Fibonacci Dizisinden Sıkıldıysanız N-bonacci Dizisi İle Tanışın!

Günümüzde artık bir çok kişi Fibonacci dizisinin adını bir biçimde duymuştur. Bu durumda onun genellemesi olan N-bonacci dizisi ile tanışın.

Ünlü Fibonacci dizisinin bir kısmı 0,1,1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,144…biçimindedir. Bir sonraki rakamı merak ederseniz de aslında yapmanız gereken son derece basit bir toplama işlemidir. Çünkü Fibonacci dizisindeki her sayı kendisinden önceki iki sayının toplamıdır. Bu sayede bu diziyi istediğiniz kadar uzatmanız mümkündür.

Bu dizi adını İtalyan Leonardo Bigollo Pisano’dan alır. (1170 – 1250). Kendisi Orta Çağ’ın en yetenekli Batılı matematikçisi olarak kabul edimektedir. Ancak biz kendisini daha çok ‘Fibonacci’ lakabıyla, yani ‘Bonaccio’nun oğlu’ olarak biliriz. Fibonacci Dizisinin bu kadar bilinmesinin temel nedeni biraz da bu dizinin altın oran ile olan ilişkisi sonucudur.

Aslında Leonardo Fibonacci bu sayılar için ‘Fibonacci serisi’ veya ‘Fibonacci sayıları’ terimini kullanmamıştı. Muhtemelen adının ölümünün ardından anımsanacağının da farkında değildi. Diziye adını veren on dokuzuncu yüzyıl Fransız matematikçisi François Édouard Anatole Lucas oldu. Kendisi hayranı olduğu bu diziye sadece adını vermekle kalmadı. Aynı zamanda bu dizinin rakamları ile oynayarak başka diziler de elde etti. Günümüzde adı Lucas sayıları ile anımsanmaktadır.

İlerleyen süreçte de Fransız matematikçi Jacques Philippe Marie Binet (1786-1856), konumu verilen herhangi bir Fibonacci sayısını bulmak için bir formül geliştirecekti.

N-bonacci Dizisi Nedir?

Biz bunları zaten biliyoruz derseniz sizi daha ilginç bir kaç dizi ile tanıştıralım. Örneğin 3-bonacci dizisi buna bir örnek olabilir. Bu dizi için 0, 0 ve 1 sayılarıyla başlayın ve önceki üç terimin toplamını alarak sonraki sayıları oluşturun. Bu durumda elde edeceğiniz yeni diziniz 0, 0, 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81, 149 … biçiminde olacaktır.

İsterseniz devam edelim. Bu sefer de 4-bonacci dizisini oluşturalım. Bu dizi için de 0, 0, 0 ve 1 sayılarıyla işe başlayın. Sonraki her sayı, önceki dört terimin toplamı alınarak oluşturulmalıdır. Yani dizimizin terimleri; 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 15, 29, 56, 108, 208… biçiminde olacaktır. Neden devam etmeyelim? Gelin N-bonacci dizisini oluşturalım.

N-bonacci Dizisi yazının başında detaylarını aktardığımız Fibonacci Dizisinin genellemesidir. Bu dizi 0’lar ve ardından da 1 ile başlar. Bir sonraki terim ise önceki N terimin toplamı sayesinde bulunur. Bu durumda bizim Fibonacci dizisi, 2-bonacci dizisine karşılık gelir. Ve 1-bonacci dizisi tamamen 1’lerden oluşur.

Fibonacci dizisinin önemli bir özelliği vardır. Her terimi kendisinden önce gelen terime bölerseniz, bir oranlar dizisi elde edersiniz. Bu 1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13, 34/21… biçiminde devam edecektir. Aslında Fibonacci dizisinin, Altın oran ile bağlantısı burasıdır. Çünkü bu oranların ondalık sayı olarak karşılıklarını hesaplarsanız, sonucunuzun giderek Altın orana yaklaştığını görürsünüz.

Aslında benzer sabitleri N-bonacci dizisi için de aynı biçimde bulmanız mümkündür. Elde edeceğiniz sonuçlar Altın oran kadar etkileyici olmasa da matematikçiler açısından önemlidir. Aslında, herhangi bir N doğal sayısı için karşılık gelen N-bonacci sabitini bulmak için x + (1/ x)^N = 2 denklemini çözmeniz yeterlidir. Bulduğunuz bu sayı ise sizin N-bonacci sabitiniz olacaktır. Madem başladık durmayalım…

Infinacci Dizisi

N’nin sonsuzluğa eşit olduğu infinacci dizisinden bile bahsedebiliriz. Bu dizi, sonsuz sayıda 0 ile başlar, ardından 1 gelir. Sonraki terim, sonsuz sayıda ilk 0 ve 1’in toplamıdır ve bize 1 verir. Sonrasında (Sonsuz sayıdaki ilk 0’ların toplamı) +1+1=0+1+1=2 sonucunu elde ederiz. Bir aşama daha ilerletirsek (Sonsuz sayıdaki ilk 0’ların toplamı)+1+1+2=0+1+1+2=4 olacaktır. Bir sonraki basamakta da (Sonsuz sayıdaki ilk 0’ların toplamı)+1+1+2+4=0+1+1+2+4=8 elde ederiz.

Bu şekilde devam edersek, infinacci dizisinin sonsuz sayıda 0 ile başlayan ve ardından 2’nin kuvvetleriyle devam eden bir dizi olduğunu görüyoruz. Peki ya infinacci dizisinin ardışık terimlerinin oranı var mı? 0’a bölünen herhangi bir şey tanımsız olduğundan, başlangıçtaki sonsuz sayıdaki 0’ları atlayalım ve kalan dizinin ardışık terimleri arasındaki oranlara bakalım.

Sonuç olarak k doğal sayısı için ardışık terimler her zaman 2^k-1 ve 2^k biçimindedir. Bu nedenle bir terimi kendisinden öncekine bölmek için 2 ^k/2^k-1=2 sonucunu bize verir. Yani dizimizin limiti yani aradığımız sabit 2’dir.

Sonuç olarak;

Son olarak, ilginç bir bilgi paylaşalım. Okuduklarınızın devamında tüm bunlar bir işe yarar mı? diye bir sorunun aklınıza gelmiş olması olasıdır. Bazen beklenmedik şeyler, beklenmedik zamanlarda işe yarar. Fibonacci dizisini biliyorsanız, muhtemelen bu dizinin varsayımsal bir tavşan popülasyonu problemi üzerine ortaya çıktığını da biliyorsunuzdur. Aslında benzer bir durum Tribonacci dizisi için de geçerlidir. Charles Darwin’in, oğlu George H. Darwin tarafından yapılan bir hesaplamaya dayanarak fillerin popülasyonunun büyümesi Tribonacci dizisi ile ilişkilidir.

Kaynaklar ve İleri okumalar

• Generalizations of Fibonacci numbers; Bağlantı: https://en.wikipedia.org/
• Maths in a minute: N-bonacci sequences; Yayınlanma tarihi: 14 Temmuz 2020; Bağlantı: https://plus.maths.org/
• Podani, J., Kun, Á. & Szilágyi, A. How Fast Does Darwin’s Elephant Population Grow?. J Hist Biol 51, 259–281 (2018). https://doi.org/10.1007/s10739-017-9488-5

Matematiksel