelmektedir. O halde her bir iç noktadan 360 derece gelecektir.
İ tane olduğundan toplam 360İ derece gelir. Çokgenin köşeleri ve kenarlar üzerindeki noktalara bakarsak köşe hariç her bir noktadan 180 derece gelecektir. Köşe noktaları da buna dahil ederek her birinden 180 derece gelecek şekilde hesaplayıp sonrasında fazlalık olanları çıkarmak suretiyle bu temel üçgenlerin iç açıları ölçüleri toplamına ulaşabiliriz.
Köşe noktalarındaki fazlalık açıların toplamı bu çokgenin dış açıları ölçüleri toplamıdır. Bu da tüm çokgenler için sabit ve 360 derecedir. Dolayısıyla kenar ve köşelerden toplam 180.K-360 derece gelir (K kenar ve köşe üzerindeki noktaların toplam sayısını göstersin).
O halde N.180=360.İ+180.K-360 her tarafı 360’a bölersek;
N/2= İ + K/2
formülü ortaya çıkar. Biraz daha toparlarsak bir temel üçgenin alanı 1/2 birim karedir. Tüm çokgen N tane temel üçgenden oluştuğuna göre çokgenin alanı N.1/2 birim kare olmuş olur. Buradan da çokgenin alanının; Alan: İ + K/2 – 1 olduğu sonucuna ulaşmış oluruz.
Kaynakça:
- Ball, K. (2017). Garip Eğriler, Tavşanları Saymak ve Diğer Matematiksel Keşifler. (Boğaç Karçıka)(1.baskı) Ankara:Tübitak Yayınları
- Raman, M.,Ohman L&D. Two Beautıful Proof’s of Pıck’s Theorem. https://pdfs.semanticscholar.org/12b2/234857bc83581fe972820a4d6955b9feb322.pdf
Matematiksel
