Carl Friedrich Gauss (1777- 1855) gelmiş geçmiş en büyük matematikçilerden biridir. Alman matematikçi ve fizikçi başarılarının yanı sıra, yazımıza konu olan ilginç bir alan hesaplamasına da imzasını atmıştı.
Birazdan kısaca detaylarını aktaracağımız hesaplama İngilizce “Gauss’s shoelace area formula” biçimindedir. Shoelace Türkçe’de ayakkabı bağcığı anlamına gelir. Bir yöntemin ayakkabı bağcığı ile ne ilgisi olduğunu da birazdan görmeniz mümkün olacaktır. Ancak biz şimdilik Gauss Yöntemi ile alan hesabı olarak konuyu ele alalım.
Gauss tarafından ortaya atılan bu yöntem yardımı ile sadece köşelerinin koordinatlarını bildiğiniz bir çokgenin alanını kolayca hesaplamanız mümkün olacaktır. Sözü fazla uzatmadan hemen bunu nasıl yapacağımızı öğrenelim. Şimdi aşağıdaki görseldeki sarı bölgenin alanını hesaplamaya çalışalım.
Gauss Yöntemi İle Alan Hesabı Nasıl Yapılır?
Yukarıdaki şekilde bir dokuzgen görüyorsunuz. Köşegenlerinin koordinatları da sırasıyla (2, 9), (3, 1), (5, 8), (4, 3), (9, 2), (13, 6), (6, 7) , (9, 8) ve (6, 11) biçiminde. Alanı için Gauss alan hesabını kullanacağız.
Bunun için öncelikle kendinize bir başlangıç noktası belirleyin. ( Hangi noktadan başladığınız fark etmez.) Sonrasında da çokgenin çevresi etrafında saat yönünün tersine doğru hareket etmeye başlayın. Bu esnada karşınıza çıkan köşelerin koordinatlarını x’ler ayrı y’ler ayrı olacak biçimde iki sütunda listeleyin. Yukarıdaki rakamları dikkate alırsanız listeniz aşağıdaki gibi olmalıdır.
Şimdi ilk olarak soldan sağa doğru aşağıdaki görseldeki gibi köşegenleri çarpın. Ardından da çıkan sonucu toplayın. Bu sizin birinci toplamınız olsun. Sonrasında da aynı işlemi soldan sağa doğru yapın. Bu da ikinci toplamınız olacak.
Şimdi de bu iki toplamı birbirinden çıkarın. Bulduğunuz sonucu da ikiye bölün. Elde ettiğini cevap çokgenin alanı olacaktır. Aşağıda hesaplamalara bakalım.
- Toplam1 = 2 ×1+3×8+5×3+4×2 +9×6+13×7+6×8+9×11 + 6×9 = 395
- Toplam2 = 9 ×3+1×5+8×4+3×9 +2×13 + 6 ×6+7×9+8×6+11×2 = 286
- Fark = 395 −286 = 109
- Alan = 1/2 ·109 = 54.5
Yukarıdaki görsele biraz dikkatli baktığınız zaman bu yöntemin ayakkabı bağları ile ilgisini de kolayca fark edebilirsiniz. Ancak muhtemelen bu isimlendirme Gauss’un kendisi tarafından değil de ondan sonra gelenler tarafından verilmişti. Ancak adı ne olursa olsun bu yöntem yardımı ile sadece koordinatlarını bildiğimiz çokgenlerin alanlarını kolayca hesaplamak mümkün.
Gauss Alan Hesabı İle İlgili Örneklere Göz Atalım
Şimdi Gauss’un bize tanıttığı bu güzel alan hesaplama yöntemi ile önceden bildiğimiz alanları bir kontrol edelim. Aşağıda üçgenin alanına bakalım.
Toplam1 = 0 + bh +0=bh, Toplam2=0+0+0=0, Fark = bh ve Alan = 1/2 bh biçimindedir. Gördüğünüz gibi Gauss yöntemi ile alan hesabı üçgen için işe yaradı. Şimdi de taban uzunluğu b ve yüksekliği h olan bir paralelkenarın koordinat düzlemine yerleştirilmiş haline göz atalım.
Toplam1 = 0 + bh +(x + b)h +0=2bh + xh, Toplam2 = 0 + 0 + xh +0=xh,
Alan = 1/2 (2bh + xh −xh)=bh. Gördüğünüz gibi Gauss yöntemi bir paralelkenarın alanını da doğru biçimde hesaplamamıza yarıyor.
Aslında koordinat düzlemi üzerinde hangi çokgen olursa olsun bu yöntemi kullanabilirsiniz. Eğer size bu kadarı yeterli ise yazıdan ayrılabilirsiniz. Ancak bir miktar daha bilgi edinmek istiyorsanız okumaya devam ediniz.
Gauss Yöntemi Neden İşe Yarıyor?
Bu sorunun cevabını yani Gauss alan yönteminin ispatını da örnek üzerinden yapalım. Bir köşesi orijinde O =(0, 0) olan bir üçgen düşünün. Kalan iki köşesinin A =(x1,y1 ) ve B =(x2 ,y2 ) olduğunu varsayalım. Aşağıda gördüğünüz bu üçgenin alanı nedir?
Bu alanı hesaplamanın bildiğimiz yolu, üçgeni bir dikdörtgenin içine almak ve bu dikdörtgenin alanından üç dik üçgenin alanlarını çıkarmaktır. Bu durumda şeklimiz aşağıdaki gibi olacaktır. Şimdi sırasıyla A, B ve C alanlarını bulalım.
Yukarıdaki görsele göre A dik üçgeninin alanı A=1/2 x2y2 ; B dik üçgeninin alanı B=1/2 x1y1 ve C dik üçgeninin alanı C=1/2 (x1 −x2 )(y2 −y1 ) biçimindedir. Dikdörtgenimizin alanı ise x1y2 olacaktır. Bu durumda gerekli çıkartma işlemini yaptıktan sonra sarı bölgenin alanını 1/2(x1 y2 −x2y1 ) olarak buluruz. Şimdi aynı hesaplamayı Gauss alan yöntemi ile yapmaya çalışalım.
Toplam1 = 0 + x1y2 +0, Toplam 2 = 0 + y1x2 +0, Alan=1/2 (x1 y2 −x2 y1 ). Gördüğünüz gibi cevap aynı çıkıyor. Aslında hangi üçgenle başlarsanız başlayın sonuç değişmeyecektir. Bu nedenle Gauss Yöntemi ile alan hesaplamaya her zaman güvenebilirsiniz. Ayrıca göz atmak isterseniz: Kare Nedir? Vereceğiniz Cevap Gauss Eğriliğine Göre Değişir?
Kaynaklar ve ileri okumalar
- Gauss’s magic shoelace area formula and its calculus companion. Yayınlanma tarihi:10 Temmuz 2017; Bağlantı: https://www.youtube.com/watch?v=0KjG8Pg6LGk
- James Tanton; How Round Is a Cube? And Other Curious Mathematical Ponderings; LCCN 2019004260 | ISBN 9781470451158
Size Bir Mesajımız Var!
Matematiksel, 2015 yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak veya Patreon üzerinden ufak bir bağış yaparak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.
Matematiksel
