Temel Matematik

Fibonacci Dizisinden Sıkıldıysanız N-bonacci Dizisi İle Tanışın!

Günümüzde artık bir çok kişi Fibonacci dizisinin adını bir biçimde duymuştur. Matematiğin en ünlü dizisinin bir kısmı 0,1,1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,144…biçimindedir. Bir sonraki rakamı merak ederseniz de aslında yapmanız gereken son derece basit bir toplama işlemidir. Çünkü Fibonacci dizisindeki her sayı kendisinden önceki iki sayının toplamıdır. Bu sayede bu diziyi istediğiniz kadar uzatmanız mümkündür.

Bu dizi adını İtalyan Leonardo Bigollo Pisano’dan alır. (1170 – 1250). Kendisi Orta Çağ’ın en yetenekli Batılı matematikçisi olarak kabul edimektedir. Ancak biz kendisini daha çok ‘Fibonacci’ lakabıyla, yani ‘Bonaccio’nun oğlu’ olarak biliriz. Fibonacci Dizisinin bu kadar bilinmesinin temel nedeni biraz medya ( Hatırlayınız: Da Vinci Şifresi ) biraz da bu dizinin altın oran ile olan ilişkisi sonucudur.

1800’lerin ortalarında Fibonacci sayıları matematikçilerin ilgisini çekmeye başladı. Şu anki adlarını da bu sayıları inceleyerek kendi sayı dizisini oluşturan genellikle “Edouard Lucas” olarak anılan Fransız matematikçi François Édouard Anatole Lucas’tan (1842-1891) aldılar. Bu sıralarda Fransız matematikçi Jacques Philippe Marie Binet (1786-1856), konumu verilen herhangi bir Fibonacci sayısını bulmak için bir formül geliştirecekti.

Bu formül ile n yerine herhangi bir sayı yazarak istenen Fibonacci sayısını bulabilirsiniz.

Biz bunları zaten biliyoruz derseniz sizi daha ilginç bir kaç dizi ile tanıştıralım. Örneğin 3-bonacci dizisi buna bir örnek olabilir. Bu dizi için 0, 0 ve 1 sayılarıyla başlayın ve önceki üç terimin toplamını alarak sonraki sayıları oluşturun. Bu durumda elde edeceğiniz yeni diziniz 0, 0, 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81, 149 … biçiminde olacaktır.

İsterseniz devam edelim. Bu sefer de 4-bonacci dizisini oluşturalım. Bu dizi için de 0,0,0 ve 1 sayılarıyla işe başlayın. Sonraki her sayı, önceki dört terimin toplamı alınarak oluşturulmalıdır. Yani dizimizin terimleri; 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 15, 29, 56, 108, 208… biçiminde olacaktır. Neden devam etmeyelim? Gelin N-bonacci dizisini oluşturalım.

N-bonacci Dizisi Nedir?

Aslında şu ana kadar okuduysanız sizin de tahmin etmiş olacağı gibi, N-bonacci Dizisi yazının başında detaylarını aktardığımız Fibonacci Dizisinin genellemesidir. Bu dizi 0’lar ve ardından da 1 ile başlar. Bir sonraki terim ise önceki N terimin toplamı sayesinde bulunur. Bu durumda bizim Fibonacci dizisi, 2-bonacci dizisine karşılık gelir. Ve 1-bonacci dizisi tamamen 1’lerden oluşur.

N -bonacci sabitleri

Fibonacci dizisinin önemli bir özelliği vardır. Her terimi kendisinden önce gelen terime bölerseniz, bir oranlar dizisi elde edersiniz. Bu 1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13, 34/21… biçiminde devam edecektir. Aslında Fibonacci dizisinin, Altın oran ile bağlantısı burasıdır. Çünkü bu oranların ondalık sayı olarak karşılıklarını hesaplarsanız, sonucunuzun giderek Altın orana yaklaştığını görürsünüz. Bunu aşağıdaki gibi ifade ederiz. Bu konu ile ilgili daha fazla bilgi için yazının sonundaki bağlantıları inceleyebilirsiniz. Biz yine N-bonacci dizimize dönelim.

Aslında benzer sabitleri N-bonacci dizisi için de aynı biçimde bulmanız mümkündür. Elde edeceğiniz sonuçlar Altın oran kadar etkileyici olmasa da matematikçiler açısından önemlidir. Aslında, herhangi bir N doğal sayısı için karşılık gelen N-bonacci sabitini bulmak için x + (1/ x)N = 2 denklemini çözmeniz yeterlidir. Böyle bir denklemin her zaman bir sayısından daha büyük olan bir çözümü vardır. Bulduğunuz bu sayı ise sizin N-bonacci sabitiniz olacaktır. Madem başladık durmayalım…

Infinacci Dizisi

N’nin sonsuzluğa eşit olduğu infinacci dizisinden bile bahsedebiliriz. Bu dizi, sonsuz sayıda 0 ile başlar, ardından 1 gelir. Sonraki terim, sonsuz sayıda ilk 0 ve 1’in toplamıdır ve bize 1 verir. Sonrasında (Sonsuz sayıdaki ilk 0’ların toplamı) +1+1=0+1+1=2 sonucunu elde ederiz. Bir aşama daha ilerletirsek (Sonsuz sayıdaki ilk 0’ların toplamı)+1+1+2=0+1+1+2=4 olacaktır. Bir sonraki basamakta da (Sonsuz sayıdaki ilk 0’ların toplamı)+1+1+2+4=0+1+1+2+4=8 elde ederiz.

Bu şekilde devam edersek, infinacci dizisinin sonsuz sayıda 0 ile başlayan ve ardından 2’nin kuvvetleriyle devam eden bir dizi olduğunu görüyoruz. Peki ya infinacci dizisinin ardışık terimlerinin oranı var mı? 0’a bölünen herhangi bir şey tanımsız olduğundan, başlangıçtaki sonsuz sayıdaki 0’ları atlayalım ve kalan dizinin ardışık terimleri arasındaki oranlara bakalım. Sonuç olarak k doğal sayısı için ardışık terimler her zaman 2k-1 ve 2k biçimindedir. Bu nedenle bir terimi kendisinden öncekine bölmek için 2 k/2k-1=2 sonucunu bize verir. Yani dizimizin limit yani aradığımız sabit 2’dir.

Son olarak, ilginç bir bilgi paylaşalım. Fibonacci dizisini biliyorsanız, muhtemelen bu dizinin varsayımsal bir tavşan popülasyonu problemi üzerine ortaya çıktığını da biliyorsunuzdur. Aslında benzer bir durum Tribonacci dizisi için de geçerlidir. Charles Darwin’in, oğlu George H. Darwin tarafından yapılan bir hesaplamaya dayanarak fillerin popülasyonunun büyümesini hesapladığı ve bu hesaplamanın Tribonacci dizisini içerdiği bilinmektedir.



Kaynaklar ve İleri okumalar


Dip Not:

Matematiksel, 2015 yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.

Matematiksel

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak.

Başa dön tuşu