Riemann Hipotezi: Dünyanın En Zor ve Ünlü Problemi

Dünyanın en zor ve en ünlü matematik probleminin ne olduğunu belirlemek elbette tam olarak mümkün değil. Ancak, Bernhard Riemann tarafından 1859’da ortaya atıldığından beri matematikçileri şaşkına çeviren Riemann Hipotezi bunun için bir aday gibi gözüküyor.

Riemann Hipotezi, David Hilbert’in 1900’de yayınladığı çözülmemiş 23 problem listesindeki sekizinci problemdir. Ayrıca Clay Mathematics Institute Millennium Prize Problems (2000) listesinde en önemli ikinci problem olarak yerini korumaktadır. Bu hipotezin çözen kişi elbette adını tarihe yazdıracaktır. Ancak “Milyon Dolarlık Problemlerinden” birisi olduğu için aynı zaman da maddi sıkıntılarını da ortadan kaldıracaktır.

Riemann hipotezi özünde asal sayılar daha ziyade asal sayıların sayı doğrusu üzerine dağılımı ile ilgilidir. Matematikçiler, asal sayıların özelliklerini konuya duydukları ilgiden dolayı incelerler. Ancak asal sayıların, özellikle kriptografide modern bilimsel uygulamaları da vardır.

Günümüzde RSA şifrelemesi, çok büyük iki asal sayının çarpılmasıyla oluşturulan sayısal bir anahtar kullanır. Sistemin güvenliği, çok büyük sayıları çarpanlarına ayırmanın zorluğuna bağlıdır. Bilinen tüm algoritmaları kullanarak büyük bir sayıyı çarpanlara ayırmak için gerekli olan adımların sayısı, sayının boyutuyla birlikte katlanarak artar. Bu, kriptografın her zaman bilgisayarın bir adım önünde kalabileceği anlamına gelir. Bilgisayar işlemcileri, şifreleme için kullanılan 128 basamaklı sayıları çarpanlarına ayıracak kadar hızlı hale gelirse, 512 basamaklı sayıları kullanmaya başlayabiliriz.

Adından da anlaşılacağı gibi, şimdilik sadece bir varsayım. Ancak Riemann hipotezine yönelik bir çözüm, yüzlerce başka teoremi kanıtlayacaktır. Belirli algoritmaların nispeten kısa bir sürede çalışacağını belirleyecek ve asal sayılar arasındaki boşlukların dağılımını açıklayacaktır. İşte bu noktada güvenliğimizi de yeniden düşünmek zorunda kalabiliriz.

Kısaca Riemann Hipotezi Nedir?

Riemann hipotezinin ne olduğunu anlamak için işe asal sayıların ne olduğundan başlamalıyız. İlkokul matematik öğretmeninizin onları yalnızca kendilerine ve bire bölünebilen sayılar olarak tanımladığını hatırlarsınız. Bu doğru, ancak hepsi bu kadar değil. Bir matematikçi için asal sayılar atomlar gibidir, yani her sayının yapı taşıdır.

Elimizde küçük sayılar olduğunda bu yapıtaşlarını çarpanlara ayırma ile bulabiliriz. Ancak sayılar büyüdükçe bu iş zorlaşır. Ayrıca bir asal sayı bulduktan sonra bir sonraki asal sayının nerede olacağını bilemeyiz. Bu nedenle matematikçiler asal sayıların dağılımlarına bakarlar.

On sekizinci yüzyılın sonlarında, iki efsanevi matematikçi Carl Friedrich Gauss ve Adrien-Marie Legendre, birbirinden bağımsız olarak asal sayıları incelemeye başladılar. Asal sayılar, Periyodik Tablodaki elementler gibi belli bir düzende karşımıza çıkıyor olabilir mi?

Kafalardaki soru buydu. Asal sayılar sayı doğrusuna düzensiz bir biçimde dağılmıştır. Sayılar büyüdükçe, asal sayılar karşımıza daha seyrek çıkmaya başlar. Asal sayı teoremi bize verilen herhangi bir pozitif reel sayıya eşit veya ondan küçük olan asal sayıların sayısını verir. Başka bir deyişle bir pozitif n tamsayısı verildiğinde, n’ye kadar ve n dahil kaç tam sayı asal sayı olduğunu söyler. ( Detay için bu yazıya göz atınız)

1700’lü yıllarda Leonhard Euler, zeta fonksiyonunu tanımlamayı başardı. Yunan alfabesinin altıncı harfi zetayla (ζ) ile gösterilen bu fonksiyon ζ(s) = 1 + 2s+ 3s + 4s +… biçimindeydi. Euler, zeta fonksiyonunun sonsuz bir çarpıma eşit olduğunu gösterdi. Bu sonsuz çarpımın terimleri ise asal sayılardı. ( Daha fazlası için bu yazıya göz atınız.) Ancak Euler tarafından tanımlanan zeta fonksiyonu yalnızca 1’den büyük olan s değerleri için geçerliydi.

Riemann Zeta Fonksiyonu

1859’da Alman matematikçi Bernhard Riemann (1826–1866) Berlin Akademisi’ne “Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse”  başlıklı bir makale sundu. Aslında bu makale onun sayı teorisi üzerine yayınladığı tek makale idi.

Bu makalede Riemann, 1’den büyük değerler için Euler’in zeta fonksiyonu ile aynı olan, ancak daha iyi tanımlanmış bir fonksiyon buldu. Euler’in zeta fonksiyonunu alıp karmaşık sayıları içerecek şekilde genişletti. Fonksiyon bu yeni haliyle Riemann zeta fonksiyonu olarak bilinir. 

Belirli bir sayıya kadar kaç asal olduğunu tahmin etmek, Riemann zeta fonksiyonunun hangi değerler için sıfır olduğunu bilmeye bağlıdır. Fonksiyon, tüm negatif çift tamsayılar (–2, –4, –6 vb.) için sıfıra gider. Ancak bunlar, asal sayıların nasıl dağıldığı sorununu çözmekle ilgili değildir. Bu nedenle önemsiz (trivial) sıfırlar olarak adlandırılırlar.

Fonksiyonu ayrıca x= 0 ile x=1 arasındaki kritik bölgede sonsuz sayıda sıfır yapan değer vardır. Bugün Riemann hipotezi diye anılan ve matematik tarihinin çözülmemiş en büyük problemi olan sav bu değerlerin hepsinin karmaşık düzlemde x=1/2 doğrusu üzerinde olup olmadığıdır.

Riemann, zeta fonksiyonunun gerçek olmayan tüm sıfırlarının s=1/2+bi doğrusu üzerinde olduğunu varsaymış, ancak bunu kanıtlayamamıştı. Bu varsayım, Riemann Hipotezi olarak bilinir hale geldi.

Riemann kurala uyduklarından emin olmak için ilk kontrolleri el ile kendisi yaptı. 1986’da Riemann zeta fonksiyonunun bir buçuk milyar sıfırının x=1/2 doğrusu üzerinde olduğu doğrulandı. ZetaGrid çalıştırdıktan sonra, Riemann fonksiyonunun ilk 100 milyar sıfırının istisnasız bu çizginin üzerinde olduğu bulundu.

Riemann Hipotezi Neden Önemlidir?

Riemann Hipotezi asal sayılar dışında görünüşte ilgisiz alanlarda ortaya çok sık olarak çıkar. Bu nedenle, kanıtlamanın (veya çürütmenin) önemi, sayı teorisinin veya bir bütün olarak matematiğin sınırlarının çok ötesine geçer. Riemann hipotezinin atom altı evrenle ince ama doğrudan bir bağlantısı vardır.

Nükleer fizikte, Riemann zeta fonksiyonunun sıfırlarının dağılımındaki düzen ile ağır bir atom olan Uranyum atomunun enerji seviyelerinin dağılımdaki düzen tamamen aynıdır. Bu, kuantum mekaniğinin asal sayılarla bağlantılı olduğu anlamına gelebilir.

Bu da başlı başına çılgınca bir fikirdir. Bu nedenle Riemann hipotezi matematikte ilgisiz gibi gözüken konuları birbirine bağlaması açısından önemlidir. Bilgisayar tarafından kontrol edilen trilyonlarca sıfır arasında hiçbir istisna bulunmadı. Bunların tümü, Riemann’ın tahmin ettiği kritik çizgide yer alıyordu.

Bir Gün Bir İspat Bulabilecek miyiz?

Riemann’ın hipotezini dünyaya duyurmasının üzerinden 150 yıldan fazla zaman geçti. Bir kanıtın yokluğu matematiğin kalbinde açık bir delik haline geldi. Sayısı tam belli olmasa da muhtemelen yüzlerce araştırmacı bir kanıt bulmaya çalıştı. Ancak şu ana kadar hiçbiri geçerli olarak kabul edilmedi. Ancak yine de bazı matematikçiler bir kanıta doğru bir miktar ilerleme kaydettiler.

Matematikçiler bunu Everest dağına tırmanmaya ve şu anda bir anakampta güç toplamaya benzetiyorlar. Ancak yine de eğer bir gün gerçekleşir ise nihai kanıtın radikal bir fikir gerektireceğini düşünüyorlar.

Eğer öyleyse, bir ispatın peşinde koşmak, güçlü yeni matematiksel teknikler geliştirmemize yardımcı olabilir. 1900’de matematikçilerin çözmesi için ünlü 23 soru belirleyen David Hilbert, sekizinci soruya ilişkin şöyle demişti. “Eğer 500 yıl uyuduktan sonra uyanırsam, ilk sorum, Riemann hipotezi ispatlandı mı olacak”. Umarız o kadar beklenmek zorunda kalınmaz…



Kaynaklar ve ileri okumalar için:

Matematiksel

Sibel Çağlar

Merhabalar. Matematik öğretmeni olarak başladığım hayatıma 2016 yılında kurduğum matematiksel.org web sitesinde içerikler üreterek devam ediyorum. Matematiğin aydınlık yüzünü paylaşıyorum. Amacım matematiğin hayattan kopuk olmadığını kanıtlamaktı. Devamında ekip arkadaşlarımın da dahil olması ile kocaman bir aile olduk. Amacımıza da kısmen ulaştık. Yolumuz daha uzun ama kesinlikle çok keyifli.
Başa dön tuşu