Ünlü Teoremler ve Hipotezler

Riemann Hipotezi: Dünyanın En Zor ve Ünlü Problemi:

Dünyanın en zor ve en ünlü matematik probleminin ne olduğunu belirlemek elbette tam olarak mümkün değil. Ancak, Bernhard Riemann tarafından 1859’da ortaya atıldığından beri matematikçileri bile şaşkına çeviren Riemann Hipotezi bunun için bir aday olabilir. Günümüzde birçok matematiksel araştırma, “Riemann hipotezinin kanıtı”nın matematikteki en önemli açık soru olduğunu göstermektedir. Riemann hipotezinin kanıtı, asal sayılar teorisi ve karmaşık sayıların özelliklerini anlamamız açısından önemli sonuçlar doğuracaktır. Üstüne üstlük bu soruyu çözebilen kişiyi eğer isterse alabileceği 1 milyon dolarlık ödül de beklemektedir.

Bugün, dünya çapında 11.000’den fazla gönüllü, Zetagrid.net üzerinden edindikleri bir bilgisayar yazılım paketi kullanarak Riemann hipotezi üzerinde çalışıyor. Anlayacağınız milyon dolar için aday çok. O zaman Riemann hipotezi ve temelini oluşturan Riemann Zeta fonksiyonu hakkında daha fazla bilgi edinmemiz iyi bir fikir olabilir.

Riemann Hipotezi Nedir?

1859’da Alman matematikçi Bernhard Riemann (1826–1866) Berlin Akademisi’ne “On the Number of Prime Numbers Less Than a Given Quantity.” başlıklı bir makale sundu. Bu makale daha sonraları Riemann Hipotezi olarak bilinmeye başladı. Hipotez elbette bir kaç yüz kelime sınırı ile bir web sitesinde anlatılamayacak kadar teknik bilgiler içermekteydi. Bu nedenle biz sadece temel kavramları ele alalım.

Riemann hipotezi asal sayıların dağılımı ile ilgilidir. Uzun zamandır sonsuz sayıda asal sayı olduğunu biliyoruz. Ancak bu asal sayılar sayı doğrusuna düzensiz bir biçimde dağılmıştır. Sayılar büyüdükçe asal sayılar arasında mesafe açılır yani asal sayılar karşımıza daha seyrek çıkar. Riemann hipotezi “Riemann zeta fonksiyonu” olarak bilinen şeyin çerçevesine oturur. Bu varsayım 19. yüzyılın ortasında Bernhard Riemann tarafından geliştirilmiş, Yunan alfabesinin altıncı harfi zetayla (ζ) gösterilir. Riemann zeta fonksiyonu ζ(x) = 1 + 2-x+ 3-x + 4-x + … biçimindedir. X = 1 olduğunda, bu serinin sonlu bir toplamı yoktur. 1’den büyük x değerleri için, dizi sonlu bir sayıya eşit olur. X, 1’den küçükse, toplam yine sonsuzdur.

Riemann zeta fonksiyonunda s değişkeni reel bir sayı olabileceği gibi karmaşık sayı da olabilir. Bu sayede karmaşık analizin güçlü tekniklerini uygulama imkanı doğar. Riemann zeta fonksiyonunu 0 yapan sonsuz farklı değer vardır. 1859’da Berlin Bilim Akademisine sunduğu bir makalede Riemann, tüm çözümlerin 0 ile 1 arasındaki karmaşık sayılar olduğunu dile getirdi. Bir de şu hipotezi ileri sürdü: Riemann zeta fonksiyonunu 0 yapan tüm değerler kritik şeridin ortasındaki x=1/2 doğrusu üzerinde yer alır.

Karmaşık bir sayı, a ve b sayıları için a + bi biçimdedir. Riemann fonksiyonun sonucunu 0 yapan sayıları bulmaya koyulmuştu. Bu arada bazı sıfırlayan değerleri bulmak kolaydır. Fonksiyon tüm negatif çift sayılarda sıfır değerini verecektir. Ancak bizim aradığımız daha zor olanlar elbette. Bu arayışımızdan elde edilen ilk üç değer yaklaşık olarak  1/2+14i, 1/2 +21i, 1/2 +25i

İşte, işler burada biraz ilginçleşmeye başlıyor. Bu değerler sonsuz sayıdadır; fakat hesaplananların hepsinde (milyarlarcasında) birinci bileşen 1/2’dir.

Riemann varsayımı bunun bütün değerlerin özelliği olduğunu söyler. Şimdiye kadar sonsuz sayıda değerin bu özelliği gösterdiği kanıtlanmıştır. Sorun şudur ki, mantıken bu, sonsuz sayıda çözümün de bu özelliği göstermediği olasılığını sıfırlamaz.

Riemann zeta fonksiyonunun en dikkat çekici yönlerinden biri asal sayılarla bağlantısıdır. 

Asal sayılar (diyelim ki) ilk yüz sayı arasında yoğundurlar; ama sayı dizisinin engin genişliği içinde bazı asal sayılar arasında çok büyük boşluklar bulunur. Riemann hipotezi, bu dağılımı öğrenmemizin anahtarını taşımaktadır.

1900’de matematikçilerin çözmesi için ünlü 23 soru belirleyen David Hilbert, sekizinci soruya ilişkin şöyle demişti: “Eğer 500 yıl uyuduktan sonra uyanırsam, ilk sorum, Riemann hipotezi ispatlandı mı olacak”. Umarım o kadar beklenmek zorunda kalınmaz…

Kaynaklar:

Matematiksel

Sibel Çağlar

7 yıl Kadıköy Anadolu Lisesinin devamında lisans eğitimimi Marmara Üniversitesi İng. Matematik öğretmenliği üzerine tamamladım. Devamında 20 yıl çeşitli özel eğitim kurumlarında matematik öğretmenliği ve eğitim koordinatörlüğü yaptım. 2015 yılında matematiksel.org web sitesini kurdum. Amacım bilime ilgiyi arttırmak, bilimin özellikle matematiğin zihin açıcı yönünü açığa koymaktı. Yolumuz daha uzun ve zorlu ancak en azından deniyoruz.

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak.