MATEMATİK

Riemann Hipotezi: Dünyanın En Zor ve Ünlü Problemi

Dünyanın en zor ve en ünlü matematik probleminin ne olduğunu belirlemek elbette tam olarak mümkün değil. Ancak, Bernhard Riemann tarafından 1859’da ortaya atıldığından beri matematikçileri bile şaşkına çeviren Riemann Hipotezi bunun için bir aday olabilir. Günümüzde birçok matematiksel araştırma, “Riemann hipotezinin kanıtı”nın matematikteki en önemli açık soru olduğunu göstermektedir. Kanıt, asal sayılar teorisi ve karmaşık sayıların özelliklerini anlamamız açısından önemli sonuçlar doğuracaktır. Üstüne üstlük bu soruyu çözebilen kişiyi eğer isterse alabileceği 1 milyon dolarlık ödül de beklemektedir. Bugün, dünya çapında 11.000’den fazla gönüllü, Zetagrid.net üzerinden edindikleri bir bilgisayar yazılım paketi kullanarak Riemann hipotezi üzerinde çalışıyor. Anlayacağınız milyon dolar için aday çok. O zaman Riemann hipotezi ve temelini oluşturan Riemann Zeta fonksiyonu hakkında daha fazla bilgi edinmemiz iyi bir fikir olabilir.

Riemann Hipotezi Nedir?

1859’da Alman matematikçi Bernhard Riemann (1826–1866) Berlin Akademisi’ne “Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse”  başlıklı bir makale sundu. Bu makale daha sonraları Riemann Hipotezi olarak bilinmeye başladı.

Riemann hipotezi asal sayıların dağılımı ile ilgilidir. Uzun zamandır sonsuz sayıda asal sayı olduğunu biliyoruz. Ancak bu asal sayılar sayı doğrusuna düzensiz bir biçimde dağılmıştır. Sayılar büyüdükçe asal sayılar arasında mesafe açılır yani asal sayılar karşımıza daha seyrek çıkar. Peki bir N tamsayısı verildiğinde, N’den küçük kaç tane asal sayı olduğunu bulabilir miyiz? Riemann, konuyla ilgili yayınladığı çalışmasında bu sorunun cevabının teorik olarak mümkün olduğunu ifade etti. Asalların nasıl dağıldığı sorusuna Riemann, karmaşık analiz aracılığı ile cevap aradı. Karmaşık analizin özünde karmaşık fonksiyonların incelenmesi yer alır. Bunlar, bir dizi karmaşık sayıyı diğerine dönüştürmek için kullanılan kurallardır. Riemann, Euler’in reel sayılar için kullandığı bir fonksiyonu alıp karmaşık sayılarla yeniden hesaplama Riemann, N’den küçük asal sayıların sayısının, zeta fonksiyonu ile bağlantılı olduğunu söyledi.

Riemann Zeta Fonksiyonu

1700’lü yıllarda Leonhard Euler, zeta fonksiyonunu tanımlamıştı. Zeta fonksiyonu ζ(s) = 1 + 2s+ 3s + 4s + … biçimindedir ve Yunan alfabesinin altıncı harfi zetayla (ζ) gösterilir. Riemann, Euler’in zeta fonksiyonunu alıp karmaşık sayıları içerecek şekilde genişletti. Fonksiyon bu yeni haliyle Riemann zeta fonksiyonu olarak bilinir. Belirli bir sayıya kadar kaç asal olduğunu tahmin etmek, Riemann zeta fonksiyonunun hangi değerler için sıfır olduğunu bilmeye bağlıdır. Fonksiyon, tüm negatif çift tamsayılar (–2, –4, –6 vb.) için sıfıra gider, ancak bunlar, asal sayıların nasıl dağıldığı sorununu çözmekle ilgili değildir. Bu nedenle önemsiz (trivial) sıfırlar olarak adlandırılırlar. Fonksiyonu ayrıca x= 0 ile x=1 arasındaki kritik bölgede sonsuz sayıda sıfır yapan değer vardır. Bugün Riemann hipotezi diye anılan ve matematik tarihinin çözülmemiş en büyük problemi olan sav bu değerlerin hepsinin karmaşık düzlemde x=1/2 doğrusu üzerinde olup olmadığıdır.

Riemann kurala uyduklarından emin olmak için ilk kontrolleri el ile kendisi yaptı. 1986’da Riemann zeta fonksiyonunun bir buçuk milyar sıfırının x=1/2 doğrusu üzerinde olduğu doğrulandı. ZetaGrid çalıştırdıktan sonra, Riemann fonksiyonunun ilk 100 milyar sıfırının istisnasız bu çizginin üzerinde olduğu bulundu.

Riemann Hipotezi Neden Önemlidir?

Asal sayıların dağılımına ışık tutmadaki rolünün ötesinde, Riemann Hipotezi, görünüşte ilgisiz alanlarda ortaya çok sık olarak çıkar. Bu nedenle, kanıtlamanın (veya çürütmenin) önemi, sayı teorisinin veya bir bütün olarak matematiğin sınırlarının çok ötesine geçer. Riemann hipotezinin atom altı evrenle ince ama doğrudan bir bağlantısı vardır. Nükleer fizikte, Riemann zeta fonksiyonunun sıfırlarının dağılımındaki düzen ile ağır bir atom olan Uranyum atomunun enerji seviyelerinin dağılımdaki düzen tamamen aynıdır. Bu, kuantum mekaniğinin asal sayılarla bağlantılı olduğu anlamına gelir ki bu başlı başına çılgınca bir fikirdir. Bu nedenle Riemann hipotezi matematikte ilgisiz gibi gözüken konuları birbirine bağlaması açısından önemlidir. Öte yandan, Riemann Hipotezine sadece bir istisna bulunursa, matematik kaosa sürüklenir. Bilgisayar tarafından kontrol edilen trilyonlarca sıfır arasında hiçbir istisna bulunmadı. Bunların tümü, Riemann’ın tahmin ettiği kritik çizgide yer alıyordu.

Ne Zaman Durmalıyız?

Aslında başka bilim dalında, bu kadar kanıt bir hipotezi tam gelişmiş bir teoriye dönüştürmek için yeterli olacaktır. Ama matematikte durum böyle değildir. Carl Gauss’un 1800’lerin ortalarında belirttiği asal sayılarla ilgili başka bir varsayım, 1914’te İngiliz matematikçi John Littlewood tarafından çürütüldü. Yanlışlanması için ulaşılması gereken sayı korkutucu büyüklükteydi. Günümüzde Skewes sayısı olarak bilinen bu sayı 10 üstü 10 üstü 10 üstü 34 kadardı!. Bu başarısızlık noktası o zamandan beri yaklaşık 1.4 × 10316′ya düşürülmüş olsa da, varsayımın astronomik sayılara kadar doğru tahminlerde bulunduğunu ve sonra aniden bozulduğunu bizlere gösteriyor.

Riemann Hipotezi için bunun olmasını gerçekten kimse beklemiyor, ancak matematikçiler tartışılmaz bir kanıt veya tam tersini buluncaya kadar mutlu olmayacaklar. Riemann’ın hipotezini dünyaya duyurmasının üzerinden 150 yıldan fazla zaman geçti ve bir kanıtın yokluğu matematiğin kalbinde açık bir delik haline geldi. Belki de çözmek için gereken fikirler o kadar gelişmiş veya radikaldir ki, mevcut anlayış kapsamının dışındadır. Eğer öyleyse, bir ispatın peşinde koşmak, güçlü yeni matematiksel teknikler geliştirmemize yardımcı olabilir. 1900’de matematikçilerin çözmesi için ünlü 23 soru belirleyen David Hilbert, sekizinci soruya ilişkin şöyle demişti: “Eğer 500 yıl uyuduktan sonra uyanırsam, ilk sorum, Riemann hipotezi ispatlandı mı olacak”. Umarız o kadar beklenmek zorunda kalınmaz…

Kaynak:

  • Weird Math: A Teenage Genius & His Teacher Reveal the Strange Connections Between Math & Everyday Life; David Darling and Agnijo Banerjee 2019
  • Riemann Hypothesis; https://www.claymath.org

Matematiksel

Sibel Çağlar

Merhabalar. Matematik öğretmeni olarak başladığım hayatıma 2016 yılında kurduğum matematiksel.org web sitesinde içerikler üreterek devam ediyorum. Matematiğin aydınlık yüzünü paylaşıyorum. Amacım matematiğin hayattan kopuk olmadığını kanıtlamaktı. Devamında ekip arkadaşlarımın da dahil olması ile kocaman bir aile olduk. Amacımıza da kısmen ulaştık. Yolumuz daha uzun ama kesinlikle çok keyifli.

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

Başa dön tuşu