Bir Milenyum Problemi: Riemann Hipotezi

Riemann hipotezi soyut matematiğin en zorlu zirvelerinden biridir. Poincare sanısı ve Fermat’ın son teoremi çözüldüyse de Riemann hipotezi öylece durmaktadır. Bir kez şu ya da bu şekilde çözüme kavuşturulduğunda, asal sayıların dağılımıyla ilgili bazı zor sorular da yanıtlanmış olacak, aynı zamanda matematikçilerin üzerinde kafa yorması için yeni tür sorulara kapıları açacaktır.

Üstüne üstlük bu soruyu çözebilen kişiyi eğer isterse alabileceği 1 milyon dolarlık ödülde beklemektedir.

Riemann varsayımı “Riemann zeta fonksiyonu” olarak bilinen şeyin çerçevesine oturtulabilir. Bu varsayım 19. yüzyılın ortasında Bernhard Riemann tarafından geliştirilmiş, Yunan alfabesinin altıncı harfi zetayla (ζ) adlandırılmıştır. Fonksiyon şöyle ifade edilir: Zeta fonksiyonun limiti her tür değer için hesaplanmıştır. Bunlar arasında ζ (1)= ∞ sonucu bir harmonik seri olduğundan özellikle dikkat çekicidir. Harmonik seriler bilindiği gibi belli bir sayı değerine yaklaşmazlar diğer adıyla ıraksaktırlar. Bu nedenle fonksiyonun tanım kümesi 1 sayısını içermemektedir.

Değeri Π2/6 olan ζ (2), Euler tarafından Basel problemi başlığı altında hesaplanmıştır. Devamında da s çift sayı olduğunda ζ (s) değerinin Π sayısını içerdiği sonucuna buradan varılmıştır. s’nin tek değerleri içinse durum çok daha karmaşıktır.

Riemann zeta fonksiyonunda s değişkeni reel bir sayı olabileceği gibi karmaşık sayı da olabilir. Bu sayede karmaşık analizin güçlü tekniklerini uygulama imkanı doğar.

Riemann zeta fonksiyonunu O yapan sonsuz farklı değer vardır. 1859’da Berlin
Bilim Akademisine sunduğu bir makalede Riemann, tüm çözümlerin 0 ile 1 arasındaki karmaşık sayılar olduğunu dile getirdi. Bir de şu hipotezi ileri sürdü:

Riemann zeta fonksiyonunu O yapan tüm değerler kritik şeridin ortasındaki x=1/2 doğrusu üzerinde yer alır.

Karmaşık bir sayı, a ve b sayıları için a + bi biçimdedir. Riemann fonksiyonun sonucunu 0 yapan sayıları bulmaya koyulmuştu. Bu arada bazı sıfırlayan değerleri bulmak kolaydır. Fonksiyon tüm negatif çift sayılarda sıfır değerini verecektir. Ancak bizim aradığımız daha zor olanlar elbette. Bu arayışımızdan elde edilen ilk üç değer yaklaşık olarak  1/2+14i, 1/2 +21i, 1/2 +25i

İşte, işler burada biraz ilginçleşmeye başlıyor. Bu değerler sonsuz sayıdadır; fakat hesaplananların hepsinde (milyarlarcasında) birinci bileşen 1/2’dir. Riemann varsayımı bunun bütün değerlerin özelliği olduğunu söyler. Şimdiye kadar sonsuz sayıda değerin bu özelliği gösterdiği kanıtlanmıştır. Sorun şudur ki, mantıken bu, sonsuz sayıda çözümün de bu özelliği göstermediği olasılığını sıfırlamaz.

Riemann zeta fonksiyonunun en dikkat çekici yönlerinden biri asal sayılarla bağlantısıdır. 

Asal sayılar (diyelim ki) ilk yüz sayı arasında yoğundurlar; ama sayı dizisinin engin genişliği içinde bazı asal sayılar arasında çok büyük boşluklar bulunur. Riemann hipotezi, bu dağılımı öğrenmemizin anahtarını taşımaktadır.

1900’de matematikçilerin çözmesi için ünlü 23 soru belirleyen David Hilbert, sekizinci soruya ilişkin şöyle demişti: “Eğer 500 yıl uyuduktan sonra uyanırsam, ilk sorum, Riemann hipotezi ispatlandı mı olacak”.

Umarım o kadar beklenmek zorunda kalınmaz…

Kaynaklar:

Tony Crilly – Gerçekten Gereken 50 Matematik Fikri

Tony Crilly – Matematik Geleceği Kestirebilir mi?

https://tr.wikipedia.org/wiki/Riemann_hipotezi

Matematiksel

 

Yazıyı Hazırlayan: Sibel Çağlar

Kadıköy Anadolu Lisesi, Marmara Üniversitesi, ardından uzun süre özel sektörde matematik öğretmenliği, eğitim koordinatörlüğü diye uzar gider özgeçmişim… Önemli olan katedilen değil, biriktirdiklerimiz ve aktarabildiklerimizdir bizden sonra gelenlere... Eğitim sisteminin içinde bulunduğu çıkmazı yıllarca iliklerimde hissettikten sonra, peki ama ne yapabilirim düşüncesiyle bu web sitesini kurmaya karar verdim. Amacım bilime ilgiyi arttırmak, bilimin özellikle matematiğin zihin açıcı yönünü açığa koymaktı. Yolumuz daha uzun ve zorlu ancak en azından deniyoruz.

Bunlara da Göz Atın

Borsa ve Finansta Matematik: Isaac Newton’un Borsada Batışı

Türkiye Cumhuriyet Merkez Bankası Başkanı Murat Çetinkaya, 2018 yılı için yıl sonu enflasyon oranı tahminini …

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.

ga('send', 'pageview');