1945’te ilk atom bombası New Mexico çölünde patladığında Enrico Fermi, patlama noktasından kilometrelerce uzaktaydı. Elinde yalnızca birkaç küçük kâğıt parçası vardı. Şok dalgası yaklaşırken kâğıtları yere bıraktı ve ne kadar uzağa savrulduklarını izledi.
Bu basit yöntemle bombanın gücünü yaklaşık olarak hesapladı. Tahmini 10 kiloton TNT düzeyindeydi. Gerçek patlama ise yaklaşık 20 kilotondu. Sonuca tam olarak ulaşamamıştı, ancak çok sınırlı veriyle oldukça yakın bir değer öngörmüştü. Bu olay, Fermi’nin pratik düşünme biçiminin ve sezgisel hesaplama becerisinin en bilinen örneklerinden biri sayılır.
Fermi, dünyanın ilk nükleer reaktörünün geliştirilmesinde rol alan ve Nobel Ödülü kazanan bir fizikçiydi. Onu farklı kılan özelliklerinden biri, sınırlı bilgiyle şaşırtıcı derecede isabetli tahminler yapabilmesiydi. Bu yaklaşım bugün “Fermi problemleri” adı verilen zihinsel egzersizlerle yaşamaya devam ediyor.
Fermi Problemleri Nedir?
Fermi problemleri, kesin hesaplamalardan çok tahmin ve akıl yürütmeye dayanan sorulardır. Bu soruların amacı kesin cevabı bulmak değil, problem çözme sürecini geliştirmektir. Büyük ve karmaşık sorunları daha küçük, yönetilebilir parçalara ayırarak çözmeyi öğretir.
Stanford Üniversitesi’nde Fermi problemleri üzerine ders veren parçacık fizikçisi Stefan Funk, bu yaklaşımın önemini şöyle açıklar:
“Önemli olan, geriye dönüp sonucun mantıklı olup olmadığını değerlendirebilmektir. Tahmininiz gerçek değerden iki ya da üç kat farklıysa bu büyük bir sorun değildir. Ama 10²⁰ kat farklıysa, o zaman ciddi bir problem var demektir.”
Fermi problemleri, beynimizi hızlı ve mantıklı tahminler yapmaya alıştıran bir egzersiz gibidir. Bilinmeyen bir değeri hesaplamak için eldeki verileri kullanmayı ve kabaca varsayımlar yaparak makul sonuçlara ulaşmayı öğretir. Örneğin, Chicago’da kaç piyano akortçusu olduğunu tahmin etmeye çalışalım.
Google’a ya da yapay zekâya sormayı aklınızdan bile geçirmeyin. Fermi, bu küçük zihin egzersizini internetin icadından onlarca yıl önce ortaya atmıştı. Fermi’nin öğrencilerinin elinde Chicago telefon rehberi de yoktu. Buna rağmen Fermi onlardan makul ölçüde doğru bir tahmin yapmalarını bekliyordu.
Bu soru size sorulsa muhtemelen rastgele bir sayı verirsiniz. Bu sayıya nasıl ulaştığınız sorulursa da net bir açıklamadan çok içgüdüsel bir tahmin olduğunu söylemeniz olasıdır. Ancak, Fermi’nin yaklaşımı farklıydı. Ona göre, Chicago’da kaç piyano akortçusu olduğunu tahmin etmek için önce şunu sormak gerekirdi. Bu sayıyı hesaplamak için hangi bilgilere ihtiyaç var?
- Chicago’da kaç piyano olduğu
- Bu piyanoların yılda kaç kez akort edildiği
- Bir piyanoyu akort etmenin ne kadar sürdüğü
- Bir piyano akortçusunun yılda kaç saat çalıştığı
İlk üç bilgi, şehirdeki toplam piyano akordu iş yükünü verir. Son bilgi ise bir akortçunun yılda ne kadar iş yapabileceğini gösterir. Toplam iş yükünü bir akortçunun yıllık çalışma süresine böldüğümüzde, şehirde kaç akortçuya ihtiyaç olduğunu yaklaşık olarak bulabiliriz.
Fermi Problemleri Nasıl Çözülür?
Önce şehirde kaç piyano olduğunu tahmin etmemiz gerekir. Bunun için nüfustan başlayabiliriz. Chicago’nun Amerika’nın büyük şehirlerinden biri olduğunu biliyoruz. Kabaca 2,5 milyon kişinin yaşadığını varsayalım.
Piyano sahibi olan kişi sayısı çok yüksek değildir. Çünkü piyano pahalıdır, yer kaplar ve herkesin ihtiyaç duyduğu bir eşya değildir. Bu yüzden her 100 kişiden 1’inin piyano sahibi olduğunu varsayabiliriz.
Buna okullar, konser salonları, müzik kursları, barlar ve benzeri yerlerdeki piyanoları da eklemek gerekir. Bazı kurumlarda birden fazla piyano bulunabilir. Bu nedenle toplam oranı iki katına çıkarıp her 100 kişiye 2 piyano düştüğünü varsayalım. Bu durumda Chicago’da yaklaşık 50 bin piyano olduğu sonucuna ulaşırız.
Sonra bu piyanoların ne sıklıkla akort edildiğini düşünelim. Makul bir varsayım olarak her piyanonun yılda bir kez akort edildiğini kabul edebiliriz.
Bir piyanoyu akort etmek için de ortalama 2 saat gerektiğini varsayalım. Bu durumda yıllık toplam iş yükü 50.000 piyano × 1 akort × 2 saat = 100.000 saat biçiminde olur.
Şimdi bir piyano akortçusunun yılda kaç saat çalışabileceğini hesaplayalım. Haftada 40 saat çalışan ve yılda 50 hafta çalışan biri, toplam 2.000 saat çalışır. Ancak akortçular bütün bu zamanı piyano başında geçirmez. Randevular arasında yolculuk yapar, hazırlık yapar ve boşluklarla karşılaşır.
Bu yüzden çalışma süresinin yüzde 20’sini bu tür işlere ayırdığını varsayalım. Geriye yılda yaklaşık 1.600 saatlik gerçek akort süresi kalır. Son hesap 100.000 saat ÷ 1.600 saat = 62,5 biçiminde olsun. Yani Chicago’da yaklaşık 63 piyano akortçusu olduğunu tahmin edebiliriz.
Bu sayı kesin değildir. Zaten Fermi problemlerinin amacı kesin sonuca ulaşmak değildir. Ama yöntem, rastgele bir tahmin yerine adım adım kurulmuş, kontrol edilebilir bir sonuç verir.
Nitekim yıllar içinde bu klasik soruyu inceleyenler, Chicago telefon rehberinde piyano akortçularına ait 83 kayıt bulmuştur. Bu kayıtların bir kısmı aynı kişilere veya işletmelere ait yinelenen kayıtlardır. Bu nedenle 63 tahmini, kaba varsayımlara dayanmasına rağmen oldukça makul görünür.
Fermi Problemleri Neden Önemlidir?
Teknoloji şirketleri bu tür soruları iş görüşmelerinde sıkça kullanır. Çünkü adayların karmaşık ve belirsiz sorunlara nasıl yaklaştığını gösterir.
Bilim insanları deney sonuçlarının mantıklı olup olmadığını kontrol etmek için bu yönteme başvurur. Öğretmenler de öğrencilerin eleştirel düşünme becerilerini geliştirmek için Fermi problemlerinden yararlanır.
Örneğin şu soruyu düşünelim: Olimpik bir yüzme havuzunda kaç bardak su vardır? Bu soruyu Fermi yöntemiyle çözmeye çalışalım. Öncelikle havuzun boyutlarını tahmin edelim ve ardından havuzun hacmini hesaplayalım.
Havuzun boyutlarını 50 metre uzunluk, 25 metre genişlik ve 2 metre derinlik olarak varsayalım. Bu durumda hacmi, 50 × 25 × 2 = 2.500 metreküp su olacaktır. 1 metreküp = 1.000 litre olduğuna göre, havuzda toplam 2.500 × 1.000 = 2,5 milyon litre su bulunur.
Biliyoruz ki 1 litre yaklaşık 4 bardak suya eşittir. Bu durumda, 2,5 milyon × 4 = 10 milyon bardak su sonucunu elde ederiz. Bu sonuç mükemmel derecede kesin mi?
Hayır. Ancak yaklaşık bir tahmin yapmak için yeterince iyi ve Fermi problemlerinin temel amacı da budur. Fermi problemi çözerken birkaç basit adım izlenebilir:
- Önemli olan yalnızca cevap değil, cevaba nasıl ulaştığınızdır. Varsayımlarınızı ve akıl yürütmenizi görünür hâle getirin.
- Varsayımları ve hesapları yazmak, adımları zihinde tutmaktan daha kolaydır.
- Sorunu basitleştirmek için gerçekçi kabuller kullanın.
- Fermi problemleri yaklaşık hesaplara dayanır. Yuvarlak sayılar işlemleri kolaylaştırır.
- Küçük ayrıntılarda kaybolmak yerine büyük resmi anlamaya odaklanın.
Sonuç Olarak
Bir dahaki sefere size “Dünyadaki tüm plajlarda kaç kum tanesi var?” veya” Aya araba ile gitmek ne kadar sürer?” gibi imkansız gibi görünen bir soru sorulursa, kağıt ve kalem alın ve matematiksel hesaplamaları kabaca yapın. Sonuca ne kadar yakın olduğunuzu görünce şaşırabilirsiniz!
Kaynaklar ve ileri okumalar
How To Solve Any Problem Using Enrico Fermi’s Back-Of-The-Envelope Math (And Some Common Sense). Yayınlanma tarihi: 30 Ocak 2025. Kaynak site: ZME Science. Bağlantı: How To Solve Any Problem Using Enrico Fermi’s Back-Of-The-Envelope Math (And Some Common Sense)
Matematiksel
