Günlük Hayatımızda Matematik

Gauss Ayakkabı Bağcığı Yöntemi İle Alan Hesaplaması Öğrenelim!

Carl Friedrich Gauss (1777- 1855) gelmiş geçmiş en büyük matematikçilerden biridir. Alman matematikçi ve fizikçi başarılarının yanı sıra, yazımıza konu olan ilginç bir alan hesaplamasına da imzasını atmıştı.

Gauss Ayakkabı Bağcığı Yöntemi İle Alan Hesaplamasını Öğrenelim!

Birazdan kısaca detaylarını aktaracağımız hesaplama İngilizce “Gauss’s shoelace area formula” biçimindedir. Shoelace Türkçe’de ayakkabı bağcığı anlamına gelir. Bir yöntemin ayakkabı bağcığı ile ne ilgisi olduğunu da birazdan görmeniz mümkün olacaktır. Ancak biz şimdilik Gauss Yöntemi ile alan hesabı olarak konuyu ele alalım.

Gauss tarafından ortaya atılan bu yöntem yardımı ile sadece köşelerinin koordinatlarını bildiğiniz bir çokgenin alanını kolayca hesaplamanız mümkün olacaktır. Sözü fazla uzatmadan hemen bunu nasıl yapacağımızı öğrenelim. Şimdi aşağıdaki görseldeki sarı bölgenin alanını hesaplamaya çalışalım.

Gauss Yöntemi İle Alan Hesabı Nasıl Yapılır?

gauss yöntemi ile alan hesabı

Yukarıdaki şekilde bir dokuzgen görüyorsunuz. Köşegenlerinin koordinatları da sırasıyla (2, 9), (3, 1), (5, 8), (4, 3), (9, 2), (13, 6), (6, 7) , (9, 8) ve (6, 11) biçiminde. Alanı için Gauss alan hesabını kullanacağız.

Bunun için öncelikle kendinize bir başlangıç noktası belirleyin. ( Hangi noktadan başladığınız fark etmez.) Sonrasında da çokgenin çevresi etrafında saat yönünün tersine doğru hareket etmeye başlayın. Bu esnada karşınıza çıkan köşelerin koordinatlarını x’ler ayrı y’ler ayrı olacak biçimde iki sütunda listeleyin. Yukarıdaki rakamları dikkate alırsanız listeniz aşağıdaki gibi olmalıdır.

gauss yöntemi ile alan hesabı

Şimdi ilk olarak soldan sağa doğru aşağıdaki görseldeki gibi köşegenleri çarpın. Ardından da çıkan sonucu toplayın. Bu sizin birinci toplamınız olsun. Sonrasında da aynı işlemi soldan sağa doğru yapın. Bu da ikinci toplamınız olacak.

gauss yöntemi ile alan hesabı

Şimdi de bu iki toplamı birbirinden çıkarın. Bulduğunuz sonucu da ikiye bölün. Elde ettiğini cevap çokgenin alanı olacaktır. Aşağıda hesaplamalara bakalım.

  • Toplam1 = 2 ×1+3×8+5×3+4×2 +9×6+13×7+6×8+9×11 + 6×9 = 395
  • Toplam2 = 9 ×3+1×5+8×4+3×9 +2×13 + 6 ×6+7×9+8×6+11×2 = 286
  • Fark = 395 −286 = 109
  • Alan = 1/2 ·109 = 54.5

Yukarıdaki görsele biraz dikkatli baktığınız zaman bu yöntemin ayakkabı bağları ile ilgisini de kolayca fark edebilirsiniz. Ancak muhtemelen bu isimlendirme Gauss’un kendisi tarafından değil de ondan sonra gelenler tarafından verilmişti. Ancak adı ne olursa olsun bu yöntem yardımı ile sadece koordinatlarını bildiğimiz çokgenlerin alanlarını kolayca hesaplamak mümkün.

Gauss Alan Hesabı İle İlgili Örneklere Göz Atalım

Şimdi Gauss’un bize tanıttığı bu güzel alan hesaplama yöntemi ile önceden bildiğimiz alanları bir kontrol edelim. Aşağıda üçgenin alanına bakalım.

Toplam1 = 0 + bh +0=bh, Toplam2=0+0+0=0, Fark = bh ve Alan = 1/2 bh biçimindedir. Gördüğünüz gibi Gauss yöntemi ile alan hesabı üçgen için işe yaradı. Şimdi de taban uzunluğu b ve yüksekliği h olan bir paralelkenarın koordinat düzlemine yerleştirilmiş haline göz atalım.

Toplam1 = 0 + bh +(x + b)h +0=2bh + xh, Toplam2 = 0 + 0 + xh +0=xh,
Alan = 1/2 (2bh + xh −xh)=bh. Gördüğünüz gibi Gauss yöntemi bir paralelkenarın alanını da doğru biçimde hesaplamamıza yarıyor. Aslında koordinat düzlemi üzerinde hangi çokgen olursa olsun bu yöntemi kullanabilirsiniz. Eğer size bu kadarı yeterli ise yazıdan ayrılabilirsiniz. Ancak bir miktar daha bilgi edinmek istiyorsanız okumaya devam ediniz.

Gauss Yöntemi Neden İşe Yarıyor?

Carl Friedrich Gauss
Gauss’un keşiflerinden bir diğeri de, bugün cebirin temel teoremi olarak adlandırılan şeyi kanıtlamış olmasıdır. Matematikte cebirin temel teoremi karmaşık değişkenli polinomların köklerinin varlığıyla ilgili temel bir sonuçtur.

Bu sorunun cevabını yani Gauss alan yönteminin ispatını da örnek üzerinden yapalım. Bir köşesi orijinde O =(0, 0) olan bir üçgen düşünün. Kalan iki köşesinin A =(x1,y1 ) ve B =(x2 ,y2 ) olduğunu varsayalım. Aşağıda gördüğünüz bu üçgenin alanı nedir?

Gauss Yöntemi İle Alan Hesabı Nasıl Yapılır?

Bu alanı hesaplamanın bildiğimiz yolu, üçgeni bir dikdörtgenin içine almak ve bu dikdörtgenin alanından üç dik üçgenin alanlarını çıkarmaktır. Bu durumda şeklimiz aşağıdaki gibi olacaktır. Şimdi sırasıyla A, B ve C alanlarını bulalım.

Gauss Yöntemi İle Alan Hesabı Nasıl Yapılır?

Yukarıdaki görsele göre A dik üçgeninin alanı A=1/2 x2y2 ; B dik üçgeninin alanı B=1/2 x1y1 ve C dik üçgeninin alanı C=1/2 (x1 −x2 )(y2 −y1 ) biçimindedir. Dikdörtgenimizin alanı ise x1y2 olacaktır. Bu durumda gerekli çıkartma işlemini yaptıktan sonra sarı bölgenin alanını 1/2(x1 y2 −x2y1 ) olarak buluruz. Şimdi aynı hesaplamayı Gauss alan yöntemi ile yapmaya çalışalım.

Toplam1 = 0 + x1y2 +0, Toplam 2 = 0 + y1x2 +0, Alan=1/2 (x1 y2 −x2 y1 ). Gördüğünüz gibi cevap aynı çıkıyor. Aslında hangi üçgenle başlarsanız başlayın sonuç değişmeyecektir. Bu nedenle Gauss Yöntemi ile alan hesaplamaya her zaman güvenebilirsiniz.


Kaynaklar ve ileri okumalar

  • Gauss’s magic shoelace area formula and its calculus companion. Yayınlanma tarihi:10 Temmuz 2017; Bağlantı: https://www.youtube.com/watch?v=0KjG8Pg6LGk
  • James Tanton; How Round Is a Cube? And Other Curious Mathematical Ponderings; LCCN 2019004260 | ISBN 9781470451158

Size Bir Mesajımız Var!

Matematiksel, 2015 yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak veya Patreon üzerinden ufak bir bağış yaparak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.

Matematiksel

Sibel Çağlar

Merhabalar. Matematik öğretmeni olarak başladığım hayatıma 2016 yılında kurduğum matematiksel.org web sitesinde içerikler üreterek devam ediyorum. Matematiğin aydınlık yüzünü paylaşıyorum. Amacım matematiğin hayattan kopuk olmadığını kanıtlamaktı. Devamında ekip arkadaşlarımın da dahil olması ile kocaman bir aile olduk. Amacımıza da kısmen ulaştık. Yolumuz daha uzun ama kesinlikle çok keyifli.

Bir yanıt yazın

E-posta adresiniz yayınlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

Başa dön tuşu